La radice quadrata di 2 è irrazionale: non esiste alcuna frazione p/q, con p e q interi, il cui valore sia esattamente √2. La dimostrazione che la radice di 2 è irrazionale è una prova per assurdo: se quella frazione esistesse in forma irriducibile, si dedurrebbe che p e q sono entrambi pari, il che contraddice quella condizione. Una calcolatrice di radici di frazioni può restituire solo un’approssimazione segnalata con ≈.
L’essenziale
- √2 ≈ 1,4142136: nessun quoziente di due interi dà quel valore in modo esatto.
- Ogni frazione può essere ridotta a una frazione irriducibile, in cui numeratore e denominatore non hanno fattori comuni.
- La dimostrazione suppone che √2 = p/q sia irriducibile e deduce che p e q sono pari, il che rompe la condizione.
- Il passo decisivo riguarda la parità: se p² è pari, allora p è pari.
- Le frazioni 3/2, 7/5, 17/12, 41/29 e 99/70 si avvicinano a √2 in modo alterno, per eccesso e per difetto.
- Un foglio di carta della serie A ha i lati nel rapporto 1:√2; per questo tagliarlo a metà non ne cambia la forma.
Che cosa rende un numero una frazione?
Perché un numero sia una frazione deve potersi scrivere come quoziente p/q con p e q interi e q diverso da zero. È anche la definizione di numero razionale, come spiega la guida su frazioni e numeri razionali, quindi la domanda «√2 è una frazione?» equivale a «esiste quella coppia di interi?». La radice di 2 soddisfa senza problemi la condizione del denominatore diverso da zero; ciò che manca è l’esistenza di quella coppia di interi.
Prima di qualsiasi confronto conviene ridurre. Ogni frazione con denominatore diverso da zero può essere portata in forma irriducibile dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore. Per esempio, 6/8 si riduce a 3/4 perché MCD(6, 8) = 2. In una frazione irriducibile, p e q sono coprimi: non hanno alcun fattore comune maggiore di 1. La calcolatrice del massimo comune divisore trova quel fattore e mostra quando una frazione non può più essere semplificata.
Questo dettaglio, che sembra una formalità, è proprio ciò che fa funzionare la dimostrazione: non afferma soltanto che p e q sono pari, ma che ciò è impossibile nella forma irriducibile fissata all’inizio.
La dimostrazione che la radice di 2 è irrazionale
La prova procede per assurdo: si suppone il contrario di ciò che si vuole dimostrare e si arriva a un assurdo. Questi sono i quattro passi.
p² = 2q² → p pari → q pari → contraddizione con «nessun fattore comune».
- Supponi il contrario. Partiamo dall’affermazione che √2 si può scrivere come frazione irriducibile p/q, con p e q interi, q diverso da zero e MCD(p, q) = 1.
- Eleva al quadrato. Se √2 = p/q, allora 2 = p²/q². Moltiplicando per q² si ottiene p² = 2q².
- Guarda la parità. Poiché p² = 2q², il numero p² è pari, perché è il doppio di un intero. Un quadrato pari obbliga la sua base a essere pari, quindi p = 2m per un certo intero m.
- Trova la contraddizione. Sostituisci p = 2m nell’uguaglianza: (2m)² = 2q², cioè 4m² = 2q², e dividendo per 2 resta 2m² = q². Allora q² è pari e, per lo stesso argomento, anche q è pari. Se p e q sono entrambi pari, condividono il fattore 2, ma era stato richiesto che fossero coprimi. L’ipotesi iniziale è impossibile.
Perché se p² è pari allora p è pari?
Perché il quadrato di qualsiasi numero dispari è ancora dispari. Se p fosse dispari, si scriverebbe p = 2k + 1 e il suo quadrato sarebbe (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, che è dispari. Pertanto, se p² è pari, p non può essere dispari: deve essere pari.
