No existe ninguna fracción p/q, con p y q enteros, que valga exactamente √2. Se demuestra por contradicción: si hubiera una fracción irreducible con esa propiedad, tanto p como q tendrían que ser pares, y una fracción irreducible no puede tener los dos pares. Lo que sí hay son fracciones muy cercanas, como 99/70, cuyo error es de unos 0,000072.
Qué pide el que √2 sea una fracción
Una fracción es un cociente de dos enteros con denominador distinto de cero. Un número que se puede escribir así es racional, como cuenta la guía de fracciones y números racionales. Preguntar si √2 es una fracción equivale a preguntar si existe ese par de enteros.
Antes de buscarlo hay que fijar una forma. Toda fracción se reduce dividiendo numerador y denominador entre su MCD: 6/8 pasa a 3/4 porque MCD(6, 8) = 2. Si no te acuerdas de cómo se obtiene, la herramienta de máximo común divisor lo calcula. En la forma irreducible, p y q no comparten ningún factor mayor que 1. Esa condición es la que la prueba acaba rompiendo.
La prueba por contradicción
Se supone lo contrario de lo que se quiere probar y se busca un absurdo.
- Supón la fracción. Sea √2 = p/q, con p y q enteros, q distinto de cero y MCD(p, q) = 1.
- Eleva al cuadrado. Queda 2 = p²/q², es decir, p² = 2q².
- Mira la paridad. El número p² es el doble de un entero, así que es par. Un cuadrado par viene de una base par, de modo que p = 2m para algún entero m.
- Sustituye. (2m)² = 2q² da 4m² = 2q², y al dividir entre 2 queda q² = 2m². Entonces q² es par y q también.
Con p y q pares, los dos se dividen entre 2, y eso contradice que MCD(p, q) = 1. La suposición no puede cumplirse.
El único hecho de divisibilidad que se usa es que un cuadrado par tiene base par. Se comprueba rápido por el otro lado: si p = 2k + 1, entonces p² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, que es impar.
La irreducibilidad no es un adorno. Si se permitieran fracciones sin reducir, «p y q son pares» no chocaría con nada, porque 2/4, 4/8 y 8/16 valen lo mismo. La contradicción aparece porque se eligió desde el principio la versión más reducida.
El argumento también explica qué ocurre con otras raíces. Para √3 sirve la misma idea con «múltiplo de 3» en lugar de «par», pero otras raíces, como √8 o √12, necesitan ajustar el argumento. Y con √4 no aparece ningún absurdo, porque √4 = 2 = 2/1 es una fracción. La prueba solo puede dar un absurdo cuando el radicando no es un cuadrado perfecto.
Fracciones que se acercan a √2
Como ninguna fracción vale √2, lo útil es saber cuáles se aproximan mejor para su tamaño. La tabla reúne las primeras, con su cuadrado y el error absoluto frente a √2 ≈ 1,41421356 (redondeado a 8 decimales).
| Fracción | Cuadrado exacto | Error (aprox.) | Queda |
|---|---|---|---|
| 3/2 | 9/4 = 2,25 | 0,085786 | por arriba |
| 7/5 | 49/25 = 1,96 | 0,014214 | por abajo |
| 17/12 | 289/144 ≈ 2,0069 | 0,002453 | por arriba |
| 41/29 | 1681/841 ≈ 1,9988 | 0,000420 | por abajo |
| 99/70 | 9801/4900 ≈ 2,0002 | 0,000072 | por arriba |
El error baja en cada fila y el lado alterna, así que cada par consecutivo encierra a √2. Los errores y los cuadrados decimales están redondeados (seis y cuatro decimales); ningún cuadrado de la tabla es 2.
Ejemplo resuelto: qué tan cerca está 17/12
Quieres saber si esa fracción puede valer √2 y, si no, por cuánto falla su cuadrado.
- Eleva la fracción al cuadrado. 17² = 289 y 12² = 144, así que (17/12)² = 289/144.
- Compara con 2. Como 2 = 288/144, la diferencia es 289/144 − 288/144 = 1/144.
- Interpreta. El cuadrado se pasa de 2 por 1/144 ≈ 0,0069 (redondeado a 4 decimales), así que la fracción es algo mayor que √2.
Resultado: 17/12 no es √2; su cuadrado es 289/144, que supera 2 en 1/144.
