Comment le résoudre
- Résolvez d’abord ce qui est entre parenthèses.
- Calculez ensuite les puissances.
- Effectuez les multiplications et divisions de gauche à droite.
- Terminez par les additions et soustractions de gauche à droite.
2/3 + 1/2 × 3/4
1/2 × 3/4 = 3/8
2/3 + 3/8 = 16/24 + 9/24 = 25/24
Résultat: 25/24
Erreur fréquente:Faux: 1/2 + 1/3 × 3/4 = 5/6 × 3/4 = 5/8.Juste: 1/2 + 1/3 × 3/4 = 1/2 + 1/4 = 3/4.Additionner de gauche à droite ignore la priorité du produit. On calcule d’abord 1/3 × 3/4 = 1/4.
Pour une seule opération entre deux fractions, utilisez l’index des opérations sur les fractions ; cette page fixe l’ordre des calculs dans une expression qui en contient plusieurs.
Exemple résolu : 1/2 + 3/4 × 2/3
L’expression mêle une addition et un produit, sans parenthèses. Que faut-il calculer en premier, et que vaut-elle ?
- Repérez le produit. La multiplication est prioritaire sur l’addition, on la fait donc d’abord. Ainsi, 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2.
- Remplacez et additionnez. L’expression devient 1/2 + 1/2 = 2/2 = 1.
Résultat final : 1.
Vérification. En décimaux, 3/4 × 2/3 ≈ 0,75 × 0,667 = 0,50025 (0,667 − 2/3 = 1/3000, erreur par excès), proche de 0,5 ; 0,5 + 0,5 = 1.
La calculatrice affiche une ligne par opération effectuée. Ici, il y en a trois (le produit sur deux lignes, à cause de la façon dont elle lit la barre, puis la somme), car les fractions déjà écrites ne comptent pas comme un calcul.
Les quatre niveaux des priorités
Les priorités rangent les opérations par niveaux. Dans le niveau de × et ÷, comme dans celui de + et −, on avance de gauche à droite ; les parenthèses ou les crochets font passer leur contenu au premier niveau.
| Niveau | Expression | Résultat |
|---|---|---|
| 1. Parenthèses et crochets | (1/2 + 3/4) × 2/3 | 5/6 |
| 2. Puissances | 3 × (1/3)^-2 = 3 × 9 | 27 |
| 3. × et ÷ de gauche à droite | 3/5 ÷ 3/10 × 2 = 2 × 2 | 4 |
| 3. Si vous groupez le produit | 3/5 ÷ (3/10 × 2) = 3/5 ÷ 3/5 | 1 |
| 4. + et − de gauche à droite | 9/10 − 2/5 + 1/10 = 5/10 + 1/10 | 3/5 |
| 4. Si vous groupez la somme | 9/10 − (2/5 + 1/10) = 9/10 − 5/10 | 2/5 |
Ces lignes, prises deux à deux, montrent qu’une parenthèse change la valeur alors que les nombres sont les mêmes. La règle de gauche à droite a une raison : diviser par 3/10, c’est multiplier par 10/3, donc la ligne du niveau 3 revient à 3/5 × 10/3 × 2 = 4. Grouper le produit après la division change le diviseur, et avec lui le résultat. Pour la soustraction, c’est comparable : soustraire un terme revient à ajouter son opposé, et c’est pourquoi 8 − 3 + 2 se lit 8 + (−3) + 2.
Signes, puissances et barres
Le signe moins et la barre de fraction sont les deux endroits où la lecture dérape. En notation mathématique, le signe placé devant une puissance ne fait pas partie de la base : −3² = −(3²) = −9. Dans les tableurs et certains logiciels, le signe est inclus dans le nombre et le résultat serait 9. La calculatrice suit la notation mathématique.
| Vous saisissez | Lecture | Résultat |
|---|---|---|
| -3^2 | −(3^2) | −9 |
| (-3)^2 | (−3) × (−3) | 9 |
| 2^3^2 | 2^(3^2) = 2^9 | 512 |
| 1/3/1/5*2 | chaîne de divisions de gauche à droite | 2/15 |
| (1/3)/(1/5)*2 | (1/3 ÷ 1/5) × 2 | 10/3 |
Les puissances enchaînées se regroupent par le haut, a^(b^c), ce qui est la convention habituelle ; avec le symbole ^, il n’existe pas de convention universelle, et certains logiciels lisent cette écriture autrement. Avec ÷ entre des fractions, chacune est lue en entier, et avec la barre seule les divisions s’enchaînent. Si une expression admet deux lectures, quelques parenthèses suffisent à les départager.
Chaque expression accepte jusqu’à 1024 caractères ; au-delà, c’est une erreur, jamais un résultat partiel.
Quelle calculatrice choisir selon le calcul
Pour une seule opération entre deux fractions, la calculatrice de fractions et les pages de chaque opération détaillent la méthode. Si l’expression est une grande fraction avec une autre expression au-dessus et en dessous, les fractions complexes repèrent la barre principale. Les puissances ont leur calculatrice de puissances de fractions, les racines se trouvent dans les racines de fractions, et une inconnue x demande les fractions algébriques ou les équations avec fractions.
Pour vous entraîner avec les corrigés, les exercices corrigés sur les fractions rassemblent des exercices sur les fractions avec leurs solutions. Si vos erreurs sont d’un autre type, le guide des erreurs avec les fractions les classe.
Questions fréquentes
Que vaut 6/2(1+2) ?
La calculatrice effectue × et ÷ de gauche à droite et traite le produit collé à la parenthèse comme une multiplication ordinaire : 6 ÷ 2 × 3 = 9. D’autres textes lisent 6 ÷ (2 × 3) = 1. Comme la notation permet les deux lectures, écrivez le signe × ou les parenthèses qui correspondent à ce que vous voulez calculer.
Comment écrire la puissance d’une fraction ?
Mettez la base entre parenthèses et l’exposant après ^ : (3/2)^3 = 27/8. Sans parenthèses, 3/2^3 n’élève que le 2 et vaut 3/8. Les exposants doivent être entiers, positifs ou négatifs ; un exposant négatif inverse la base, comme dans (4/5)^-1 = 5/4.
Combien de parenthèses peut-on imbriquer ?
La profondeur maximale est de 20, et chaque parenthèse et chaque opérateur à sa droite comptent. En pratique, on peut imbriquer 9 parenthèses avec une opération à chaque niveau, et jusqu’à 19 de suite sans opération. Les crochets fonctionnent comme les parenthèses et aident à repérer les groupes d’un coup d’œil, comme dans ((2/7+3/7)×7)^2 = 5^2 = 25. Les accolades ne sont pas acceptées ; remplacez-les par des parenthèses ou des crochets.
Pourquoi une erreur alors que je n’ai pas écrit de division par zéro ?
Parce que le diviseur peut s’annuler une fois calculé. Dans 1/(2/5−4/10), le dénominateur vaut 2/5 − 4/10 = 0 et l’expression est refusée. Vérifiez le groupe placé sous la barre, ou celui qui suit un ÷.