In a/b, a è il numeratore e b è il denominatore. Il denominatore deve essere diverso da zero: indica in quante parti uguali si divide un’unità, mentre il numeratore conta quante di quelle parti si considerano. In 3/8 si prendono tre ottavi; la barra indica anche la divisione 3 ÷ 8.
3/8: tre ottavi
Numeratore: 3parti considerate
Denominatore: 8parti uguali in un’unità
Che cosa conta ciascun termine?
| Frazione | Numeratore | Denominatore | Lettura |
|---|---|---|---|
| 5/12 | 5 parti considerate | La dodicesima parte dell’unità | Cinque dodicesimi |
| 2/3 | 2 parti considerate | La terza parte dell’unità | Due terzi |
| 9/4 | 9 quarti | La quarta parte dell’unità | Nove quarti, cioè 2 1/4 |
L’unità deve restare la stessa. Un quarto di un metro misura 25 cm; un quarto di due metri misura 50 cm. La proporzione è 1/4 in entrambi i casi, ma la lunghezza dipende dal tutto scelto.
Anche l’uguaglianza delle parti dipende da ciò che si misura. Per indicare 2/5 dell’area di un foglio, le cinque regioni devono avere la stessa area; sulla retta numerica, i cinque intervalli devono avere la stessa lunghezza. Se una figura è divisa in cinque zone di area 1, 1, 1, 1 e 6 cm², colorare due zone piccole copre 2/10 dell’area totale, cioè 1/5, non 2/5. Si sono colorate due zone su cinque, ma non due quinti dell’area.
Che cosa succede se cambia un termine?
Con denominatore uguale e positivo, aumentare il numeratore aggiunge parti della stessa misura: 2/5 < 3/5. Con numeratore positivo uguale e denominatori positivi diversi, il denominatore maggiore dà parti più piccole: 1/3 > 1/4. Queste scorciatoie vanno applicate alle frazioni positive; per i valori negativi è più sicuro confrontare il valore sulla retta.
Il numeratore può superare il denominatore. In 11/4, il numero 11 conta undici quarti distribuiti su più unità: 11/4 = 8/4 + 3/4 = 2 3/4. Il denominatore resta 4 e continua a indicare la dimensione di ciascuna parte.
Il segno meno si può scrivere davanti alla frazione o al numeratore: 3/−5 = −3/5. Di solito si sposta il segno al numeratore e si lascia il denominatore positivo; il valore non cambia. La calcolatrice per semplificare le frazioni mostra la riduzione e normalizza il segno.
Perché il denominatore non può essere zero?
Una frazione a/b equivale alla divisione a ÷ b. La divisione per zero non ha un quoziente definito, quindi 7/0 non rappresenta un numero. Nemmeno 0/0 ha un valore unico: moltiplicare zero per qualunque numero dà zero.
Lo zero al numeratore, invece, è valido: 0/7 = 0. Se numeratore e denominatore sono uguali e non nulli, la frazione vale uno: 7/7 = 1.
Tre esempi svolti
- Caselle uguali: una scheda ha 12 caselle della stessa area, 5 delle quali sono colorate. Il denominatore è 12 perché ci sono dodici parti uguali; il numeratore è 5 perché cinque sono colorate. Se se ne colora un’altra, si ottiene 6/12 = 1/2.
- Più di un’unità: undici segmenti da 1/4 di litro formano 11/4 litri. Quattro segmenti fanno un litro, altri quattro ne fanno un secondo, e ne restano tre: 11/4 = 2 3/4 litri.
- Frazione di un gruppo: 2/3 di 18 bottoni sono rossi. Un terzo di 18 è 6, perciò due terzi sono 2 × 6 = 12 bottoni. La verifica è 12/18 = 2/3.
Per generare forme equivalenti senza cambiare il valore, usa la calcolatrice delle frazioni equivalenti. La guida ai tipi di frazione chiarisce perché un numeratore maggiore del denominatore non rende la frazione errata.
Che cosa cambia quando cambia un solo termine
Regole come “un numeratore più grande dà una frazione maggiore” valgono solo a condizioni precise: mantieni uguali denominatore, segno positivo e intero di riferimento. Con denominatore 8, 2/8 < 5/8 perché cinque parti della stessa dimensione coprono più di due. Con numeratore 1, 1/3 > 1/5: i terzi sono più grandi dei quinti perché lo stesso intero è diviso in meno parti uguali.
Per i valori negativi l’ordine cambia: −1/3 < −1/5 perché −1/3 si trova più a sinistra dello zero. Riflettendo una frazione positiva oltre lo zero, il modulo maggiore diventa il numero minore. Controlla il segno prima di applicare una regola visiva sulla dimensione delle parti.
Il numeratore zero è ammesso: 0/7 = 0, purché il denominatore non sia zero. Se il denominatore è negativo, porta il segno al numeratore prima del confronto: 4/(−6) = −2/3. Un denominatore positivo rende più chiari lettura e riduzione.
Esercizi con soluzione
- Amplia
2/3moltiplicando per 3:6/9. Il valore non cambia perché entrambi i termini sono moltiplicati per lo stesso numero non nullo. - Riduci
42/56: dividi entrambi i termini per 14 e ottieni3/4. 4/0è valido? No; la divisione per zero non definisce un quoziente.
La guida ai tipi di frazione collega queste forme alle frazioni proprie, improprie, apparenti e unitarie.
Per approfondire: calcolatrice di frazioni.