Um einen algebraischen Bruch zu kürzen, faktorisierst du Zähler und Nenner, kürzt nur gemeinsame Faktoren und behältst die x-Werte bei, die den ursprünglichen Nenner null machten. So gilt (x² − 4)/(x − 2) = x + 2, aber nur für x ≠ 2. Wenn der Rechner das für dich übernehmen soll, nutze die algebraischen Brüche. Warum ein Nenner nicht null sein darf, erklärt der Ratgeber zum Nenner null.
Vier Schritte und der Fehler, den jeder Schritt verhindert
Ein algebraischer Bruch (in der Schule oft Bruchterm genannt) ist der Quotient zweier Terme mit Variablen; sind beide Terme Polynome, spricht man von einem rationalen Term. Die Tabelle fasst das Vorgehen zusammen.
| Schritt | Was du tust | Fehler, den er vermeidet |
|---|---|---|
| 1. Definitionsmenge | Setze jeden ursprünglichen Nenner gleich null und löse | Eine Einschränkung beim Kürzen verlieren |
| 2. Faktorisieren | Zerlege Zähler und Nenner vollständig | Kürzen, ohne die Faktoren zu sehen |
| 3. Kürzen | Streiche gleiche Faktoren oben und unten | Summanden durchstreichen |
| 4. Aufschreiben | Gib das Ergebnis zusammen mit den Einschränkungen aus Schritt 1 an | Die Definitionsmenge vergrößern |
Schritt 1 steht vor dem Faktorisieren, weil von einem gekürzten Faktor im Term nichts mehr zu sehen ist. Die Schritte 2 und 3 werden am häufigsten mit der Regel „Gleiches wegstreichen“ verwechselt, die nur für Faktoren gilt.
Beispiel: (x² − 4)/(x − 2)
Kürze den Bruch und gib an, für welche Werte von x das Ergebnis gilt.
- Definitionsmenge. Der Nenner x − 2 ist null für x = 2, also wird x = 2 ausgeschlossen.
- Faktorisieren. x² − 4 ist eine Differenz zweier Quadrate (dritte binomische Formel): (x − 2)(x + 2).
- Kürzen. x − 2 ist ein Faktor des gesamten Zählers und des gesamten Nenners; übrig bleibt x + 2.
- Aufschreiben. Die Gleichheit gilt für x ≠ 2.
Ergebnis: x + 2 mit x ≠ 2.
Probe: Für x = 4 ergibt der Ausgangsbruch 12/2 = 6, und x + 2 ergibt ebenfalls 6. Für x = 2 lautet der Ausgangsbruch 0/0, während x + 2 den Wert 4 hätte.
Deshalb ist der Graph des Bruchs die Gerade y = x + 2 mit einer Lücke im Punkt (2, 4). Ein einzelner Testwert beweist die Gleichheit nicht, deckt aber viele Kürzungsfehler auf.
Wenn eine Einschränkung sichtbar bleibt
Nicht jede Einschränkung verschwindet beim Kürzen. In (x² − 9)/(x² − x − 6) zerfällt der Nenner in (x − 3)(x + 2) und der Zähler in (x − 3)(x + 3). Du kürzt x − 3 und erhältst (x + 3)/(x + 2). Der ursprüngliche Nenner schließt x ≠ 3 und x ≠ −2 aus, obwohl im Ergebnis nur die zweite Einschränkung zu sehen ist. Für x = 4 haben beide Formen den Wert 7/6.
Warum man Summanden nicht kürzt
Einen Faktor zu kürzen heißt, oben und unten durch dieselbe Zahl zu teilen. Stehen die x als Summanden, sind sie kein Faktor des ganzen Zählers, und Wegstreichen ändert den Wert.
Ein Term lässt sich aufteilen, wenn der Nenner nur aus einem Glied besteht: (2x + 4)/(2x) = 2(x + 2)/(2x) = (x + 2)/x mit x ≠ 0. Hier wird der Faktor 2 gekürzt, der beide Summanden des Zählers multipliziert.
Ein Term ist keine Gleichung
Beim Kürzen formst du einen Term um; es gibt nichts zu lösen. Eine Gleichung dagegen fragt nach den x-Werten, die sie erfüllen, und beim Beseitigen der Nenner entstehen Kandidaten, die du in der Ausgangsgleichung prüfen musst.
| Gleichung | Kandidat | Urteil |
|---|---|---|
| (x² − 9)/(x − 3) = 6 | x + 3 = 6 ergibt x = 3 | Macht x − 3 null: keine Lösung |
| (x² − 9)/(x − 3) = 5 | x + 3 = 5 ergibt x = 2 | Erlaubt, und (4 − 9)/(2 − 3) = 5: Lösung |
Die Tabelle zeigt: In der ersten Zeile stimmt der Kandidat mit dem ausgeschlossenen Wert überein, in der zweiten nicht. Setze immer in die ursprünglichen Nenner ein und nicht in die schon gekürzte Gleichung, denn die hat ihre Einschränkungen verloren. Der Rechner für Bruchgleichungen verwirft ausgeschlossene Kandidaten. Stimmen bei einer Probe mit einem x-Wert die beiden Ergebnisse nicht überein, sammelt der Ratgeber zu den Fehlern beim Bruchrechnen die häufigsten Ursachen. Willst du einen Quotienten in einfachere Brüche zerlegen, ist das eine andere Aufgabe, die die Partialbruchzerlegung behandelt.
Übungsaufgaben
- Kürze (x² − 16)/(x − 4) und gib die Einschränkung an.
- Kürze (3x + 6)/(x + 2).
- Kürze (x² − 25)/(x² − 5x) und schreibe beide Einschränkungen auf.
- Löse (x² − 36)/(x − 6) = 12.
- Darf man (x + 5)/(x + 7) auf 5/7 kürzen?
Lösungen anzeigen
- x + 4 mit x ≠ 4.
- 3(x + 2)/(x + 2) = 3, mit x ≠ −2.
- (x − 5)(x + 5)/(x(x − 5)) = (x + 5)/x, mit x ≠ 0 und x ≠ 5.
- Es bleibt x + 6 = 12, also x = 6. Dieser Wert macht x − 6 null, die Gleichung hat also keine Lösung.
- Nein. Für x = 1 hat der Bruch den Wert 6/8 = 3/4, nicht 5/7.
Quellen
Der Artikel „Rationale Funktion“ auf Wikipedia nennt als Definitionslücken die Nullstellen der Nennerfunktion (abgerufen am 17. Oktober 2026). Wikipedia ist eine offene Enzyklopädie; vergleiche die Angaben deshalb mit deinem Schulbuch.