Dans a/b, le numérateur est le nombre du haut (a) et le dénominateur celui du bas (b). Le dénominateur indique en combien de parts égales on partage une unité ; le numérateur indique combien de ces parts on prend. Dans 5/7, l’unité est partagée en 7 parts égales et l’on en prend 5, ce qui se lit « cinq septièmes ». Les deux nombres ensemble s’appellent les termes de la fraction.
Le mot qui prête le plus à confusion est « dénominateur ». Il compte des parts ; il n’en mesure pas la taille : plus il y a de parts, plus chacune est petite. Chaque part mesure 1/b de l’unité.
| Changement | Exemple | Effet sur la valeur |
|---|---|---|
| Dénominateur doublé | 1/4 devient 1/8 | Elle est divisée par deux |
| Numérateur doublé | 1/8 devient 2/8 | Elle est doublée |
| Les deux doublés | 3/4 devient 6/8 | Elle ne change pas |
Le tableau s’applique à un numérateur et un dénominateur positifs, avec la même unité de référence. Plus bas, vous trouverez ce qui change avec des signes négatifs.
Ce que représente chaque terme
Un dessin suffit pour le voir. Une barre qui représente l’unité est partagée en 7 parts de même longueur, et 5 sont coloriées. Le 7 vient du compte de toutes les parts de la barre, le 5 du compte des parts coloriées. Si les parts ne sont pas égales, le dénominateur perd son sens : une figure de cinq zones d’aires très différentes ne permet pas d’affirmer que deux d’entre elles font 2/5 de l’aire.
Le tout compte aussi. Un quart d’un mètre mesure 25 centimètres et un quart de deux mètres en mesure 50. La fraction est la même, mais la quantité dépend de l’unité choisie.
Avec un ensemble d’objets, c’est pareil. Pour 2/3 de 18 boutons, le dénominateur demande de former 3 groupes égaux de 6 boutons et le numérateur de prendre 2 groupes : 12 boutons.
Exemple résolu : doubler les deux termes de 3/4
Une tarte est coupée en quatre parts égales et l’on en a mangé trois. Si vous coupez chaque part en deux, comment écrire la quantité mangée, et change-t-elle ?
- Écrivez ce que vous avez. Il y a 4 parts égales et 3 mangées : 3/4.
- Coupez chaque part en deux. Il y a maintenant 4 × 2 = 8 parts égales, donc le dénominateur est 8.
- Comptez de nouveau les morceaux mangés. Chaque part mangée fait deux morceaux, donc 3 × 2 = 6 morceaux : le numérateur est 6.
- Simplifiez pour comparer. Le PGCD de 6 et 8 est 2, et 6/8 = 3/4.
Résultat : 6/8 et 3/4 représentent la même quantité.
Vérification : 3 ÷ 4 = 0,75 et 6 ÷ 8 = 0,75. Il y a deux fois plus de morceaux, mais chacun mesure la moitié.
Si vous doubliez seulement le numérateur, 6/4 vaudrait 1,5 et la quantité serait autre. Pour obtenir d’autres couples comme celui-ci, utilisez l’outil des fractions équivalentes.
Que devient le signe négatif ?
On écrit une fraction avec le signe devant, ou au numérateur, et avec un dénominateur positif. Ainsi, 2/(−5) = −2/5, et si les deux termes sont négatifs, la valeur est positive : (−2)/(−5) = 2/5. Un dénominateur négatif ne signifie pas « parts négatives » : le signe se déplace simplement ailleurs.
Avec des négatifs, la règle de comparaison par taille de part s’inverse. Avec le numérateur 1, −1/3 est plus petit que −1/4, car il se place plus à gauche sur la droite graduée. Normalisez le signe avant de comparer et n’appliquez pas à l’aveugle « plus le dénominateur est grand, plus la valeur est petite ».
Pourquoi le dénominateur ne peut pas être zéro
Une fraction est une division, et l’on ne peut pas partager quelque chose en zéro part. C’est pourquoi 7/0 n’a pas de valeur. Le numérateur, lui, peut être zéro : 0/7 = 0, car on ne prend aucune part. Le cas 0/0 n’a pas de valeur définie, et le guide sur pourquoi le dénominateur ne peut pas être zéro le démontre avec l’équation du quotient.
Exercices
- Dans 11/15, quel est le numérateur et quel est le dénominateur ?
- Lequel est le plus grand, 3/10 ou 3/7 ?
- Écrivez 4/(−9) avec le dénominateur positif.
- Agrandissez 2/3 en multipliant les deux termes par 5.
Voir les réponses
- Le numérateur est 11 et le dénominateur est 15.
- 3/7, car les septièmes sont plus grands que les dixièmes.
- −4/9.
- 10/15, qui redevient 2/3 quand on divise les deux termes par 5.
Sources et pour aller plus loin
Pour approfondir, l’article Fraction (mathématiques) de Wikipédia présente la notion de fraction plus en détail.
Pour l’idée générale de fraction, commencez par qu’est-ce qu’une fraction. Le glossaire des fractions définit chaque terme en une ligne, et l’outil pour simplifier les fractions normalise le signe et réduit avec le PGCD.