In a/b ist der Zähler die obere Zahl (a) und der Nenner die untere (b). Der Nenner sagt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wird; der Zähler sagt, wie viele dieser Teile genommen werden. In 5/7 ist das Ganze in 7 gleich große Teile geteilt und 5 davon werden genommen: „fünf Siebtel“. Zusammen heißen die beiden Zahlen auch Bruchterme (oder einfach: Zähler und Nenner).
Das Wort „Nenner“ verwirrt am meisten. Seine Zahl zählt Teile, sie misst nicht deren Größe: Je mehr Teile, desto kleiner ist jeder einzelne. Jedes Teil ist 1/b des Ganzen.
| Änderung | Beispiel | Wirkung auf den Wert |
|---|---|---|
| Nenner verdoppelt | 1/4 wird zu 1/8 | Halbiert sich |
| Zähler verdoppelt | 1/8 wird zu 2/8 | Verdoppelt sich |
| Beide verdoppelt | 3/4 wird zu 6/8 | Bleibt gleich |
Die Tabelle gilt für positive Zähler und Nenner und dasselbe Ganze. Was bei negativen Vorzeichen anders ist, steht weiter unten.
Was jede Zahl zählt
Eine Zeichnung reicht, um es zu sehen. Ein Balken steht für das Ganze und wird in 7 gleich lange Teile geteilt, 5 davon werden schattiert. Die 7 entsteht, wenn du alle Teile des Balkens zählst, die 5, wenn du die schattierten zählst. Sind die Teile nicht gleich groß, hat der Nenner keine Aussagekraft mehr: Bei einer Figur mit fünf Bereichen sehr unterschiedlicher Fläche kannst du nicht sagen, dass zwei davon 2/5 der Fläche sind.
Auch das Ganze zählt. Ein Viertel von einem Meter sind 25 Zentimeter, ein Viertel von zwei Metern sind 50. Der Bruch ist derselbe, aber die Menge hängt vom gewählten Ganzen ab.
Bei einer Menge von Gegenständen funktioniert es genauso. Für 2/3 von 18 Knöpfen verlangt der Nenner 3 gleiche Gruppen zu je 6 Knöpfen, und der Zähler verlangt, 2 Gruppen zu nehmen: 12 Knöpfe.
Beispiel Schritt für Schritt: beide Zahlen von 3/4 verdoppeln
Eine Pizza hat vier gleich große Stücke, drei davon sind gegessen. Du schneidest jedes Stück in der Mitte durch. Wie schreibst du jetzt das Gegessene, und ändert sich die Menge?
- Schreib auf, was du schon hast. Es gibt 4 gleich große Teile und 3 sind gegessen: 3/4.
- Schneide jedes Teil in zwei. Jetzt gibt es 4 × 2 = 8 gleich große Teile, der Nenner ist also 8.
- Zähle das Gegessene neu. Jedes gegessene Stück besteht aus zwei Teilen, also 3 × 2 = 6 Teile: Der Zähler ist 6.
- Kürze zum Vergleichen. Der ggT von 6 und 8 ist 2, und 6/8 = 3/4.
Ergebnis: 6/8 und 3/4 sind dieselbe Menge.
Probe: 3 : 4 = 0,75 und 6 : 8 = 0,75. Es sind doppelt so viele Teile, aber jedes ist halb so groß.
Würdest du nur den Zähler verdoppeln, wäre 6/4 = 1,5 und die Menge eine andere. Weitere solche Paare erzeugt das Werkzeug für gleichwertige Brüche.
Was beim negativen Vorzeichen gilt
Einen Bruch schreibt man mit dem Vorzeichen davor oder im Zähler und mit positivem Nenner. So ist 2/(−5) = −2/5, und sind beide Zahlen negativ, ist der Wert positiv: (−2)/(−5) = 2/5. Ein negativer Nenner bedeutet nicht „negative Teile“, das Vorzeichen wandert nur an eine andere Stelle.
Bei negativen Werten kehrt sich die Regel „größerer Nenner, kleinerer Bruch“ um. Bei Zähler 1 ist −1/3 kleiner als −1/4, weil es auf der Zahlengeraden weiter links liegt. Bring das Vorzeichen zuerst in Ordnung, bevor du vergleichst, und wende „mehr Nenner, weniger Wert“ nicht blind an.
Warum der Nenner nicht null sein darf
Ein Bruch ist eine Division, und man kann nichts in null Teile teilen. Darum hat 7/0 keinen Wert. Der Zähler darf dagegen null sein: 0/7 = 0, denn es wird kein Teil genommen. Bei 0/0 bleibt der Wert unbestimmt; der Ratgeber warum der Nenner nicht null sein darf zeigt das mit der Gleichung für den Quotienten.
Übe
- Welcher Wert ist in 11/15 der Zähler und welcher der Nenner?
- Was ist größer, 3/10 oder 3/7?
- Schreib 4/(−9) mit positivem Nenner.
- Erweitere 2/3, indem du beide Zahlen mit 5 multiplizierst.
Lösungen anzeigen
- Der Zähler ist 11 und der Nenner ist 15.
- 3/7, weil Siebtel größer sind als Zehntel.
- −4/9.
- 10/15; durch Teilen durch 5 kommst du wieder auf 2/3.
Quellen und weiterführende Seiten
Der Artikel Bruchrechnung der deutschsprachigen Wikipedia bietet eine weitere Darstellung der Grundbegriffe rund um Zähler und Nenner.
Die allgemeine Idee eines Bruchs erklärt der Ratgeber Was sind Brüche?. Das Glossar zur Bruchrechnung erklärt jeden Begriff in einer Zeile, und das Werkzeug zum Brüche kürzen normiert das Vorzeichen und kürzt mit dem ggT.