Um eine Ungleichung mit Brüchen zu lösen, multiplizierst du alle Terme mit dem kgV der Nenner, stellst nach x um und schreibst das Intervall auf. Multiplizierst du mit einer negativen Zahl oder dividierst du durch eine, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. So ergibt x/3 − 1/2 > x/4 das Ergebnis x > 6, also das Intervall (6, +∞).
Das Vorgehen ist das der Bruchgleichungen, mit einer Regel mehr: Bei einer Gleichung ändert sich das Zeichen nie, bei einer Ungleichung kann es sich ändern. Wenn du zwei Gleichungen gleichzeitig lösen willst, schau in die Gleichungssysteme mit Brüchen.
| Operation auf beiden Seiten | Das Zeichen | Beispiel |
|---|---|---|
| Eine beliebige Zahl addieren oder subtrahieren | Bleibt | x − 6 > 0 wird zu x > 6 |
| Mit einer positiven Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren | Bleibt | x/5 ≤ 2 wird zu x ≤ 10 |
| Mit einer negativen Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren | Dreht sich um | −3x ≥ 12 wird zu x ≤ −4 |
Nur die letzte Zeile ändert das Zeichen, deshalb passieren die Fehler meistens dort. Das kgV der Nenner ist immer positiv, deshalb dreht das Beseitigen der Brüche nie das Ungleichheitszeichen um.
Beispiel mit Lösung: x/3 − 1/2 > x/4
Finde alle Werte von x, die die Ungleichung erfüllen, und schreibe sie als Intervall.
- Berechne das kgV. Die Nenner sind 3, 2 und 4, ihr kgV ist 12.
- Multipliziere jeden Term mit 12. Da 12 positiv ist, bleibt das Zeichen, wie es ist: 4x − 6 > 3x.
- Fasse die x zusammen. Subtrahiere auf beiden Seiten 3x: x − 6 > 0.
- Stelle um. Addiere 6, und es bleibt x > 6.
- Schreibe das Intervall. Es ist (6, +∞), mit runder Klammer bei 6, weil die Ungleichung strikt ist.
Ergebnis: x > 6, als Intervall (6, +∞).
Probe: Mit x = 7 ist die linke Seite 7/3 − 1/2 = 11/6 = 22/12 und die rechte 7/4 = 21/12, die Ungleichung gilt also. Mit x = 6 sind beide Seiten gleich groß, nämlich 3/2, deshalb gehört die 6 nicht dazu.
Der Randwert ist der Wert, bei dem beide Seiten gleich sind. Hier ist es 6, denn 4x − 6 = 3x gilt nur für x = 6.
Ein negativer Koeffizient dreht das Zeichen um
Steht vor dem x ein negativer Koeffizient, musst du durch eine negative Zahl dividieren, um x freizustellen. Das ist der einzige Schritt, der das Zeichen ändert. Diese Regel gehört zum Standard der Schulmathematik: Multiplizierst du beide Seiten mit einer Zahl kleiner als 0, kehrt sich die Ungleichung um, aus x < y wird also ax > ay.
Nimm −x/5 < 2. Multipliziere mit −5: Das Zeichen wechselt von < zu >, und es bleibt x > −10, also (−10, +∞). Der Randwert −10 gehört nicht dazu: −(−10)/5 ist 2, und 2 ist nicht kleiner als 2.
Ein Testwert innerhalb des Intervalls deckt diesen Fehler fast immer auf. Er beweist nicht das ganze Intervall, aber wenn er scheitert, ist das Ergebnis sicher falsch. Der Ratgeber zum Prüfen von Ergebnissen sammelt weitere Kontrollen.
Eine doppelte Ungleichung löst du in einem Zug
Eine Ungleichung wie −1 < (x − 2)/3 ≤ 5/6 hat den Term in der Mitte und zwei Grenzen. Du führst dieselbe Operation in allen drei Teilen aus. Multipliziere mit 3, einer positiven Zahl: −3 < x − 2 ≤ 5/2. Addiere 2 in allen drei Teilen: −1 < x ≤ 9/2. Das Intervall ist (−1, 9/2], mit runder Klammer bei −1 und eckiger Klammer bei 9/2 = 4,5.
Wäre der Faktor negativ, müsstest du beide Zeichen umdrehen und außerdem die Grenzen vertauschen, damit die kleinere Zahl links steht.
So prüfst du das Intervall mit Testwerten
Wähle einen Wert innerhalb und zwei außerhalb, je einen auf jeder Seite, und setze sie in die ursprüngliche Ungleichung ein. Bei der doppelten Ungleichung ergibt sich Folgendes.
| x | (x − 2)/3 | Gilt −1 < … ≤ 5/6? |
|---|---|---|
| −1 | −1 | Nein, der Randwert −1 ist ausgeschlossen |
| 0 | −2/3 | Ja |
| 9/2 | 5/6 | Ja, der Randwert 9/2 ist eingeschlossen |
| 5 | 1 | Nein, größer als 5/6 |
Die Tabelle bestätigt beide Grenzen: Ein Wert innerhalb erfüllt die Ungleichung, einer außerhalb nicht, und jeder Randwert gehört dazu oder nicht, je nachdem ob ≤ oder < steht. Auf der Zahlengerade zeichnest du das Intervall mit einem offenen Punkt bei −1 und einem ausgefüllten bei 9/2.
Intervalle schreibst du so: < und > bekommen runde Klammern, ≤ und ≥ eckige, und das Unendliche bekommt immer eine runde. Für ein kgV aus mehr als zwei Zahlen gibt dir der Rechner für das kleinste gemeinsame Vielfache das Ergebnis direkt, und der Rechner für den kleinsten gemeinsamen Nenner liefert die bereits erweiterten Brüche.
Üben
- Löse x/4 − 1 ≤ x/6.
- Löse −3x/4 > 6.
- Löse (x + 1)/2 < (x − 1)/3.
- Löse 0 ≤ (2x + 1)/3 < 1.
Lösungen anzeigen
- kgV 12: 3x − 12 ≤ 2x, also x ≤ 12. Intervall (−∞, 12].
- Multipliziere mit −4/3, einer negativen Zahl, und das Zeichen wechselt: x < −8. Intervall (−∞, −8).
- kgV 6: 3x + 3 < 2x − 2, also x < −5. Intervall (−∞, −5).
- Multipliziere mit 3: 0 ≤ 2x + 1 < 3. Subtrahiere 1: −1 ≤ 2x < 2. Dividiere durch 2: −1/2 ≤ x < 1. Intervall [−1/2, 1).
Steht x in einem Nenner, ist der Ansatz ein anderer; die erste Frage unten erklärt ihn. Für mehr Bruchalgebra sammelt die Seite Fortgeschritten die Ratgeber dieses Bereichs, und unter Brüche üben kannst du das Rechnen mit Brüchen trainieren.