Pour (3x + 5)/((x + 1)(x + 2)), saisissez 5,3 comme numérateur et les facteurs 1,1;1 et 2,1;1 : vous obtenez 2/(x + 1) + 1/(x + 2), avec x ≠ −1 et x ≠ −2. Si vous cherchez plutôt à simplifier des facteurs communs, utilisez les fractions algébriques.
Exemple résolu : séparer en éléments simples
Séparez le quotient en éléments simples. Données saisies : numérateur `5,3` ; facteurs `1,1;1` et `2,1;1`.
- Prévoyez un terme par facteur. On écrit (3x + 5)/((x + 1)(x + 2)) = A/(x + 1) + B/(x + 2).
- Égalez les numérateurs. 3x + 5 = A(x + 2) + B(x + 1).
- Remplacez x par deux valeurs. Avec x = −1, le second terme s’annule : 3(−1) + 5 = 2 = A · 1, donc A = 2. Avec x = −2, le premier s’annule : 3(−2) + 5 = −1 = B · (−1), donc B = 1.
Résultat : 2/(x + 1) + 1/(x + 2), avec x ≠ −1 et x ≠ −2.
Si vous vérifiez avec x = 1, la fraction de départ vaut 8/6 = 4/3, et 2/2 + 1/3 donne aussi 4/3. De plus, 2(x + 2) + (x + 1) = 3x + 5.
Comment saisir les données
Les coefficients vont du degré le plus bas au plus élevé, séparés par des virgules : d’abord le terme constant, puis celui de x et, s’il y en a un, celui de x². Chaque facteur occupe une ligne, au format coefficients;multiplicité. Les coefficients sont des entiers ou des fractions comme 1/2, jamais des nombres décimaux. La limite est un degré total de 6 pour le dénominateur.
| Expression | Saisie |
|---|---|
| x | 0,1;1 |
| x − 1 | -1,1;1 |
| x² + 1 | 1,0,1;1 |
| (x + 1)² | 1,1;2 |
| numérateur x² + 1 | 1,0,1 |
Remarquez que le terme constant vient en premier : x − 1 s’écrit -1,1, et non 1,-1. Si un facteur apparaît deux fois, regroupez-le sur une seule ligne avec sa multiplicité, car deux lignes identiques sont refusées.
Ce qui change selon le dénominateur
La méthode est la même dans tous les cas : un terme par facteur et par puissance, on égale les numérateurs et on résout les coefficients. Seule la forme de chaque terme varie.
| Cas | Fraction | Décomposition |
|---|---|---|
| Facteur répété | (2x + 1)/(x(x + 1)²) | 1/x − 1/(x + 1) + 1/(x + 1)² |
| Facteur du second degré | (x + 2)/(x(x² + 1)) | 2/x + (1 − 2x)/(x² + 1) |
| Numérateur de degré élevé | x³/((x + 1)(x + 2)) | x − 3 − 1/(x + 1) + 8/(x + 2) |
Lisez chaque ligne de gauche à droite : la forme du dénominateur décide du nombre de termes et de leur type. Si le dénominateur a un facteur commun avec le numérateur, simplifiez d’abord avec les fractions algébriques, puis décomposez. Pour trouver les facteurs d’un dénominateur de degré 3 ou plus, le guide sur les fractions algébriques et leur ensemble de définition explique comment chercher ses zéros.
Pour aller plus loin
Si vous voulez simplifier des facteurs communs ou opérer sur des expressions en x, utilisez les fractions algébriques, qui conservent aussi les restrictions. Quand il y a un signe égal et que vous cherchez la valeur de x, passez aux équations avec des fractions. Pour une expression purement numérique, sans x, les priorités opératoires conviennent.
L’article de Wikipédia en français décrit la décomposition en éléments simples : un terme pour chaque puissance d’un facteur, et un numérateur du premier degré pour chaque facteur du second degré, comme dans le tableau ci-dessus (consulté le 16 octobre 2026).
Questions fréquentes
Comment factoriser le dénominateur avant d’utiliser la calculatrice ?
Pour un trinôme comme x² + 7x + 12, cherchez deux nombres de somme 7 et de produit 12 : ce sont 3 et 4, d’où (x + 3)(x + 4). À partir du degré 3, essayez les racines rationnelles : diviseurs du terme constant sur diviseurs du coefficient dominant. Saisissez ensuite 3,1;1 et 4,1;1.
Cela sert-il à préparer une primitive ou une transformée de Laplace ?
Oui, c’est l’étape préalable. Avec 1/((x − 1)(x + 2)) = (1/3)/(x − 1) − (1/3)/(x + 2), chaque terme s’intègre séparément et donne (1/3)ln|x − 1| − (1/3)ln|x + 2| + C. Cette page se limite à la décomposition ; la primitive ou la transformée inverse se calcule à part.
Comment saisir un facteur dont le coefficient dominant n’est pas 1, comme 2x + 1 ?
Avec ses deux coefficients, du degré le plus bas au plus élevé : 1,2;1. Pour 1/(x(2x + 1)), le résultat est 1/x − 2/(2x + 1), et 1·(2x + 1) − 2x = 1 redonne le numérateur. Le facteur s’affiche tel que vous l’écrivez, sans être divisé par 2.
Que faire si le dénominateur contient un facteur de degré 3 ?
La calculatrice n’accepte que des facteurs du premier ou du second degré : il faut donc d’abord factoriser le polynôme de degré 3. S’il a une racine rationnelle, comme x³ − 8 avec la racine 2, on obtient (x − 2)(x² + 2x + 4), que vous pouvez saisir. Sans racine rationnelle, il ne peut pas être saisi dans l’outil.