Sistem persamaan pecahan adalah himpunan dua persamaan linear yang koefisiennya berupa pecahan. Sistem ini diselesaikan dalam dua tahap: pertama penyebut setiap persamaan dihapus dengan kelipatan persekutuan terkecilnya sendiri, lalu seluruh sistem diselesaikan dengan substitusi atau eliminasi. Pada x/2 + y/3 = 4 dan x/4 − y/6 = 0, solusi eksaknya adalah x = 4, y = 6.
Bagian pecahan tidak menambah aturan baru: ia mengulang apa yang dilakukan alat persamaan pecahan pada satu persamaan. Perbedaannya muncul saat ada dua variabel dan dua persamaan, karena setiap persamaan harus dibersihkan secara terpisah sebelum digabungkan.
Yang penting
- Sistem 2x2 dengan pecahan punya dua persamaan dan dua variabel; solusinya adalah pasangan (x, y).
- Setiap persamaan dibersihkan dengan KPK-nya sendiri, bukan dengan penyebut bersama untuk seluruh sistem.
- Mengalikan persamaan dengan bilangan bukan nol menghasilkan persamaan yang setara.
- Setelah persamaan bersih, pilih substitusi atau eliminasi; hasilnya sama.
- Solusi boleh berbentuk pecahan dan tetap merupakan hasil eksak: 3/5 dan 2/5 tidak dibulatkan.
- Solusi diperiksa dengan menyubstitusikan pasangan ke persamaan asli, bukan hanya ke persamaan yang sudah bersih.
- Dua garis sejajar menghasilkan sistem tidak konsisten; garis yang sama berulang menghasilkan sistem bergantung.
Apa itu sistem 2x2 dengan pecahan?
Sistem linear 2x2 menyatukan dua persamaan berderajat satu dengan dua variabel yang sama. Dengan koefisien pecahan, tiap persamaan tetap menggambarkan sebuah garis, tetapi dengan bilangan yang kurang nyaman; solusinya tetap titik potong kedua garis. Solusi adalah pasangan yang memenuhi kedua persamaan: tepat satu pasangan jika sistem konsisten dan tertentu, tidak ada jika tidak konsisten, dan tak hingga jika bergantung.
Cara menyelesaikan sistem persamaan pecahan langkah demi langkah
Metode ini punya lima langkah dan berlaku untuk setiap sistem 2x2 berkoefisien pecahan:
- Hitung kelipatan persekutuan terkecil penyebut setiap persamaan.
- Kalikan semua suku persamaan itu dengan KPK-nya untuk menghapus penyebut.
- Pilih substitusi atau eliminasi, lalu gabungkan kedua persamaan yang sudah bersih.
- Selesaikan variabelnya dan sederhanakan setiap hasil menjadi pecahan paling sederhana.
- Substitusikan pasangan ke kedua persamaan asli.
Setiap langkah dijelaskan dengan titik kontrol dan kesalahan yang sering.
Langkah 1: hitung KPK setiap persamaan secara terpisah
Catat penyebut pada satu persamaan dan hitung kelipatan persekutuan terkecilnya; ulangi untuk persamaan lainnya. Pada x/2 + y/3 = 4, KPK(2, 3) = 6. Pada x/4 − y/6 = 0, KPK(4, 6) = 12. Alat penyebut persekutuan terkecil memberikan KPK dan pecahan yang diperbesar. Titik kontrol: setiap pecahan dapat ditulis di atas KPK-nya tanpa berubah nilai: x/2 = 3x/6 dan x/4 = 3x/12. Kesalahan umum: memakai KPK berbeda pada suku-suku dalam satu persamaan. Jika sebuah suku tidak punya penyebut, seperti 4, tulis sebagai 4/1.
Langkah 2: kalikan semua suku dengan KPK itu
Kalikan setiap suku persamaan dengan KPK-nya. Pada persamaan pertama, dengan 6: 6 · (x/2) + 6 · (y/3) = 6 · 4, yang memberi 3x + 2y = 24. Pada persamaan kedua, dengan 12: 12 · (x/4) − 12 · (y/6) = 12 · 0, yang memberi 3x − 2y = 0. Titik kontrol: tidak ada penyebut yang tersisa. Kesalahan umum: hanya mengalikan suku pertama dan membiarkan suku lain, sehingga persamaan tidak lagi setara.
