Não existe nenhuma fração p/q, com p e q inteiros, que valha exatamente √2. A demonstração é por contradição: se houvesse uma fração irredutível com essa propriedade, tanto p quanto q teriam de ser pares, e uma fração irredutível não pode ter os dois pares. O que existe são frações muito próximas, como 99/70, cujo erro é de cerca de 0,000072.
O que significa √2 ser uma fração
Uma fração é o quociente de dois inteiros com denominador diferente de zero. Um número que pode ser escrito assim é racional, como explica o guia de frações e números racionais. Perguntar se √2 é uma fração equivale a perguntar se existe esse par de inteiros.
Antes de procurá-lo, é preciso fixar uma forma. Toda fração se reduz dividindo numerador e denominador pelo MDC: 6/8 passa a 3/4 porque MDC(6, 8) = 2. Se não lembrar como se obtém, a ferramenta de máximo divisor comum faz o cálculo. Na forma irredutível, p e q não têm nenhum fator comum maior que 1. É essa condição que a prova acaba quebrando.
A prova por contradição
Supõe-se o contrário do que se quer provar e procura-se um absurdo.
- Suponha a fração. Seja √2 = p/q, com p e q inteiros, q diferente de zero e MDC(p, q) = 1.
- Eleve ao quadrado. Resulta 2 = p²/q², isto é, p² = 2q².
- Olhe a paridade. O número p² é o dobro de um inteiro, logo é par. Um quadrado par vem de uma base par, de modo que p = 2m para algum inteiro m.
- Substitua. (2m)² = 2q² dá 4m² = 2q², e dividindo por 2 fica q² = 2m². Então q² é par e q também.
Com p e q pares, ambos se dividem por 2, e isso contradiz MDC(p, q) = 1. A suposição não pode valer.
O único fato de divisibilidade usado é que um quadrado par tem base par. Verifica-se depressa pelo outro lado: se p = 2k + 1, então p² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, que é ímpar.
A irredutibilidade não é enfeite. Se fossem permitidas frações não reduzidas, “p e q são pares” não esbarraria em nada, porque 2/4, 4/8 e 8/16 têm o mesmo valor. A contradição aparece porque se escolheu desde o início a versão mais reduzida.
O argumento também explica o que acontece com outras raízes. Para √3 serve a mesma ideia, com “múltiplo de 3” no lugar de “par”, mas outras raízes, como √8 ou √12, exigem ajustar o argumento. E com √4 não aparece absurdo nenhum, porque √4 = 2 = 2/1 é uma fração. A prova só pode dar um absurdo quando o radicando não é um quadrado perfeito.
Frações que se aproximam de √2
Como nenhuma fração vale √2, o útil é saber quais se aproximam melhor para o seu tamanho. A tabela reúne as primeiras, com o quadrado e o erro absoluto em relação a √2 ≈ 1,41421356 (arredondado a 8 casas decimais).
| Fração | Quadrado exato | Erro (aprox.) | Fica |
|---|---|---|---|
| 3/2 | 9/4 = 2,25 | 0,085786 | acima |
| 7/5 | 49/25 = 1,96 | 0,014214 | abaixo |
| 17/12 | 289/144 ≈ 2,0069 | 0,002453 | acima |
| 41/29 | 1681/841 ≈ 1,9988 | 0,000420 | abaixo |
| 99/70 | 9801/4900 ≈ 2,0002 | 0,000072 | acima |
O erro diminui a cada linha e o lado se alterna, de modo que cada par consecutivo envolve √2. Os erros e os quadrados decimais estão arredondados (a seis e a quatro casas decimais); nenhum quadrado da tabela é 2.
Exemplo resolvido: quão perto está 17/12
Verificar se essa fração pode valer √2 e, se não, por quanto o seu quadrado falha.
- Eleve a fração ao quadrado. 17² = 289 e 12² = 144, então (17/12)² = 289/144.
- Compare com 2. Como 2 = 288/144, a diferença é 289/144 − 288/144 = 1/144.
- Interprete. O quadrado passa de 2 por 1/144 ≈ 0,0069 (arredondado a 4 casas decimais), então a fração é um pouco maior que √2.
