Dieser Rechner löst Gleichungen mit Brüchen, also Gleichungen, in denen ein Quotient von Polynomen auf einer oder auf beiden Seiten steht, auch mit x im Nenner. Fehlt nur ein einzelnes Glied zwischen zwei Brüchen, etwa bei 3/4 = x/20, ist der Rechner für fehlenden Zähler oder Nenner direkter. Hier darf x überall stehen, auch im Nenner.
Rechenbeispiel: x/2 + 1/3 = 5/6
Gesucht ist der Wert von x, der die Gleichung wahr macht. Die Nenner sind 2, 3 und 6.
- Suche den Hauptnenner. Das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) von 2, 3 und 6 ist 6.
- Multipliziere beide Seiten mit 6. 6 × (x/2) + 6 × (1/3) = 6 × (5/6), also 3x + 2 = 5.
- Löse nach x auf. 3x = 3, also x = 1.
- Prüfe in der ursprünglichen Gleichung. Für x = 1 ist die linke Seite 1/2 + 1/3 = 5/6, genau wie die rechte.
Lösung: x = 1.
Probe: 1/3 = 0,333… und 5/6 = 0,8333…, und die Summe aus 0,5 und 0,333… ergibt 0,8333…. Einschränkungen gibt es hier keine, weil die Nenner Zahlen sind.
Was sich ändert, wenn x im Nenner steht
Um die Nenner zu beseitigen, musst du mit einem Term multiplizieren, der x enthält, und dabei können Werte entstehen, die die ursprüngliche Gleichung nicht zulässt. Deshalb notierst du vor dem Lösen, welche Werte einen Nenner null machen.
| Gleichung | Einschränkung | Ergebnis |
|---|---|---|
| 2/(x − 1) = 3/(x + 2) | x ≠ 1 und x ≠ −2 | Eine Lösung: x = 7, denn 2/6 = 3/9 = 1/3 |
| (x² − 1)/(x − 1) = 2 | x ≠ 1 | Keine: Die Gleichung wird zu x + 1 = 2, und x = 1 ist ausgeschlossen |
| x + 1/x = 5/2 | x ≠ 0 | Zwei: 2x² − 5x + 2 = 0 ergibt x = 1/2 und x = 2 |
| (x + 3)/(x + 3) = 1 | x ≠ −3 | Identität: gilt für jedes x außer −3 |
Die Tabelle zeigt die drei möglichen Fälle: eine oder zwei Lösungen, keine oder unendlich viele. In der dritten Zeile gelten beide Lösungen, weil nur die 0 ausgeschlossen ist; zum Beispiel ist 1/2 + 2 = 5/2.
So gibst du die Gleichung ein
Verwende genau ein Gleichheitszeichen und setze jeden Zähler und jeden Nenner mit mehreren Gliedern in Klammern, zum Beispiel (x^2-1)/(x-1)=2. Das Malzeichen schreibst du immer aus, also 2*x und nicht 2x.
Der Rechner nimmt genau eine Gleichung und nur den Buchstaben x an, also keine Gleichungssysteme, Ungleichungen, weiteren Unbekannten oder Wurzeln in der Eingabe. Für diese Fälle gibt es andere Seiten. Bei Ungleichungen wie 1/x > 2 hilft der Ratgeber zu Ungleichungen mit Brüchen, denn dort musst du Vorzeichen untersuchen. Für zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gibt es den Ratgeber zu Gleichungssystemen mit Brüchen. Willst du nur einen Term ohne Gleichheitszeichen vereinfachen, nimm algebraische Brüche; auch dort bleiben die Einschränkungen erhalten. Und wenn die Gleichung zwei Zahlenverhältnisse verbindet, löst der Proportionsrechner das unbekannte Glied.
Quelle: Wikipedia auf Spanisch, Artikel Ecuación, Abschnitte „Tipos de ecuaciones“ und „Propiedades“, die rationale Gleichungen definieren und darauf hinweisen, dass manche Umformungen Scheinlösungen hinzufügen (abgerufen am 16. Oktober 2026).
Häufige Fragen
Wie gebe ich einen Bruch mal x ein, zum Beispiel fünf Achtel von x?
Setze den Bruch in Klammern und schreibe das Malzeichen vor das x, etwa (5/8)×x + 1 = 11; das ergibt x = 16. Bei negativen Koeffizienten gehst du genauso vor, also (-3/7)×x statt -3/7x: Ohne Malzeichen lehnt der Rechner die Eingabe ab und zeigt einen Fehler. Auch das Sternchen und der Malpunkt werden akzeptiert.
Wie lese ich ein Ergebnis mit sqrt?
sqrt(13) steht für √13, eine Wurzel, die sich nicht weiter vereinfachen lässt und exakt stehen bleibt. Bei x + 3/x = 5 ergibt das Multiplizieren mit x die Gleichung x² − 5x + 3 = 0 mit der Diskriminante 25 − 12 = 13. Die Lösungen sind x = (5 − √13)/2 und x = (5 + √13)/2; keine ist 0, also gelten beide.
Was tun, wenn der Rechner die Gleichung wegen des Grades ablehnt?
Bring alles auf eine Seite, damit sich die Differenz vor dem Beseitigen der Nenner kürzt. x^2/(x-6) = 36/(x-6) hat danach Grad 3 und wird abgelehnt, aber x^2/(x-6) - 36/(x-6) = 0 vereinfacht sich zu x + 6 = 0 mit der Lösung x = −6; x = 6 bleibt ausgeschlossen.
Warum gibt es nur eine Lösung, obwohl die Gleichung x² enthält?
Dafür gibt es zwei Gründe. Entweder ist es eine doppelte Lösung, wenn die Diskriminante 0 ist: x + 9/x = 6 wird zu x² − 6x + 9 = 0 und hat nur x = 3. Oder eine der beiden Wurzeln macht einen Nenner null und fällt weg: x²/(x − 1) − 1/(x − 1) = 0 wird zu x² = 1; von x = 1 und x = −1 gilt nur x = −1.