Langkah 3: pilih eliminasi atau substitusi
Dengan 3x + 2y = 24 dan 3x − 2y = 0, eliminasi menjumlah atau mengurangi untuk menghapus satu variabel. Koefisien y berlawanan, jadi penjumlahan meniadakannya: (3x + 2y) + (3x − 2y) = 24 + 0, yaitu 6x = 24. Substitusi mengisolasi y = 3x/2 dari persamaan kedua lalu memasukkannya ke persamaan pertama: 3x + 2 · (3x/2) = 24, yang kembali memberi 6x = 24. Titik kontrol: tersisa satu persamaan dengan satu variabel. Kesalahan umum: mengurangi ketika koefisien belum siap saling meniadakan; jika tidak sama atau berlawanan, samakan lebih dulu.
Langkah 4: selesaikan dan sederhanakan pecahan
Dari 6x = 24 diperoleh x = 4. Substitusikan ke 3x − 2y = 0: 3 · 4 − 2y = 0, jadi 12 = 2y dan y = 6. Pasangannya adalah (4, 6). Jika nilainya pecahan, sederhanakan menjadi pecahan paling sederhana dengan membagi faktor persekutuan terbesar; untuk bilangan besar, panduan algoritma Euclid membantu. Titik kontrol: tidak ada pecahan yang bisa disederhanakan lagi. Kesalahan umum: membiarkan pecahan yang masih bisa disederhanakan seperti 6/10, yang masih sama dengan 3/5.
Langkah 5: periksa pasangan pada persamaan asli
Substitusikan x = 4 dan y = 6 ke persamaan awal. Pertama: 4/2 + 6/3 = 2 + 2 = 4. Kedua: 4/4 − 6/6 = 1 − 1 = 0. Keduanya berlaku. Titik kontrol: kedua persamaan asli berlaku dengan pasangan yang sama. Kesalahan umum: memeriksa pada satu persamaan saja; sebuah pasangan bisa memenuhi satu dan gagal pada yang lain. Panduan memeriksa hasil pecahan memuat pemeriksaan lain.
6 · (x/2 + y/3) = 6 · 4 → 3x + 2y = 24; 12 · (x/4 − y/6) = 0 → 3x − 2y = 0
Substitusi atau eliminasi? Tabel perbandingan
Kedua metode benar dan menghasilkan pasangan yang sama; pilihannya bergantung pada bentuk persamaan setelah dibersihkan. Eliminasi cocok ketika koefisien salah satu variabel sama atau berlawanan; substitusi cocok ketika sebuah variabel sudah terisolasi atau berkoefisien 1.
| Kriteria | Substitusi | Eliminasi |
|---|---|---|
| Kapan cocok | variabel terisolasi atau berkoefisien 1 | koefisien satu variabel sama atau berlawanan |
| Langkah pertama, contoh 1 | isolasi y dari 3x − 2y = 0 → y = 3x/2 | jumlahkan 3x + 2y = 24 dan 3x − 2y = 0 |
| Langkah pertama, contoh 2 | isolasi x dari x + y = 1 → x = 1 − y | kalikan x + y = 1 dengan 2 lalu jumlahkan dengan 3x − 2y = 1 |
| Kerja dengan pecahan | memunculkan pecahan saat mengisolasi | menghindari isolasi; menjumlah suku |
| Risiko utama | kesalahan tanda kurung saat substitusi | kesalahan saat menyamakan koefisien |
| Hasil pada contoh 2 | x = 3/5, y = 2/5 | x = 3/5, y = 2/5 |
Contoh 1: x/2 + y/3 = 4 dan x/4 − y/6 = 0
Persamaan pertama berpenyebut 2 dan 3, dengan KPK 6. Mengalikan ketiga sukunya dengan 6 menghasilkan 3x + 2y = 24. Persamaan kedua berpenyebut 4 dan 6, dengan KPK 12; dikalikan 12 menghasilkan 3x − 2y = 0. Karena +2y dan −2y saling meniadakan, kedua persamaan dijumlahkan: 6x = 24, jadi x = 4. Dengan x = 4 pada 3x − 2y = 0: 12 = 2y, sehingga y = 6. Solusinya (4, 6).
Pemeriksaan: 4/2 + 6/3 = 4 dan 4/4 − 6/6 = 0. Pasangan (4, 6) memenuhi kedua persamaan asli.
Coba: selesaikan 2x + y/3 = 5 dan x − y = 1. Persamaan pertama dibersihkan dengan KPK 3: 6x + y = 15. Setelah dijumlahkan dengan x − y = 1, hasilnya 7x = 16, jadi x = 16/7 dan y = 9/7.