Resultado: 17/12 não é √2; o seu quadrado é 289/144, que supera 2 em 1/144.
Verificação: a fração ≈ 1,41667 e √2 ≈ 1,41421 (ambos arredondados a 5 casas decimais), então fica cerca de 0,0025 acima, como indica a tabela.
Há um padrão que não se vê à primeira vista. Nas cinco frações, p² − 2q² vale +1 ou −1. Para 7/5 dá 49 − 50 = −1, e para a terceira dá 289 − 288 = 1. Isso explica o lado em que cada uma fica e por que o erro não pode ser grande: o quadrado da fração difere de 2 em exatamente 1/q². Seguindo a lista, as próximas são 239/169 e 577/408.
Uma confusão frequente é ler 1,4142 como 14142/10000 e concluir que √2 é racional.
De onde saem essas frações
As frações da tabela são os convergentes da fração contínua [1; 2, 2, 2, …], em que o 2 se repete sem fim. Cortar a cadeia num ponto e reconstruir a fração dá cada aproximação: [1; 2] é 3/2, [1; 2, 2] é 7/5 e [1; 2, 2, 2] é 17/12. Para ver o processo com uma fração racional, a ferramenta de frações contínuas calcula a expansão e os seus convergentes. Ela não desenvolve a cadeia infinita de um irracional como √2, porque só aceita frações.
Partindo de um decimal, para obter a fração simples mais próxima, aproximar decimal para fração busca a melhor com um denominador máximo à escolha e mostra o erro. Com denominador máximo 70 e o decimal 1,41421356, propõe 99/70, a fração da tabela; com máximo 100, propõe 140/99, que não está na tabela e tem um erro da mesma ordem (0,000072). E a calculadora de raízes de frações deixa √2 como expressão exata e marca o decimal com ≈. Só dá um valor exato quando numerador e denominador são quadrados perfeitos, como em √(4/9) = 2/3.
Um caso do dia a dia: o papel da série A
As folhas da série A, como A4 e A3, são projetadas com os lados na proporção 1 : √2. Se o lado menor mede 1, o maior mede √2. Ao cortar a folha pela metade do lado maior, cada metade mede 1 por √2/2 e, girada, a razão entre maior e menor é 1 ÷ (√2/2) = 2/√2 = √2. A forma se conserva, e por isso ao ampliar ou reduzir uma folha da série A nada se deforma. Aqui √2 aparece como razão entre comprimentos, nunca como quociente de dois inteiros.
Quem a descobriu
A tradição atribui a descoberta da irracionalidade à escola pitagórica, e a Wikipédia em português diz que a descoberta é atribuída a Hipaso de Metaponto. A atribuição é incerta: o MacTutor registra que se atribui aos pitagóricos, mas que parece pouco provável que se deva ao próprio Pitágoras, e a Stanford Encyclopedia of Philosophy assinala que Eudemo não atribui a Pitágoras em pessoa as descobertas pitagóricas que Proclo recolhe. Por isso aqui se fala da escola e não de uma pessoa. A demonstração acima é a de paridade, uma das mais curtas.
Pratique
Três verificações
- Eleve 99/70 ao quadrado e diga por quanto passa de 2.
- Calcule p² − 2q² para 41/29.
- Explique por que a prova não funciona com √9.
Ver as respostas
- 99² = 9801 e 70² = 4900, então (99/70)² = 9801/4900. Como 2 = 9800/4900, passa por 1/4900.
- 41² − 2 × 29² = 1681 − 1682 = −1.
- Porque √9 = 3 = 3/1 é uma fração. Em p² = 9q², que p seja múltiplo de 3 não leva a nenhum absurdo.
Fontes
- Wikipédia em português, Raiz quadrada de dois: descoberta atribuída a Hipaso de Metaponto (consultado em 17 de outubro de 2026).
- MacTutor, Pythagoras of Samos (em inglês): atribuição aos pitagóricos e não a Pitágoras (consultado em 17 de outubro de 2026).
- Stanford Encyclopedia of Philosophy, Pythagoras (em inglês): Eudemo não atribui a Pitágoras em pessoa as descobertas pitagóricas que Proclo recolhe (consultado em 17 de outubro de 2026).