Para resolver una inecuación con fracciones, multiplica todos los términos por el MCM de los denominadores, despeja x y escribe el intervalo. Si multiplicas o divides por un negativo, el sentido se invierte. Así, x/3 − 1/2 > x/4 da x > 6, es decir, el intervalo (6, +∞).
El método es el de las ecuaciones con fracciones, con una regla más: en una igualdad el signo nunca cambia, y en una desigualdad sí puede cambiar. Si vas a resolver dos ecuaciones a la vez, mira los sistemas de ecuaciones con fracciones.
| Operación en los dos lados | El sentido | Ejemplo |
|---|---|---|
| Sumar o restar cualquier número | Se conserva | x − 6 > 0 pasa a x > 6 |
| Multiplicar o dividir por un positivo | Se conserva | x/5 ≤ 2 pasa a x ≤ 10 |
| Multiplicar o dividir por un negativo | Se invierte | −3x ≥ 12 pasa a x ≤ −4 |
Solo la última fila cambia el signo, y por eso los errores se concentran ahí. Con el MCM de los denominadores, que siempre es positivo, quitar las fracciones nunca invierte nada.
Ejemplo resuelto: x/3 − 1/2 > x/4
Encuentra todos los valores de x que cumplen la desigualdad y escríbelos como intervalo.
- Calcula el MCM. Los denominadores son 3, 2 y 4, y su MCM es 12.
- Multiplica cada término por 12. Como 12 es positivo, el signo se queda como está: 4x − 6 > 3x.
- Agrupa las x. Resta 3x en los dos lados: x − 6 > 0.
- Despeja. Suma 6 y queda x > 6.
- Escribe el intervalo. Es (6, +∞), con paréntesis en 6 porque la desigualdad es estricta.
Resultado: x > 6, en intervalo (6, +∞).
Comprobación: con x = 7, el lado izquierdo vale 7/3 − 1/2 = 11/6 = 22/12 y el derecho 7/4 = 21/12, así que se cumple. Con x = 6 los dos lados valen 3/2, y por eso el 6 no entra.
El extremo es el valor donde los dos lados se igualan. Aquí es 6, porque 4x − 6 = 3x solo se cumple con x = 6.
Un coeficiente negativo hace que el signo se invierta
Cuando la x lleva un coeficiente negativo, hay que dividir por un negativo para dejarla sola. Es el único paso que cambia el sentido, y es la propiedad que recoge la Wikipedia en español en «Desigualdad matemática», sección «Multiplicación y división»: si c es negativo y a < b, entonces ac > bc (consultado el 16 de octubre de 2026).
Toma −x/5 < 2. Multiplica por −5: el sentido pasa de < a > y queda x > −10, es decir, (−10, +∞). El extremo −10 no pertenece: −(−10)/5 vale 2, y 2 no es menor que 2.
Un valor de prueba dentro del intervalo detecta casi siempre este error. No demuestra todo el intervalo, pero si falla, seguro que el resultado está mal. La guía para verificar resultados reúne otras comprobaciones.
Una inecuación doble se resuelve de una sola vez
Una desigualdad como −1 < (x − 2)/3 ≤ 5/6 tiene la expresión en medio y dos límites. Se hace la misma operación en las tres partes. Multiplica por 3, que es positivo: −3 < x − 2 ≤ 5/2. Suma 2 en las tres partes: −1 < x ≤ 9/2. El intervalo es (−1, 9/2], con paréntesis en −1 y corchete en 9/2 = 4,5.
Si el multiplicador fuera negativo, habría que invertir los dos signos y además intercambiar los límites, para que el número menor quede a la izquierda.
Cómo comprobar el intervalo con valores de prueba
Elige un valor dentro y otros dos fuera, uno a cada lado, y sustitúyelos en la inecuación original. En la doble, los resultados son estos.
| x | (x − 2)/3 | ¿Cumple −1 < … ≤ 5/6? |
|---|---|---|
| −1 | −1 | No, el extremo −1 está excluido |
| 0 | −2/3 | Sí |
| 9/2 | 5/6 | Sí, el extremo 9/2 está incluido |
| 5 | 1 | No, pasa de 5/6 |
La tabla confirma las dos fronteras: un valor dentro cumple, uno fuera no, y cada extremo entra o no según sea ≤ o <. En la recta numérica el intervalo se dibuja con un punto hueco en −1 y uno relleno en 9/2.
Los intervalos se escriben así: < y > llevan paréntesis, ≤ y ≥ llevan corchete, y el infinito siempre lleva paréntesis. Para un MCM de más de dos números, la calculadora del mínimo común múltiplo lo da directamente, y la de mínimo común denominador devuelve las fracciones ya amplificadas.
Practica
- Resuelve x/4 − 1 ≤ x/6.
- Resuelve −3x/4 > 6.
- Resuelve (x + 1)/2 < (x − 1)/3.
- Resuelve 0 ≤ (2x + 1)/3 < 1.
Ver las respuestas
- MCM 12: 3x − 12 ≤ 2x, así que x ≤ 12. Intervalo (−∞, 12].
- Multiplica por −4/3, un negativo, y el sentido cambia: x < −8. Intervalo (−∞, −8).
- MCM 6: 3x + 3 < 2x − 2, así que x < −5. Intervalo (−∞, −5).
- Multiplica por 3: 0 ≤ 2x + 1 < 3. Resta 1: −1 ≤ 2x < 2. Divide entre 2: −1/2 ≤ x < 1. Intervalo [−1/2, 1).
Cuando la x aparece en un denominador, el planteamiento es otro; la primera pregunta de abajo lo explica. Para seguir con álgebra de fracciones, la página avanzadas reúne las guías del bloque, y en practicar fracciones puedes ejercitar el cálculo con fracciones.