Contoh 2: solusi pecahan x = 3/5, y = 2/5
Misalkan x + y = 1 dan x/2 − y/3 = 1/6. Persamaan pertama sudah bersih. Persamaan kedua berpenyebut 2, 3, dan 6, dengan KPK 6: 6 · (x/2) − 6 · (y/3) = 6 · (1/6), yang memberi 3x − 2y = 1. Dengan substitusi, x = 1 − y masuk ke persamaan kedua: 3(1 − y) − 2y = 1, yaitu 3 − 5y = 1, jadi 5y = 2 dan y = 2/5. Maka x = 1 − 2/5 = 3/5. Eliminasi mencapai titik yang sama: x + y = 1 dikalikan 2 menjadi 2x + 2y = 2; dijumlahkan dengan 3x − 2y = 1 diperoleh 5x = 3 dan x = 3/5.
Pemeriksaan wajib karena hasilnya pecahan. Persamaan pertama: 3/5 + 2/5 = 1. Persamaan kedua: (3/5)/2 − (2/5)/3 = 3/10 − 2/15 = 9/30 − 4/30 = 5/30 = 1/6. Keduanya berlaku.
3(3/5) − 2(2/5) = 9/5 − 4/5 = 1
Coba: selesaikan x/3 + y/2 = 2 dan x − y = 0. Persamaan pertama dibersihkan dengan KPK 6: 2x + 3y = 12. Karena x = y, 5x = 12 dan x = y = 12/5.
Cara memeriksa solusi pada persamaan asli
Pemeriksaan adalah satu-satunya bukti bahwa pasangan menyelesaikan sistem. Substitusikan kedua nilai sekaligus ke setiap persamaan awal; jika satu persamaan gagal, pasangan itu bukan solusi meskipun berasal dari metode.
| Sistem | Persamaan 1 | Persamaan 2 |
|---|---|---|
| x = 4, y = 6 | x/2 + y/3 = 2 + 2 = 4 ✓ | x/4 − y/6 = 1 − 1 = 0 ✓ |
| x = 3/5, y = 2/5 | x + y = 3/5 + 2/5 = 1 ✓ | x/2 − y/3 = 3/10 − 2/15 = 1/6 ✓ |
Dengan pecahan, samakan penyebut sebelum membandingkan: 3/10 dan 2/15 menjadi 9/30 dan 4/30, selisihnya 5/30 = 1/6. Membulatkan sebelum membandingkan bisa membuat persamaan eksak tampak berbeda.
Kapan sistem pecahan tidak punya solusi?
Sistem 2x2 tidak punya solusi ketika kedua persamaan menggambarkan garis sejajar: setelah dibersihkan, kombinasi variabel yang sama tersisa dengan konstanta berbeda. Pada x/2 + y/2 = 1 dan x + y = 3, persamaan pertama dibersihkan dengan KPK 2 dan menjadi x + y = 2; persamaan kedua adalah x + y = 3. Keduanya tidak bisa sama dengan 2 dan 3 sekaligus, jadi sistemnya tidak konsisten.
Jika pembersihan menyisakan persamaan yang sama berulang, sistemnya bergantung dan punya tak hingga solusi. Ini terjadi pada x/2 + y/2 = 1 dan x + y = 2: keduanya menjadi x + y = 2, dan setiap pasangan yang berjumlah 2, seperti (1, 1), memenuhi keduanya.
| Sistem | Persamaan setelah dibersihkan | Garis | Solusi |
|---|---|---|---|
| x/2 + y/2 = 1; x + y = 3 | x + y = 2; x + y = 3 | sejajar | tidak ada |
| x/2 + y/2 = 1; x + y = 2 | x + y = 2; x + y = 2 | garis yang sama | tak hingga |
Dengan eliminasi, sistem tidak konsisten menghasilkan persamaan salah seperti 0 = 1, dan yang bergantung menghasilkan persamaan yang selalu benar seperti 0 = 0.
Mengapa menghapus penyebut berhasil
Mengalikan persamaan dengan bilangan bukan nol tidak mengubah himpunan solusinya, karena operasinya bekerja sama pada kedua sisi persamaan. Mengalikan dengan KPK adalah kasus khusus: dipilih kelipatan yang mengubah setiap pecahan menjadi bilangan bulat. Karena KPK dari penyebut positif selalu positif, tidak ada ambiguitas tanda, berbeda dengan pertidaksamaan.
