Für (3x + 5)/((x + 1)(x + 2)) gibst du 5,3 als Zähler und die Faktoren 1,1;1 und 2,1;1 ein: Du erhältst 2/(x + 1) + 1/(x + 2), mit x ≠ −1 und x ≠ −2. Willst du gemeinsame Faktoren kürzen, nimm algebraische Brüche.
Rechenbeispiel: in einfache Brüche zerlegen
Zerlege den Quotienten in einfache Brüche. Eingabe: Zähler `5,3`; Faktoren `1,1;1` und `2,1;1`.
- Ein Term pro Faktor. Der Quotient = A/(x + 1) + B/(x + 2).
- Zähler gleichsetzen. 3x + 5 = A(x + 2) + B(x + 1).
- Zwei Werte für x einsetzen. Bei x = −1 fällt der zweite Summand weg: 3(−1) + 5 = 2 = A · 1, also A = 2. Bei x = −2 fällt der erste weg: 3(−2) + 5 = −1 = B · (−1), also B = 1.
Ergebnis: 2/(x + 1) + 1/(x + 2), mit x ≠ −1 und x ≠ −2.
Probe. Für x = 1 hat der Ausgangsbruch den Wert 8/6 = 4/3, und 2/2 + 1/3 ergibt ebenfalls 4/3. Außerdem ist 2(x + 2) + (x + 1) = 3x + 5.
So gibst du die Daten ein
Die Koeffizienten stehen vom niedrigsten zum höchsten Grad, durch Kommas getrennt: zuerst das Absolutglied, dann der Koeffizient von x und, falls vorhanden, der von x². Jeder Faktor steht in einer eigenen Zeile in der Form Koeffizienten;Vielfachheit. Die Koeffizienten sind ganze Zahlen oder Brüche wie 1/2, niemals Dezimalzahlen. Die Grenze ist Gesamtgrad 6 im Nenner.
| Ausdruck | So schreibst du es |
|---|---|
| x | 0,1;1 |
| x − 1 | -1,1;1 |
| x² + 1 | 1,0,1;1 |
| (x + 1)² | 1,1;2 |
| Zähler x² + 1 | 1,0,1 |
Beachte, dass das Absolutglied zuerst kommt: x − 1 ist -1,1, nicht 1,-1. Kommt ein Faktor zweimal vor, fasse ihn in einer Zeile mit seiner Vielfachheit zusammen, denn zwei gleiche Zeilen werden abgelehnt.
Was sich je nach Nenner ändert
Das Verfahren ist immer dasselbe: ein Term für jeden Faktor und jede Potenz, Zähler gleichsetzen und die Koeffizienten bestimmen. Unterschiedlich ist nur die Form der einzelnen Terme.
| Fall | Bruch | Zerlegung |
|---|---|---|
| Mehrfacher Faktor | (2x + 1)/(x(x + 1)²) | 1/x − 1/(x + 1) + 1/(x + 1)² |
| Quadratischer Faktor | (x + 2)/(x(x² + 1)) | 2/x + (1 − 2x)/(x² + 1) |
| Zähler mit hohem Grad | x³/((x + 1)(x + 2)) | x − 3 − 1/(x + 1) + 8/(x + 2) |
Lies jede Zeile von links nach rechts: Die Form des Nenners entscheidet, wie viele Summanden entstehen und welcher Art sie sind. Haben Nenner und Zähler einen gemeinsamen Faktor, kürze zuerst mit algebraischen Brüchen und zerlege danach. Wie du die Nullstellen eines Nenners ab Grad 3 findest, erklärt der Ratgeber zu Definitionsmenge und Faktorzerlegung algebraischer Brüche.
Wie es weitergeht
Willst du gemeinsame Faktoren kürzen oder mit Termen in x rechnen, nimm algebraische Brüche; dort bleiben die Einschränkungen erhalten. Steht ein Gleichheitszeichen da und suchst du den Wert von x, geh zu Bruchgleichungen. Für einen rein numerischen Ausdruck ohne x passen die Bruchterme.
Die deutschsprachige Wikipedia beschreibt die Zerlegung in Partialbrüche: Ist der Zählergrad nicht kleiner als der Nennergrad, wird zuerst der Zähler durch den Nenner geteilt, und ein irreduzibler quadratischer Nenner bekommt einen linearen Zähler, wie in der Tabelle oben (abgerufen am 17. Oktober 2026).
Häufige Fragen
Wie zerlege ich den Nenner in Faktoren, bevor ich den Rechner benutze?
Bei einem quadratischen Term wie x² + 7x + 12 suchst du zwei Zahlen mit Summe 7 und Produkt 12: Es sind 3 und 4, also (x + 3)(x + 4). Ab Grad 3 probierst du rationale Nullstellen: Teiler des Absolutglieds geteilt durch Teiler des Leitkoeffizienten. Dann gibst du 3,1;1 und 4,1;1 ein.
Hilft das bei einem Integral oder einer Laplace-Transformation?
Ja, es ist der Schritt davor. Aus 1/((x − 1)(x + 2)) = (1/3)/(x − 1) − (1/3)/(x + 2) integrierst du jeden Term einzeln und erhältst (1/3)ln|x − 1| − (1/3)ln|x + 2| + C. Diese Seite zerlegt nur; Integral oder inverse Transformation rechnest du getrennt.
Wie gebe ich einen Faktor mit Leitkoeffizient ungleich 1 ein, etwa 2x + 1?
Mit seinen beiden Koeffizienten, vom niedrigsten zum höchsten Grad: 1,2;1. Für 1/(x(2x + 1)) ergibt sich 1/x − 2/(2x + 1), und 1·(2x + 1) − 2x = 1 liefert den Zähler zurück. Der Faktor erscheint so, wie du ihn eingibst, ohne Division durch 2.
Was tue ich, wenn der Nenner einen Faktor vom Grad 3 hat?
Der Rechner nimmt nur lineare oder quadratische Faktoren an, also zerlegst du den kubischen Faktor vorher. Hat er eine rationale Nullstelle, etwa x³ − 8 mit Nullstelle 2, ergibt sich (x − 2)(x² + 2x + 4), und das kannst du eingeben. Hat er keine rationale Nullstelle, passt er nicht in dieses Werkzeug.