Pecahan aljabar adalah hasil bagi dua ekspresi yang memuat variabel, misalnya (x² − 1)/(x − 1). Sebelum menyederhanakan atau menyelesaikan persamaan, catat nilai x yang membuat penyebut awal bernilai nol. Nilai tersebut tetap dikecualikan walaupun faktornya kemudian dicoret. Aturan utamanya: coret faktor yang dikalikan, bukan suku yang dipisahkan oleh penjumlahan atau pengurangan.
Menyederhanakan sambil mempertahankan batas domain
Pada (x² − 4)/(x − 2), penyebut awal membuat x = 2 terlarang. Faktorkan pembilang: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Untuk x ≠ 2, faktor x − 2 muncul di pembilang dan penyebut, sehingga bentuknya menyederhana menjadi x + 2. Hasil lengkapnya adalah x + 2 dengan syarat x ≠ 2.
Jika x = 2 dimasukkan ke rumus x + 2, hasilnya 4, tetapi pecahan semula pada x = 2 berbentuk 0/0 dan tidak terdefinisi. Penyederhanaan tidak mengubah nilai yang dilarang oleh ekspresi awal.
| Ekspresi awal | Nilai yang dikecualikan penyebut awal | Bentuk setelah disederhanakan |
|---|---|---|
| (x² − 4)/(x − 2) | x = 2 | x + 2, dengan x ≠ 2 |
| (x + 1)/(x² − 1) | x = 1 dan x = −1 | 1/(x − 1), dengan x ≠ 1 dan x ≠ −1 |
| 1/x − 1/x | x = 0 | 0, dengan x ≠ 0 |
Pada baris kedua, x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Faktor x + 1 dapat dicoret, tetapi x = −1 tetap terlarang, begitu pula x = 1 dari faktor penyebut yang tersisa. Pada baris ketiga, hasilnya nol untuk setiap nilai yang diizinkan, namun ekspresi awal tetap tidak terdefinisi saat x = 0. Penyederhanaan pecahan aljabar mempertahankan batasan dari penyebut awal.
Mengapa suku dalam penjumlahan tidak dapat dicoret?
Hanya untuk x ≠ 2. Faktor x − 2 mengalikan seluruh pembilang.
Untuk x ≠ 0, penyebut membagi kedua suku.
Keliru: menyederhanakannya menjadi 2. Jika x = 3, (3 + 2)/3 = 5/3 ≠ 2.
Sebaliknya, pada x(x + 2)/x, x adalah faktor yang mengalikan seluruh pembilang. Faktor itu dapat dicoret untuk x ≠ 0, sehingga hasilnya x + 2 dengan syarat x ≠ 0.
Menjumlahkan pecahan aljabar
Untuk 1/x + 1/(x + 1), catat terlebih dahulu x ≠ 0 dan x ≠ −1. Penyebut bersama adalah x(x + 1):
1/x + 1/(x + 1) = (x + 1)/[x(x + 1)] + x/[x(x + 1)] = (2x + 1)/[x(x + 1)].
Kedua batas awal tetap berlaku. Jangan menjumlahkan penyebutnya, dan jangan menghapus faktor x atau x + 1 dari salah satu suku saja. Pemeriksaan dengan x = 1 menghasilkan 1 + 1/2 = 3/2; bentuk gabungan juga memberi 3/(1 × 2) = 3/2.
Menyelesaikan persamaan dan memeriksa calon solusi
Selesaikan (x² − 1)/(x − 1) = 2. Penyebut awal mengharuskan x ≠ 1. Untuk nilai yang diizinkan, pembilang dapat difaktorkan dan persamaannya menjadi x + 1 = 2, sehingga calon solusi adalah x = 1. Namun, nilai itu terlarang pada persamaan awal. Persamaan tersebut tidak memiliki solusi.
Bandingkan dengan 1/x = 1/2. Di sini x ≠ 0. Kalikan kedua sisi dengan 2x untuk memperoleh 2 = x; calon x = 2 diizinkan dan memenuhi persamaan awal. Periksa setiap calon pada ekspresi semula, terutama setelah mengalikan dengan ekspresi yang mungkin bernilai nol. Persamaan pecahan menguji calon solusi terhadap penyebut awal.