Secara geometris, setiap persamaan yang bersih adalah garis dan sistemnya adalah titik potong keduanya. Menghapus penyebut tidak menggeser garis: hanya menulis ulang rumusnya dengan koefisien bulat, jadi titik potongnya tetap. Misalkan soal campuran menghasilkan x/2 + y/3 = 4 dan x/4 − y/6 = 0, dengan x dan y adalah liter dua cairan; solusi (4, 6) berarti 4 liter cairan pertama dan 6 liter cairan kedua, dan diperiksa dengan cara yang sama.
Kesalahan umum dan cara memperbaikinya
- Mengalikan hanya sebagian suku. Untuk membersihkan x/2 + y/3 = 4, kalikan ketiga suku dengan 6, termasuk 4. Pastikan tidak ada penyebut yang tersisa.
- Memakai KPK berbeda pada setiap suku. KPK dihitung dari semua penyebut satu persamaan dan diterapkan pada seluruh persamaan.
- Salah tanda saat eliminasi. Pada 3x + 2y = 24 dan 3x − 2y = 0, jumlahkan karena koefisiennya berlawanan; mengurangi memberi hasil lain.
- Lupa tanda kurung saat substitusi. Menyubstitusikan x = 1 − y ke 3x − 2y = 1 memerlukan 3(1 − y), bukan 3 · 1 − y.
- Membiarkan pecahan belum disederhanakan. Hasil seperti 6/10 masih sama dengan 3/5; periksa faktor persekutuan terbesar.
- Memeriksa pada persamaan yang sudah bersih. Pembuktian akhir dilakukan pada persamaan asli.
Variasi: tanda kurung, desimal, dan koefisien negatif
- Pembilang bertanda kurung. Pada (x − 1)/2, pertahankan tanda kurung saat mengalikan dengan KPK: 2 · (x − 1)/2 = x − 1.
- Koefisien desimal. Ubah ke pecahan: 0,5x + y = 3 adalah x/2 + y = 3.
- Koefisien negatif. Mengalikan persamaan dengan −1 membalik semua tanda dan menyiapkan eliminasi tanpa mengubah solusi.
- Bentuk gabungan. Jika persamaan mencampur beberapa operasi, sederhanakan dulu dengan aturan operasi hitung campuran pecahan.
Coba: selesaikan x/2 − y = 0 dan x + y/3 = 5. Dari persamaan pertama, x = 2y; setelah disubstitusikan, 7y/3 = 5, jadi y = 15/7 dan x = 30/7.
Batasan: sistem 3x3, matriks, dan persamaan nonlinier
Metode ini mencakup sistem dua persamaan dengan dua variabel dan koefisien pecahan yang linear. Metode ini tidak menjangkau tiga variabel atau tiga persamaan: sistem seperti itu diselesaikan dengan eliminasi berurutan atau matriks, di luar cakupan panduan ini. Metode ini juga melewatkan persamaan nonlinier, dengan x², hasil kali xy, atau variabel di penyebut. Jika variabel ada di penyebut, seperti 1/(x − 2) + y = 3, selidiki dulu nilai yang dilarang; kasus itu termasuk pecahan aljabar dan domainnya. Jika persamaan bercampur dengan pertidaksamaan, berlaku aturan pertidaksamaan dengan pecahan.
Latihan dengan jawaban
- x/4 + y/2 = 3 dan x − y = 0. Karena x = y, persamaan pertama menjadi x + 2y = 12 dan 3x = 12: pasangannya (4, 4).
- x/3 + y/3 = 1 dan x + y = 4. Persamaan pertama menjadi x + y = 3, yang tidak bisa sama dengan x + y = 4: sistem tidak konsisten dan tidak punya solusi.
- x/2 + y/4 = 2 dan x/4 − y/2 = 0. Persamaan pertama menjadi 2x + y = 8; persamaan kedua x = 2y. Setelah disubstitusikan, 5y = 8, jadi y = 8/5 dan x = 16/5.
Untuk latihan tambahan, alat pecahan dengan nilai yang hilang menyelesaikan persamaan dengan satu suku yang belum diketahui, dan halaman untuk memeriksa jawaban pecahan memeriksa hasil suatu operasi.
Kesimpulan
Sistem persamaan pecahan diselesaikan dengan membersihkan setiap persamaan memakai kelipatan persekutuan terkecilnya, lalu menggabungkannya dengan substitusi atau eliminasi. Hasilnya boleh bulat atau pecahan, asalkan eksak dan dalam bentuk paling sederhana. Sebelum menutup, periksa pasangan pada kedua persamaan asli dan kenali apakah sistemnya tidak konsisten atau bergantung. Hub konten lanjutan memuat topik lain pada tingkat ini.