Saisissez l’expression complète dans un seul champ, avec des parenthèses autour de chaque numérateur et de chaque dénominateur de plus d’un terme, puis appuyez sur « Calculer ». Vous trouverez ci-dessous un cas résolu, les écritures admises et celles qui ne le sont pas. Si vous avez une équation avec un signe égal, utilisez équations avec des fractions ; pour savoir comment trouver à la main les valeurs exclues, lisez fractions algébriques et ensemble de définition.
Exemple résolu
Simplifiez (x² − 1)/(x − 1) et indiquez pour quelles valeurs de x le résultat est valable. Dans la calculatrice, on saisit (x^2-1)/(x-1).
- Factorisez le numérateur. x² − 1 est une différence de carrés : (x − 1)(x + 1).
- Annulez le facteur commun. x − 1 apparaît en haut et en bas, il reste x + 1.
- Notez la restriction. Le dénominateur de départ, x − 1, s’annule pour x = 1. La condition est
x-1 ≠ 0.
Résultat : x + 1, avec x ≠ 1.
Vérification : pour x = 3, la fraction vaut (9 − 1)/(3 − 1) = 4 et x + 1 vaut aussi 4. Pour x = 1, la fraction de départ n’existe pas, même si x + 1 vaut 2.
Ce qui s’annule et ce qui reste
On simplifie une fraction algébrique en factorisant le haut et le bas, puis en retirant les facteurs qui se répètent. Comme pour toute fraction, elle est irréductible quand le seul facteur commun est 1.
| Fraction | Résultat | Condition écrite | Pourquoi |
|---|---|---|---|
| (x² + 2x + 1)/(x + 1) | x + 1 | x+1 ≠ 0 | Le numérateur est (x + 1)² : un facteur x + 1 s’annule |
| (x³ − 8)/(x² − 4) | (x² + 2x + 4)/(x + 2) | x^2-4 ≠ 0 | Ils ont x − 2 en commun ; la restriction garde le dénominateur de départ |
| (x² + 1)/(x + 1) | Inchangée | x+1 ≠ 0 | Aucun facteur commun |
| (x + 2)/(x + 3) | Inchangée | x+3 ≠ 0 | Le x est un terme d’une somme, pas un facteur |
Les deux premières lignes se simplifient, les deux dernières étaient déjà réduites. Les conditions s’écrivent sous forme de polynôme, comme dans la troisième colonne ; pour voir la valeur exclue, égalez le polynôme à zéro (x + 1 = 0 donne x = −1).
Additionner, soustraire, multiplier et diviser
Saisissez l’opération entière dans le même champ. La calculatrice cherche le dénominateur commun, réduit le résultat et rassemble les conditions de tous les dénominateurs rencontrés en chemin. Dans une division, on exclut aussi les valeurs qui annulent le diviseur. Elle écrit chaque condition sous forme de polynôme différent de zéro, y compris le produit des dénominateurs (x² − 1 ≠ 0), qui répète ce que disent déjà les deux autres. La dernière colonne du tableau montre les mêmes données une fois résolues.
| Opération | Résultat | Conditions écrites | Valeurs exclues |
|---|---|---|---|
| 1/x + 1/(x + 1) | (2x + 1)/(x² + x) | x ≠ 0, x+1 ≠ 0, x^2+x ≠ 0 | x ≠ 0 et x ≠ −1 |
| 2/(x − 1) − 1/(x + 1) | (x + 3)/(x² − 1) | x-1 ≠ 0, x+1 ≠ 0, x^2-1 ≠ 0 | x ≠ 1 et x ≠ −1 |
| (x/(x + 1)) ÷ ((x − 1)/(x + 1)) | x/(x − 1) | x+1 ≠ 0, x-1 ≠ 0, x^2-1 ≠ 0 | x ≠ −1 et x ≠ 1 |
Dans la première ligne, pour x = 2, la somme de départ vaut 1/2 + 1/3 = 5/6 et le résultat donne (2 · 2 + 1)/(4 + 2) = 5/6. Substituer ainsi permet de contrôler n’importe quel résultat. Si les deux valeurs ne coïncident pas, une étape est fausse.
Comment saisir l’expression
La multiplication s’écrit toujours avec un signe, car avec la variable x un produit implicite serait ambigu. Les signes *, · et × sont valables, et les parenthèses et crochets servent à grouper.
| Vous saisissez | Résultat |
|---|---|
(x^2+2*x+1)/(x+1) | Acceptée, donne x + 1 |
x^-1+1 | Acceptée, donne (x + 1)/x, avec x ≠ 0 |
(0,5*x+1/3)/(x+2/3) | Acceptée, donne 1/2, avec x ≠ −2/3 |
(x^2+2x+1)/(x+1) | Refusée : le signe manque dans 2x ; écrivez 2*x |
(x+1)(x-1) | Refusée : le signe manque entre les parenthèses ; écrivez (x+1)*(x-1) |
x^9/x | Refusée : le numérateur dépasse déjà le degré 8 |
En cas de refus, corrigez le signe ou baissez le degré, puis recalculez.
Si votre problème est autre
Cette page travaille sur des expressions, pas sur des équations. S’il y a un signe égal et que vous cherchez x, équations avec des fractions vérifie les solutions avec ces mêmes restrictions. Pour séparer une fraction en termes simples, par exemple avant de calculer une primitive, il y a la décomposition en éléments simples. Quand il n’y a pas de variable et que le quotient imbriqué est numérique, les fractions complexes et les priorités opératoires avec des fractions sont faites pour cela. Pour comprendre pourquoi un dénominateur ne peut pas valoir zéro, lisez dénominateur zéro.
Sources
- Wikipédia en français, « Fraction rationnelle ». Définit une fraction irréductible comme un couple de polynômes premiers entre eux, c’est-à-dire sans facteur commun ; fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_rationnelle, consulté le 17 octobre 2026. Les autres valeurs de la page proviennent du moteur de la calculatrice.
Questions fréquentes
Combien vaut (x − 1)/(1 − x) ?
Elle vaut −1 pour tout x différent de 1. Le dénominateur est l’opposé du numérateur, car 1 − x = −(x − 1), et le quotient de deux opposés vaut −1. Pour x = 1, la fraction de départ s’écrit 0/0 et n’est pas définie : cette restriction est donc conservée.
Que signifie un résultat égal à 0 avec des restrictions ?
L’expression vaut 0 là où elle est définie, mais pas aux valeurs exclues. Par exemple, 1/x − 1/x se réduit à 0 avec x ≠ 0, car pour x = 0 les deux termes de départ n’existent pas. Le zéro n’efface pas les exclusions.