Contoh lain dengan batasan
- Mencoret faktor linear: (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 untuk x ≠ 2. Pada x = 3, kedua bentuk memberi 5; x = 2 tetap dikecualikan.
- Mempertahankan nilai nol terlarang: 1/x − 1/x = 0 untuk x ≠ 0. Menulis hanya “0 untuk setiap x” keliru karena menambahkan x = 0 ke domain.
- Menggabungkan dua penyebut: 1/x + 1/(x + 1) = (2x + 1)/[x(x + 1)] untuk x ≠ 0, −1. Pada x = 1, kedua bentuk bernilai 3/2.
- Memecah pecahan rasional: 1/[x(x + 1)] = 1/x − 1/(x + 1), dengan x ≠ 0 dan x ≠ −1. Menggabungkan kembali ruas kanan menghasilkan [x + 1 − x]/[x(x + 1)]. Uraian pecahan parsial menangani pemecahan seperti ini dengan faktor penyebut yang dimasukkan secara eksplisit.
Kesalahan yang perlu dihindari
- Melupakan domain awal: faktor yang tercoret tidak membuat nilai penyebut awal yang nol menjadi boleh.
- Mencoret suku pada penjumlahan: (x + 2)/x tidak menyederhana menjadi 2.
- Menerima setiap akar dari persamaan hasil ubahan: masukkan calon solusi ke penyebut awal sebelum menerimanya.
- Menganggap alat aljabar menyelesaikan semua ekspresi: alat khusus bekerja pada satu variabel dan bentuk dalam cakupan yang didukung.
- Menggabungkan penyebut berbeda secara langsung: cari penyebut bersama sebelum menjumlahkan pembilang.
Pertahankan domain awal pada setiap langkah
Sebelum memfaktorkan, catat semua nilai yang membuat penyebut awal bernilai nol. Pengecualian ini termasuk dalam domain awal dan tetap berlaku meskipun suatu faktor dicoret. Karena itu, (x²−1)/(x−1) disederhanakan menjadi x+1 hanya jika x bukan 1. Untuk x=1, bentuk awal menghasilkan 0/0 dan tidak terdefinisi.
Pengurangan juga dapat mempertahankan batasan meskipun hasilnya tampak sederhana: 1/x − 1/x = 0, tetapi kesetaraan itu hanya berlaku untuk x bukan 0. Penyederhanaan tidak memperluas masukan yang diizinkan. Saat menyelesaikan persamaan, menghilangkan penyebut menghasilkan kandidat; substitusikan setiap kandidat ke persamaan awal dan tolak nilai yang membuat penyebut awal menjadi nol.
Contoh dengan pemeriksaan kandidat
- Faktor yang sama: (x²−1)/(x−1) = ((x−1)(x+1))/(x−1) = x+1, untuk x bukan 1.
- Ekspresi nol: 1/x − 1/x = 0 untuk x bukan 0; x=0 tetap tidak sah walaupun hasil sederhananya 0.
- Persamaan yang sah: 1/x = 1/2 menghasilkan kandidat x=2; substitusi ke persamaan awal memastikan 1/2 = 1/2.
- Kandidat yang dikecualikan: (x²−1)/(x−1)=2 disederhanakan menjadi x+1=2 jika x bukan 1. Satu-satunya kandidat adalah x=1 dan nilai itu dikecualikan, jadi persamaan tidak memiliki solusi.
Perangkat aljabar di situs ini menangani satu variabel dan koefisien rasional dalam batas yang dinyatakan: penyederhanaan mendukung polinom hingga derajat 8; penyelesaian persamaan mendukung penyebut hingga derajat 8 dan pembilang setelah penyebut dihilangkan dengan derajat paling tinggi 2. Perangkat ini bukan penyelesai sistem multivariabel atau polinom umum. Masukan di luar batas harus dinyatakan tidak didukung.
Bacaan terkait: pecahan berlanjut dan pecahan Mesir.