Questo è l’unico fatto di divisibilità di cui la prova ha bisogno, e spiega anche perché lo stesso argomento fallisce con altri numeri. Per mostrare che √3 non è una frazione si ragiona allo stesso modo, ma con «multiplo di 3» al posto di «pari»: da p² = 3q² si deduce che p è multiplo di 3 e poi che lo è anche q. Con √4 non c’è contraddizione, perché √4 = 2 non è irrazionale.
L’irriducibilità, il pezzo che fa funzionare la dimostrazione
L’irriducibilità è il punto esatto che si rompe. Se fossero ammesse frazioni non ridotte, il risultato «p e q sono pari» non sarebbe contraddittorio: la stessa frazione si potrebbe scrivere 2/4, 4/8 o 8/16 e la catena non finirebbe mai. La contraddizione esiste solo perché si è fissato in anticipo che p e q non hanno fattori comuni.
Detto in altro modo, la dimostrazione non afferma che non si possa scrivere un quoziente simile a √2, ma che non esiste alcun quoziente esatto in forma irriducibile. Senza la condizione di partenza, l’argomento resterebbe a metà strada.
Le migliori approssimazioni di √2 con frazioni semplici
Poiché nessuna frazione vale esattamente √2, è utile conoscere quelle che vi si avvicinano di più. La tabella raccoglie le prime cinque, con il quadrato esatto, il valore decimale approssimato e l’errore assoluto rispetto a √2 ≈ 1,4142136.
| Frazione | Quadrato esatto | Valore (circa) | Errore assoluto | Lato |
|---|---|---|---|---|
| 3/2 | 9/4 = 2,25 | 1,5 | 0,0857864 | per eccesso |
| 7/5 | 49/25 = 1,96 | 1,4 | 0,0142136 | per difetto |
| 17/12 | 289/144 ≈ 2,0069444 | ≈ 1,4166667 | 0,0024531 | per eccesso |
| 41/29 | 1681/841 ≈ 1,9988109 | ≈ 1,4137931 | 0,0004205 | per difetto |
| 99/70 | 9801/4900 ≈ 2,0002041 | ≈ 1,4142857 | 0,0000722 | per eccesso |
I quadrati confermano l’idea: 9/4 e 49/25 sono esatti, mentre 17/12 al quadrato dà 289/144, che vale circa 2,006944, un po’ più di 2. Dall’altro lato, 41/29 al quadrato è 1681/841, circa 1,998810, un po’ meno di 2. La frazione 99/70 si avvicina ancora di più, con 9801/4900, circa 2,000204. Ogni quadrato si scosta da 2 di pochissimo (1/144, 1/841 e 1/4900), e la frazione si scosta da √2 di circa 0,35 volte quella distanza.
Un errore frequente è scrivere 1,4142 = 14142/10000 e concludere che √2 valga quella frazione. È sbagliato: 14142/10000 è un numero razionale vicino, ma il suo quadrato vale circa 1,9999616, non esattamente 2. La scrittura corretta usa il segno di approssimazione: 1,4142 ≈ √2, mai un’uguaglianza.
Qual è l’errore di ogni approssimazione?
L’errore di approssimazione è la differenza tra la frazione e il valore esatto, presa in valore assoluto. Dal più piccolo al più grande, l’ordine è 99/70, 41/29, 17/12, 7/5 e 3/2: l’ultima si allontana di quasi 0,086 e la prima di meno di 0,00008. Ogni nuovo termine riduce l’errore di circa sei volte rispetto al precedente.
Non è un caso. In queste cinque frazioni il quadrato dista un’unità da 2q²: p² − 2q² vale +1 o −1 a seconda del caso. Per 7/5, 49 − 2 × 25 = 49 − 50 = −1; per 17/12, 289 − 2 × 144 = 289 − 288 = +1. Il segno spiega perché alcune approssimano per eccesso e altre per difetto, e garantisce che l’errore non possa essere grande: è controllato da 1 diviso per il quadrato del denominatore.
