Para resolver un sistema de ecuaciones con fracciones, quita los denominadores de cada ecuación y resuelve después el sistema con enteros. En x/2 + y/3 = 4 y x/4 − y/6 = 0, la solución es x = 4, y = 6, tras limpiar cada ecuación con su propio MCM.
Cada ecuación se limpia con el MCM de sus propios denominadores, sin buscar uno común para todo el sistema. Si solo tienes una ecuación con una incógnita, empieza por la calculadora de ecuaciones con fracciones; aquí hay dos incógnitas y dos igualdades. Si lo que tienes es una desigualdad, ve a las inecuaciones con fracciones, donde multiplicar por un número negativo cambia el sentido.
Qué método elegir según las ecuaciones limpias
Una vez sin denominadores, el método depende de cómo queden los coeficientes. Todos llegan al mismo par.
| Si tras limpiar... | Método | Primer movimiento y ejemplo |
|---|---|---|
| una incógnita tiene coeficientes iguales u opuestos | Reducción | Suma o resta las ecuaciones: x + y = 5 con x − y = 1 da 2x = 6 |
| una incógnita está despejada o vale 1 | Sustitución | Lleva la expresión a la otra ecuación: con y = 2x y x + y = 9, queda 3x = 9 |
| ninguna incógnita se cancela | Reducción tras multiplicar | 2x + 3y = 7 y 3x − 2y = 4: multiplica por 2 y por 3 para tener 6y y −6y; al sumar, 13x = 26 |
| la misma incógnita se despeja fácil en las dos | Igualación | Despeja y en ambas e iguala: con y = 2x − 1 e y = 11 − x, 2x − 1 = 11 − x |
La tercera fila termina en x = 2, y = 1. Si dudas, elige la reducción: evita las fracciones intermedias que aparecen al despejar.
Ejemplo resuelto con dos MCM distintos
Ejemplo resuelto: x/2 + y/3 = 4 y x/4 − y/6 = 0
Halla x e y para que se cumplan las dos ecuaciones a la vez.
- Calcula el MCM de cada ecuación. En la primera, MCM(2, 3) = 6. En la segunda, MCM(4, 6) = 12.
- Limpia la primera. Multiplica sus tres términos por 6: 6 · (x/2) + 6 · (y/3) = 6 · 4, que da 3x + 2y = 24.
- Limpia la segunda. Multiplica por 12: 12 · (x/4) − 12 · (y/6) = 12 · 0, que da 3x − 2y = 0.
- Suma las dos ecuaciones. Los términos en y se cancelan y queda 6x = 24, de donde x = 4.
- Despeja la otra incógnita. Sustituye x = 4 en la segunda ecuación limpia: 12 − 2y = 0, así que y = 6.
Resultado: x = 4, y = 6.
Comprobación: en las ecuaciones de partida, 4/2 + 6/3 = 2 + 2 = 4 y 4/4 − 6/6 = 1 − 1 = 0.
La primera ecuación necesitaba 6 y la segunda 12. Multiplicar las dos por 12 también valdría, pero la primera quedaría 6x + 4y = 48, con números mayores y sin ninguna ventaja. Para calcular el MCM de varios denominadores puedes usar la calculadora de MCM.
Cuando la solución es una fracción
Sea x + y = 1 y x − y = 1/5. La segunda ya tiene un solo denominador, así que multiplicar por 5 basta: 5x − 5y = 1. La primera, por 5, es 5x + 5y = 5. Al sumarlas, 10x = 6 y x = 6/10, que se reduce a 3/5. Entonces y = 1 − 3/5 = 2/5.
La solución se deja como fracción irreducible. Aquí 3/5 = 0,6 y 2/5 = 0,4 son decimales exactos, pero con 1/3 un decimal cortado como 0,33 ya no cumple la ecuación (1/3 − 0,33 = 1/300); por eso se comprueba con fracciones: 3/5 + 2/5 = 1 y 3/5 − 2/5 = 1/5. Las dos ecuaciones originales se cumplen.
