Pour simplifier une fraction rationnelle, factorisez en haut et en bas, simplifiez uniquement les facteurs qui se répètent et conservez les valeurs de x qui annulaient le dénominateur d’origine. Ainsi, (x² − 4)/(x − 2) = x + 2, mais seulement pour x ≠ 2. Si vous voulez que la calculatrice le fasse à votre place, utilisez le simplificateur de fractions algébriques. La raison pour laquelle un dénominateur ne peut pas valoir zéro est expliquée dans le guide sur le dénominateur zéro.
Quatre étapes et l’erreur que chacune évite
Une fraction algébrique est le quotient de deux expressions contenant des lettres ; lorsque ce sont deux polynômes, on parle de fraction rationnelle. Le tableau résume la méthode.
| Étape | Ce que vous faites | Erreur évitée |
|---|---|---|
| 1. Ensemble de définition | Égalez à zéro chaque dénominateur d’origine et résolvez | Perdre une restriction en simplifiant |
| 2. Factoriser | Décomposez complètement le numérateur et le dénominateur | Simplifier sans voir les facteurs |
| 3. Simplifier | Simplifiez par les facteurs identiques en haut et en bas | Rayer des termes |
| 4. Écrire | Donnez le résultat avec les restrictions de l’étape 1 | Élargir l’ensemble de définition |
L’étape 1 passe avant la factorisation, car une fois un facteur simplifié, il ne reste plus aucune trace de lui dans l’expression. Les étapes 2 et 3 sont celles que l’on confond le plus avec la règle « rayer ce qui se répète », qui ne vaut que pour les facteurs.
Exemple résolu : (x² − 4)/(x − 2)
Simplifiez la fraction et indiquez pour quelles valeurs de x le résultat est valable.
- Ensemble de définition. Le dénominateur x − 2 vaut zéro quand x = 2 ; on exclut donc x = 2.
- Factorisez. x² − 4 est une différence de carrés : (x − 2)(x + 2).
- Simplifiez. Le facteur x − 2 est un facteur commun au numérateur et au dénominateur ; en le simplifiant, il reste x + 2.
- Écrivez. L’égalité est valable pour x ≠ 2.
Résultat : x + 2, avec x ≠ 2.
Vérification : pour x = 4, la fraction d’origine donne 12/2 = 6 et x + 2 donne aussi 6. Pour x = 2, la fraction d’origine vaut 0/0, alors que x + 2 vaudrait 4.
C’est pourquoi la courbe représentative de la fonction est la droite d’équation y = x + 2, privée du point (2 ; 4). Une seule valeur d’essai ne démontre pas l’égalité, mais elle suffit à écarter bien des erreurs de simplification.
Quand une restriction reste visible
Toutes les restrictions ne disparaissent pas à la simplification. Dans (x² − 9)/(x² − x − 6), le dénominateur se factorise en (x − 3)(x + 2) et le numérateur en (x − 3)(x + 3). On simplifie x − 3 et il reste (x + 3)/(x + 2). Les exclusions du dénominateur d’origine sont x ≠ 3 et x ≠ −2, même si seule la seconde se voit dans le résultat. Pour x = 4, les deux formes valent 7/6.
Pourquoi on ne simplifie pas des termes
Simplifier par un facteur, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par la même expression. Quand les x sont additionnés, ils ne forment pas un facteur de tout le numérateur, et les rayer change la valeur.
On peut en revanche séparer une expression quand le dénominateur est un seul terme : (2x + 4)/(2x) = 2(x + 2)/(2x) = (x + 2)/x, avec x ≠ 0. Ici, le facteur simplifié est 2, qui multiplie bien les deux termes du numérateur.
Une expression n’est pas une équation
Simplifier transforme une expression et il n’y a rien à résoudre. Une équation, elle, demande les valeurs de x qui la vérifient, et quand on chasse les dénominateurs, des candidats apparaissent qu’il faut tester dans l’équation d’origine.
| Équation | Candidat | Verdict |
|---|---|---|
| (x² − 9)/(x − 3) = 6 | x + 3 = 6 donne x = 3 | Annule x − 3 : pas de solution |
| (x² − 9)/(x − 3) = 5 | x + 3 = 5 donne x = 2 | Valeur autorisée, et (4 − 9)/(2 − 3) = 5 : c’est une solution |
Le tableau montre que le candidat de la première ligne coïncide avec la valeur exclue, et pas celui de la seconde. Remplacez toujours dans les dénominateurs d’origine, pas dans l’équation déjà simplifiée, car celle-ci a perdu les restrictions. L’outil d’équations avec fractions écarte les candidats exclus. Si, en testant une valeur de x, les deux résultats ne coïncident pas, le guide sur les erreurs avec les fractions rassemble les fautes les plus courantes. Pour découper un quotient en fractions plus simples, la démarche est différente et elle est présentée dans la décomposition en éléments simples.
Entraînez-vous
- Simplifiez (x² − 16)/(x − 4) et indiquez la restriction.
- Simplifiez (3x + 6)/(x + 2).
- Simplifiez (x² − 25)/(x² − 5x) et écrivez les deux restrictions.
- Résolvez (x² − 36)/(x − 6) = 12.
- Est-il correct de réduire (x + 5)/(x + 7) à 5/7 ?
Voir les réponses
- x + 4, avec x ≠ 4.
- 3(x + 2)/(x + 2) = 3, avec x ≠ −2.
- (x − 5)(x + 5)/(x(x − 5)) = (x + 5)/x, avec x ≠ 0 et x ≠ 5.
- Il reste x + 6 = 12, ce qui donne x = 6. Cette valeur annule x − 6 : il n’y a donc pas de solution.
- Non. Pour x = 1, la fraction vaut 6/8 = 3/4, qui n’est pas égal à 5/7.
Sources
L’article « Fraction rationnelle » de Wikipédia définit une fraction rationnelle comme un quotient de deux polynômes. L’article « Fonction rationnelle » indique que ces fonctions sont définies pour les valeurs de x qui n’annulent pas le dénominateur (consultés le 17 octobre 2026). Ce sont des encyclopédies ouvertes : confrontez-les à votre manuel.