Comprobación: la fracción ≈ 1,41667 y √2 ≈ 1,41421 (ambos redondeados a 5 decimales), así que queda unas 0,0025 por encima, como indica la tabla.
Hay un patrón que no se ve a simple vista. En las cinco fracciones, p² − 2q² vale +1 o −1. Para 7/5 sale 49 − 50 = −1, y para la tercera sale 289 − 288 = 1. Eso explica el lado en que queda cada una y por qué el error no puede ser grande: el cuadrado de la fracción difiere de 2 en exactamente 1/q². Si sigues la lista, las siguientes son 239/169 y 577/408. Esta última aparece en los Sulba Sutras indios, según el artículo de la Wikipedia en español citado al final.
Una confusión frecuente es leer 1,4142 como 14142/10000 y concluir que √2 es racional.
De dónde salen estas fracciones
Las fracciones de la tabla son los convergentes de la fracción continua [1; 2, 2, 2, …], donde el 2 se repite sin fin. Cortar la cadena en un punto y reconstruir la fracción da cada aproximación: [1; 2] es 3/2, [1; 2, 2] es 7/5 y [1; 2, 2, 2] es 17/12. Para ver el proceso con una fracción racional, la herramienta de fracciones continuas calcula la expansión y sus convergentes. No desarrolla la cadena infinita de un irracional como √2, porque solo admite fracciones.
Si partes de un decimal y quieres la fracción sencilla más próxima, aproximar decimal a fracción busca la mejor con un denominador máximo que tú eliges y muestra el error. Con denominador máximo 70 y el decimal 1,41421356 propone 99/70, la fracción de la tabla; con máximo 100 propone 140/99, que no está en la tabla y tiene un error del mismo orden (0,000072). Y la calculadora de raíces de fracciones deja √2 como expresión exacta y marca el decimal con ≈. Solo da un valor exacto cuando numerador y denominador son cuadrados perfectos, como en √(4/9) = 2/3.
Un caso cotidiano: el papel de la serie A
Las hojas de la serie A, como A4 y A3, se diseñan con los lados en proporción 1 : √2. Si el lado corto mide 1, el largo mide √2. Al partir la hoja por la mitad del lado largo, cada mitad mide 1 por √2/2, y girada su razón largo entre corto es 1 ÷ (√2/2) = 2/√2 = √2. La forma se conserva, y por eso al ampliar o reducir una hoja de la serie A nada se deforma. Aquí √2 aparece como razón entre longitudes, nunca como cociente de dos enteros.
Quién la descubrió
La tradición atribuye el descubrimiento de la irracionalidad a la escuela pitagórica, y el artículo de la Wikipedia en español nombra a Hipaso de Metaponto como el primero en demostrarla con geometría. La atribución es incierta: MacTutor recoge que se asigna a los pitagóricos, pero que parece poco probable que se deba al propio Pitágoras, y la Stanford Encyclopedia of Philosophy señala que Eudemo no atribuye a Pitágoras en persona los descubrimientos pitagóricos que recoge Proclo. Por eso aquí se habla de la escuela y no de una persona. La demostración de arriba es la de paridad, una de las más breves; la que cita la Wikipedia es geométrica.
Practica
Tres comprobaciones
- Eleva 99/70 al cuadrado y di cuánto se pasa de 2.
- Calcula p² − 2q² para 41/29.
- Explica por qué la prueba no funciona con √9.
Ver las respuestas
- 99² = 9801 y 70² = 4900, así que (99/70)² = 9801/4900. Como 2 = 9800/4900, se pasa por 1/4900.
- 41² − 2 × 29² = 1681 − 1682 = −1.
- Porque √9 = 3 = 3/1 es una fracción. En p² = 9q², que p sea múltiplo de 3 no lleva a ningún absurdo.
Fuentes
- Wikipedia en español, Raíz cuadrada de 2: atribución a Hipaso de Metaponto y 577/408 en los Sulba Sutras (consultado el 17 de octubre de 2026).
- MacTutor, Pythagoras of Samos (en inglés): atribución a los pitagóricos y no a Pitágoras (consultado el 17 de octubre de 2026).
- Stanford Encyclopedia of Philosophy, Pythagoras (en inglés): Eudemo no atribuye a Pitágoras en persona los descubrimientos pitagóricos que recoge Proclo (consultado el 17 de octubre de 2026).