Cosa sono i convergenti di [1; 2, 2, 2, …]?
Una frazione continua scrive un numero come parte intera più una catena di reciproci. Per √2 la catena ripete il 2 senza fine e si scrive [1; 2, 2, 2, …]. Tagliando la catena in punti diversi e ricostruendo la frazione si ottengono i convergenti, che sono le migliori approssimazioni razionali con denominatore piccolo. La calcolatrice di frazioni continue sviluppa una frazione razionale nei suoi coefficienti, mostra i suoi convergenti e ricostruisce la frazione esatta; lavora solo con ingressi razionali e non calcola lo sviluppo infinito di un irrazionale come √2.
I primi convergenti di √2 sono 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29 e 99/70. Ognuno si avvicina più del precedente e alterna il lato: 7/5 sta sotto, 17/12 sopra, 41/29 sotto e 99/70 sopra. Per questo due convergenti consecutivi chiudono √2 in un intervallo che si restringe.
7/5 = 1,4; 41/29 ≈ 1,4138; 17/12 ≈ 1,4167; 3/2 = 1,5.
Prova: tre verifiche
Questi esercizi si risolvono con le definizioni precedenti.
- Verifica che 7/5 non valga esattamente √2. Risposta: il suo quadrato è 49/25 = 1,96, e 1,96 ≠ 2. Poiché il quadrato non dà 2, la frazione non è la radice.
- Eleva 99/70 al quadrato. Risposta: 99² = 9801 e 70² = 4900, quindi il quadrato è 9801/4900 ≈ 2,000204. Supera 2 di 1/4900 ≈ 0,000204.
- Calcola quanto manca a 41/29 per arrivare a 2. Risposta: 2 − 1681/841 = (1682 − 1681)/841 = 1/841 ≈ 0,001189. In unità della frazione stessa, pochissimo.
Il rapporto 1:√2 e la carta della serie A
I fogli della serie A, come A4 e A3, hanno i lati nel rapporto 1:√2. Questa scelta fa sì che, tagliando un foglio a metà lungo il lato lungo, le due metà abbiano di nuovo lo stesso rapporto e la forma si ripeta. Supponi che il lato corto misuri 1: il lato lungo misura √2. Tagliandolo in due, ogni metà misura 1 in larghezza e √2/2 in lunghezza; ruotata, il suo rapporto lunghezza/larghezza è 1/(√2/2) = 2/√2 = √2. Il rapporto torna a essere lo stesso.
Cosa mostra la calcolatrice per la radice di 2
La calcolatrice di radici di frazioni separa il risultato esatto da quello approssimato. Se il radicando è 2, la radice non è razionale. Una frazione ridotta ai minimi termini ha radice razionale solo quando numeratore e denominatore sono entrambi quadrati perfetti. Per questo √(8/2) = √4 = 2 è esatta: 8/2 si riduce a 4. Lo strumento mantiene l’espressione esatta e mostra un decimale troncato, non arrotondato, segnalato come approssimazione. Non scrive «√2 = 1,4142», perché quell’uguaglianza sarebbe falsa; scrive un’approssimazione con ≈.
Per passare da un decimale a una frazione vicina, lo strumento approssimare un decimale a frazione cerca la frazione migliore con un denominatore massimo e mostra l’errore esatto. Se invece di una radice vuoi il decimale di una frazione, la calcolatrice di frazione in decimale fa la conversione; la guida su frazioni con decimali finiti spiega quali denominatori producono un decimale che termina.
Perché la dimostrazione di parità funziona
La dimostrazione funziona perché unisce tre fatti che non dipendono da √2 in particolare: ogni numero razionale ha un’unica forma irriducibile, elevare al quadrato conserva la parità (un pari dà un quadrato pari e un dispari uno dispari), e 2 non è un quadrato perfetto. La combinazione obbliga p e q a condividere il fattore 2, esattamente ciò che la forma irriducibile vieta.