Sin solución o con infinitas soluciones
Dos rectas pueden cortarse en un punto, no cortarse nunca o ser la misma. Al limpiar las ecuaciones se ve cuál es el caso.
| Sistema | Tras limpiar | Rectas | Soluciones |
|---|---|---|---|
| x/3 + y/3 = 1 y x + y = 4 | x + y = 3 y x + y = 4 | paralelas | ninguna (incompatible) |
| x/5 + y/5 = 2 y x + y = 10 | x + y = 10 y x + y = 10 | la misma | infinitas (dependiente) |
| x/2 + y = 3 y x/2 − y = 1 | x + 2y = 6 y x − 2y = 2 | se cruzan | una: (4, 1) |
Por reducción, el sistema incompatible acaba en una igualdad falsa como 0 = 1, y el dependiente en una siempre cierta como 0 = 0. Para adelantarte, compara las ecuaciones limpias: si los coeficientes de x y de y son proporcionales, pero el término independiente no sigue esa proporción, el sistema no tiene solución.
Por qué se puede multiplicar por el MCM
Multiplicar los dos lados de una ecuación por un número distinto de cero no cambia sus soluciones. El MCM es solo el número que convierte cada fracción en un entero. Como es positivo, tampoco cambia ningún signo, a diferencia de lo que ocurre en una desigualdad.
En el plano, cada ecuación es una recta y la solución es el punto donde se cortan. Quitar denominadores reescribe la fórmula de la recta con enteros, pero la recta no se mueve y el punto de corte es el mismo. Por eso el par que sale de las ecuaciones limpias sirve en las originales.
Decimales, paréntesis y signos negativos
Un decimal exacto se pasa a fracción antes de limpiar: 0,5x + y = 3 es x/2 + y = 3, y 0,25 es 1/4. Evita cortar decimales periódicos, como 0,33 en lugar de 1/3, porque meten un error que la fracción no tiene.
Si el numerador es una suma o una resta, conserva el paréntesis al multiplicar. En (x − 1)/2 + y/3 = 2, multiplicar por 6 da 3(x − 1) + 2y = 12, que es 3x + 2y = 15. Un coeficiente negativo se puede eliminar multiplicando toda la ecuación por −1, que cambia todos sus signos y deja las soluciones intactas. Si la ecuación mezcla otras operaciones, simplifícala antes con las operaciones combinadas con fracciones.
Practica con tres sistemas
- Resuelve x/4 + y/2 = 3 y x − y = 0.
- Resuelve x/2 + y/4 = 2 y x/4 − y/2 = 0.
- Resuelve x/2 + y = 0 y x − y = 3. Fíjate en el signo de y.
Ver las respuestas
- Como x = y, la primera queda x + 2y = 12, es decir 3x = 12: x = 4 e y = 4.
- Quedan 2x + y = 8 y x = 2y. Al sustituir, 5y = 8: y = 8/5 y x = 16/5.
- De la primera, y = −x/2. Al sustituir en la segunda, 3x/2 = 3: x = 2 e y = −1. Un resultado negativo es válido; comprueba que 2/2 + (−1) = 0 y 2 − (−1) = 3.
Para practicar con una sola incógnita, la herramienta de fracciones con incógnita resuelve igualdades con un término desconocido. Para restricciones de dominio, consulta la guía de fracciones algebraicas y dominio.
Qué recordar
Limpia cada ecuación con su propio MCM, multiplicando todos los términos. Resuelve con reducción o sustitución, deja las soluciones como fracciones irreducibles y comprueba el par en las dos ecuaciones originales. Una igualdad falsa al final indica un sistema incompatible, y una siempre cierta, uno con infinitas soluciones. Más temas de este nivel están en el hub de contenido avanzado.
Fuentes
- GeoGebra, «Métodos de solución sistemas ecuaciones lineales 2 x 2»: presenta los métodos gráfico, sustitución, igualación, reducción y determinantes para sistemas 2x2 (consultado el 16 de octubre de 2026).