Una frazione può avere più classificazioni contemporaneamente. “Propria” e “impropria” descrivono il valore rispetto a uno; “apparente” indica che il valore è intero; “unitaria” significa che il numeratore è 1; “equivalenti” descrive due scritture che hanno lo stesso valore. Un numero misto, come 2 3/4, è un altro modo di scrivere una frazione maggiore di uno. Tutte queste scritture indicano numeri razionali: la guida su frazioni e numeri razionali spiega il legame.
Per le classificazioni basate sul confronto con l’unità, supponiamo che numeratore e denominatore siano positivi e che il denominatore non sia zero. Se c’è un segno negativo, distingui il segno dalla grandezza della frazione.
Frazioni proprie, improprie e apparenti
Una frazione propria ha numeratore minore del denominatore e vale tra zero e uno: 3/7 < 1. Una frazione impropria ha numeratore maggiore o uguale al denominatore e vale almeno uno: 11/4 > 1 e 4/4 = 1. Alcuni testi chiamano improprie solo quelle maggiori di uno; qui includiamo anche quelle uguali a uno, quindi conviene dichiarare la convenzione quando serve.
Una frazione apparente ha il numeratore divisibile per il denominatore e rappresenta un intero. Per esempio, 12/4 = 3 e 4/4 = 1. Con questa convenzione, ogni frazione apparente positiva è impropria, ma non ogni impropria è apparente: 11/4 lascia un resto. In generale, per ogni intero n vale n/1 = n; per esempio, 3/1 = 3.
| Scrittura | Valore | Classificazione |
|---|---|---|
| 3/7 | Minore di 1 | Propria |
| 4/4 | 1 | Impropria e apparente |
| 11/4 | 2 3/4 | Impropria, non apparente |
| 12/4 | 3 | Impropria e apparente |
Frazioni unitarie ed equivalenti
Una frazione unitaria ha numeratore uguale a 1: per esempio 1/9. Non significa che valga uno: 1/9 è minore di uno, mentre 9/9 vale uno. La classificazione unitaria riguarda la scrittura scelta; 2/18 ha lo stesso valore di 1/9, ma soltanto la forma ridotta ha numeratore 1.
Una frazione decimale ha come denominatore una potenza di dieci: 10, 100, 1.000 e così via. Si può scrivere esattamente in notazione decimale: 3/10 = 0,3 e 25/100 = 0,25. Sono due scritture degli stessi valori: a sinistra c’è la frazione, a destra la notazione decimale. Non tutte le frazioni hanno già un denominatore che è una potenza di dieci, e alcune non si possono riscrivere esattamente in quella forma: 1/3 ha uno sviluppo periodico e non è equivalente a una frazione con denominatore 10, 100 e così via.
Due frazioni sono equivalenti se rappresentano lo stesso numero. Per ottenere una frazione equivalente si moltiplicano per lo stesso intero non nullo oppure si dividono per un divisore comune: 2/3 = 4/6 perché entrambi i termini sono raddoppiati. Moltiplicare solo il numeratore cambia il valore: 3/4 non è uguale a 6/4. Puoi verificare una coppia con frazioni equivalenti.
Le categorie si sovrappongono: 3/4 è propria; 6/8 è anch’essa propria ed è equivalente a 3/4. Nessuna delle due è unitaria, perché il numeratore non è 1. Le etichette rispondono a domande diverse sulla stessa scrittura.
Frazioni con lo stesso denominatore o con denominatori diversi
Questo criterio non descrive una frazione isolata, ma confronta due o più frazioni. 1/5 e 3/5 hanno lo stesso denominatore; 1/5 e 1/3 hanno denominatori diversi. La differenza conta quando devi sommare frazioni: con lo stesso denominatore sommi subito i numeratori, 1/5 + 3/5 = 4/5; con denominatori diversi serve prima un denominatore comune.
Come passare da una frazione impropria a un numero misto?
Dividi il numeratore per il denominatore: il quoziente dà la parte intera e il resto resta al numeratore. Con 11/4, 11 = 2 × 4 + 3, quindi 11/4 = 2 3/4. Il numero misto significa 2 + 3/4, non 2 × 3/4, e si legge «due interi e tre quarti»: la guida su come si leggono le frazioni tratta questa lettura.
Per tornare alla frazione, moltiplica l’intero per il denominatore e aggiungi il numeratore della parte frazionaria: 2 3/4 = (2 × 4 + 3)/4 = 11/4. In una ricetta può essere più naturale leggere 2 3/4 litri; nei calcoli spesso è più semplice usare 11/4.
Per un valore negativo, applica il segno alla grandezza intera: −7/4 = −1 3/4. La conversione da frazione impropria a numero misto e quella da numero misto a frazione mostrano i passaggi.
Quattro esempi di classificazione
- 5/8: è propria perché 5 < 8; non è apparente perché 8 non divide 5 e non è unitaria perché il numeratore è 5. La forma 10/16 è equivalente, dato che entrambi i termini sono stati raddoppiati.
- 18/6: è impropria e apparente perché 18 ÷ 6 = 3 senza resto.
- 9/5: è impropria ma non apparente; 9 ÷ 5 dà quoziente 1 e resto 4, quindi 9/5 = 1 4/5.
- −7/4: il valore è negativo e la sua grandezza è 7/4, cioè 1 3/4. Separare segno e grandezza evita di confondere la posizione con il confronto rispetto all’unità.
Le classificazioni possono sovrapporsi
I tipi di frazione non sono categorie esclusive. Una scrittura può essere propria e unitaria, come 1/7; un’altra impropria e apparente, come 12/4 = 3; due frazioni equivalenti possono essere ridotte o meno, come 3/4 = 6/8. Descrivi prima il valore o la forma scritta, poi verifica quali altre etichette siano corrette.
Alcune etichette dipendono dalla forma. 2/18 non è unitaria perché il numeratore visibile non è 1, anche se si riduce a 1/9, che è unitaria. “Equivalente” confronta i valori; “unitaria” descrive il numeratore scritto. La riduzione conserva il numero ma può cambiare una proprietà della notazione.
Per trasformare una frazione impropria positiva in un numero misto, dividi il numeratore per il denominatore. In 17/5, il quoziente è 3 e il resto 2: 17/5 = 3 + 2/5 = 3 2/5. Per un valore negativo, il segno riguarda l’intero numero misto: −7/4 = −1 3/4, non −1 + 3/4.
Classificazione motivata: 8/4 vale 2; secondo la convenzione che include l’uguaglianza con 1, è apparente e impropria, ma non unitaria. 7/4 è impropria ma non apparente, perché non è un intero. 1/7 è propria e unitaria.
Esercizio con soluzione
Classifica 9/9, 5/8 e 11/4: rispettivamente apparente e impropria; propria; impropria ma non apparente (2 3/4).
La guida a numeratore e denominatore spiega quale caratteristica descrive ogni classificazione.
Una frazione può avere più etichette?
Sì. 1/7 è propria e unitaria; 12/4 è apparente e impropria secondo la convenzione adottata qui. Ogni etichetta descrive una caratteristica diversa, come valore o scrittura.
Frazioni riducibili e irriducibili
Una frazione è riducibile se numeratore e denominatore hanno un divisore comune maggiore di 1. Per 6/8, il massimo comune divisore è 2, quindi 6/8 = 3/4. La frazione 3/4 è irriducibile: i suoi termini hanno solo 1 come divisore positivo comune. La riduzione conserva il valore ed entrambe restano proprie; la classificazione per grandezza e quella per fattori rispondono a domande diverse.