Supponi che √2 sia una frazione: cosa fallirebbe
Supponi che una coppia di interi coprimi soddisfi p² = 2q². Una ricerca diretta non trova alcuna coppia coprima con denominatore inferiore a 3000 che rispetti quell’uguaglianza, e la dimostrazione spiega perché non ne apparirà nessuna di alcuna dimensione: ogni soluzione dovrebbe essere formata da due numeri pari. La contraddizione non si limita ai casi piccoli che si possono verificare a mano.
Limiti di questa dimostrazione
Questa dimostrazione prova che √2 non è una frazione, e nulla di più. Non calcola decimali di √2, non misura la qualità di un’approssimazione e non dice quante frazioni si avvicinano a un valore dato. Non decide nemmeno se altre radici siano razionali: per questo occorre ripetere l’argomento con il fattore adatto o verificare se il radicando è un quadrato perfetto. Per le approssimazioni numeriche conviene usare le frazioni continue o l’approssimazione a denominatore limitato, che sono pensate per questo.
Inoltre è meglio non leggere la dimostrazione come una regola di calcolo. Sapere che √2 non è razionale non impedisce di usare 99/70 in un calcolo pratico; ricorda solo che il risultato è approssimato e che va segnalato come tale.
In sintesi: perché la radice di 2 è irrazionale
La dimostrazione che la radice di 2 è irrazionale è una catena breve: una frazione irriducibile p/q con p² = 2q² obbliga p a essere pari e poi q a esserlo, il che contraddice l’assenza di fattori comuni. Per questo non esiste alcuna frazione esatta, solo approssimazioni come 3/2, 7/5, 17/12, 41/29 e 99/70. Il rapporto 1:√2 della carta della serie A mostra che il numero compare persino negli oggetti quotidiani, sempre come rapporto, mai come quoziente di interi.
Domande frequenti
Si può scrivere √2 come decimale esatto?
No. Il decimale di √2 non termina né ripete un blocco di cifre; è infinito e non periodico. Qualsiasi decimale scritto, come 1,4142, è un’approssimazione. Se si scrivesse 1,414 = 707/500, si otterrebbe una frazione, ma un numero vicino e diverso da √2.
Perché la dimostrazione è associata ai pitagorici?
La dimostrazione è classica ed è tradizionalmente associata alla scuola pitagorica dell’antica Grecia. Non si sa con certezza chi l’abbia formulata per primo, quindi è meglio parlare della scuola che di una persona. L’argomento di parità usato qui è lo stesso della versione classica.
La frazione 99/70 è esattamente √2?
No. 99/70 vale circa 1,4142857 e il suo quadrato è 9801/4900, circa 2,000204, non esattamente 2. È la migliore delle cinque frazioni della tabella, ma resta un’approssimazione: è il suo quadrato a superare 2 di 1/4900, cioè circa 0,000204.
Come si ottengono i convergenti 3/2, 7/5 e 17/12?
Si ottengono tagliando la frazione continua [1; 2, 2, 2, …] in punti diversi. Fermarsi a [1; 2] dà 3/2; a [1; 2, 2] dà 7/5; a [1; 2, 2, 2] dà 17/12. Aggiungere un altro 2 migliora l’approssimazione e cambia il lato da cui ci si avvicina.
Perché l’errore di 41/29 è così piccolo?
Perché 41/29 al quadrato è 1681/841 e 2 = 1682/841, quindi la differenza è 1/841, circa 0,001189. Numeratore e denominatore al quadrato distano una sola unità, perciò l’errore si misura in unità di 1 diviso per il quadrato del denominatore.
Che rapporto c’è tra √2 e la dimensione dei fogli?
I fogli della serie A, come A4 e A3, hanno i lati nel rapporto 1:√2. Grazie a quel rapporto, tagliare un foglio a metà lungo il lato lungo produce due fogli con lo stesso rapporto, e la forma si conserva quando si riduce o si ingrandisce il formato.