Schreib den ganzen Ausdruck in ein einziges Feld, setze jeden Zähler und Nenner mit mehr als einem Glied in Klammern und wähle „Berechnen“. Unten findest du einen durchgerechneten Fall, die erlaubten Eingaben und die abgelehnten. Hast du eine Gleichung mit Gleichheitszeichen, nutze Bruchgleichungen; wie du die ausgeschlossenen Werte von Hand findest, steht im Ratgeber Algebraische Brüche und Definitionsmenge.
Rechenbeispiel
Vereinfache (x² − 1)/(x − 1) und gib an, für welche Werte von x das Ergebnis gilt. In den Rechner gibst du (x^2-1)/(x-1) ein.
- Faktorisiere den Zähler. x² − 1 ist eine Differenz von Quadraten: (x − 1)(x + 1).
- Kürze den gemeinsamen Faktor. Oben und unten steht x − 1, übrig bleibt x + 1.
- Halte die Einschränkung fest. Der ursprüngliche Nenner x − 1 wird bei x = 1 null. Es bleibt die Bedingung
x-1 ≠ 0.
Ergebnis: x + 1 mit x ≠ 1.
Probe: Für x = 3 hat der Bruch den Wert (9 − 1)/(3 − 1) = 4, und x + 1 ergibt ebenfalls 4. Bei x = 1 existiert der ursprüngliche Bruch nicht, obwohl x + 1 dort 2 ist.
Was sich kürzen lässt und was bleibt
Einen algebraischen Bruch vereinfachst du, indem du Zähler und Nenner faktorisierst und die gemeinsamen Faktoren streichst. Wie bei jedem Bruch ist er vollständig gekürzt, wenn der einzige gemeinsame Faktor 1 ist.
| Bruch | Ergebnis | Bedingung im Ergebnis | Warum |
|---|---|---|---|
| (x² + 2x + 1)/(x + 1) | x + 1 | x+1 ≠ 0 | Der Zähler ist (x + 1)²: Ein Faktor x + 1 kürzt sich |
| (x³ − 8)/(x² − 4) | (x² + 2x + 4)/(x + 2) | x^2-4 ≠ 0 | Beide haben den Faktor x − 2; die Bedingung behält den ursprünglichen Nenner |
| (x² + 1)/(x + 1) | Unverändert | x+1 ≠ 0 | Zähler und Nenner haben keinen gemeinsamen Faktor |
| (x + 2)/(x + 3) | Unverändert | x+3 ≠ 0 | Das x ist ein Summand, kein Faktor |
Die ersten beiden Zeilen lassen sich vereinfachen, die letzten beiden waren schon gekürzt. Die Bedingungen stehen als Polynom da, wie in der dritten Spalte; den ausgeschlossenen Wert findest du, indem du das Polynom gleich null setzt (x + 1 = 0 ergibt x = −1).
Addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren
Schreib die ganze Rechnung in dasselbe Feld. Der Rechner sucht den Hauptnenner, kürzt das Ergebnis und sammelt die Bedingungen aller Nenner, die unterwegs auftreten. Bei einer Division wird auch ausgeschlossen, was den Divisor null macht. Der Rechner schreibt jede Bedingung als Polynom ungleich null, auch das Produkt der Nenner (x² − 1 ≠ 0), das nur wiederholt, was die beiden anderen schon sagen. Die letzte Spalte der Tabelle zeigt dieselben Angaben schon aufgelöst.
| Rechnung | Ergebnis | Bedingungen im Ergebnis | Ausgeschlossene Werte |
|---|---|---|---|
| 1/x + 1/(x + 1) | (2x + 1)/(x² + x) | x ≠ 0, x+1 ≠ 0, x^2+x ≠ 0 | x ≠ 0 und x ≠ −1 |
| 2/(x − 1) − 1/(x + 1) | (x + 3)/(x² − 1) | x-1 ≠ 0, x+1 ≠ 0, x^2-1 ≠ 0 | x ≠ 1 und x ≠ −1 |
| (x/(x + 1)) ÷ ((x − 1)/(x + 1)) | x/(x − 1) | x+1 ≠ 0, x-1 ≠ 0, x^2-1 ≠ 0 | x ≠ −1 und x ≠ 1 |
In der ersten Zeile ist die ursprüngliche Summe bei x = 2 gleich 1/2 + 1/3 = 5/6, und das Ergebnis liefert (2 · 2 + 1)/(4 + 2) = 5/6. Mit dieser Einsetzprobe kannst du jedes Ergebnis prüfen. Stimmen die beiden Werte nicht überein, ist irgendwo ein Schritt schiefgegangen.
So gibst du den Ausdruck ein
Die Multiplikation schreibst du immer mit einem Zeichen aus, denn mit der Variablen x wäre ein stilles Produkt mehrdeutig. Erlaubt sind *, · und ×; runde und eckige Klammern gruppieren.
| Du schreibst | Ergebnis |
|---|---|
(x^2+2*x+1)/(x+1) | Wird angenommen, ergibt x + 1 |
x^-1+1 | Wird angenommen, ergibt (x + 1)/x mit x ≠ 0 |
(0,5*x+1/3)/(x+2/3) | Wird angenommen, ergibt 1/2 mit x ≠ −2/3 |
(x^2+2x+1)/(x+1) | Wird abgelehnt, weil bei 2x das Zeichen fehlt; schreib 2*x |
(x+1)(x-1) | Wird abgelehnt, weil zwischen den Klammern das Zeichen fehlt; schreib (x+1)*(x-1) |
x^9/x | Wird abgelehnt, weil der Zähler schon über Grad 8 liegt |
Bei einer Ablehnung ergänze das Zeichen oder senke den Grad und rechne erneut.
Wenn deine Aufgabe eine andere ist
Diese Seite arbeitet mit Termen, nicht mit Gleichungen. Gibt es ein Gleichheitszeichen und suchst du x, prüft Bruchgleichungen die Lösungen gegen genau diese Einschränkungen. Um einen Bruch in einfache Summanden zu zerlegen, etwa vor dem Integrieren, gibt es die Partialbruchzerlegung. Ist keine Variable im Spiel und der verschachtelte Quotient eine Zahl, bist du bei Doppelbrüchen und gemischten Rechenarten richtig. Warum ein Nenner nicht null sein darf, erklärt der Ratgeber Nenner null.
Quellen
- Die Zahlen der Seite stammen aus dem Rechenkern des Rechners.
Häufige Fragen
Wie viel ist (x − 1)/(1 − x)?
Der Term ist −1 für alle x ungleich 1. Der Nenner ist das Negative des Zählers, denn 1 − x = −(x − 1), und der Quotient zweier Gegenzahlen ist −1. Bei x = 1 ist der ursprüngliche Bruch 0/0 und nicht definiert, deshalb bleibt diese Einschränkung bestehen.
Was heißt es, wenn das Ergebnis 0 ist und trotzdem Einschränkungen dastehen?
Der Term hat überall dort den Wert 0, wo er definiert ist, nicht aber an den ausgeschlossenen Stellen. 1/x − 1/x wird zum Beispiel zu 0 mit x ≠ 0, denn bei x = 0 existieren beide ursprünglichen Summanden nicht. Die Null hebt die Ausschlüsse nicht auf.