Un sistema di equazioni con frazioni è un insieme di due equazioni lineari i cui coefficienti sono frazioni. Si risolve in due fasi: prima si eliminano i denominatori di ogni equazione con il suo minimo comune multiplo, poi si risolve l’intero sistema per sostituzione o per riduzione. In x/2 + y/3 = 4 e x/4 − y/6 = 0 la soluzione esatta è x = 4, y = 6.
La parte delle frazioni non aggiunge regole nuove: ripete ciò che lo strumento per le equazioni con frazioni fa su una sola uguaglianza. La differenza compare con due incognite e due uguaglianze, perché ogni equazione va ripulita separatamente prima di combinarle.
L’essenziale
- Un sistema 2x2 con frazioni ha due equazioni e due incognite; la soluzione è una coppia (x, y).
- Ogni equazione si ripulisce con il suo minimo comune multiplo, non con un denominatore comune all’intero sistema.
- Moltiplicare un’equazione per un numero diverso da zero la trasforma in un’equazione equivalente.
- Con le equazioni ripulite si sceglie la sostituzione o la riduzione; il risultato è lo stesso.
- La soluzione può essere frazionaria e restare un risultato esatto: 3/5 e 2/5 non si arrotondano.
- Si verifica sostituendo la coppia nelle equazioni originali, non solo in quelle ripulite.
- Due rette parallele danno un sistema impossibile; la stessa retta ripetuta ne dà uno dipendente.
Che cos’è un sistema 2x2 con frazioni?
Un sistema lineare 2x2 riunisce due equazioni di primo grado con le stesse due incognite. Con coefficienti frazionari ogni uguaglianza descrive ancora una retta, ma con numeri scomodi; la soluzione resta il punto in cui le rette si incontrano. La soluzione è la coppia che soddisfa entrambe le equazioni: una sola coppia se il sistema è determinato, nessuna se è impossibile, infinite se è dipendente.
Come risolvere sistemi di equazioni con frazioni passo a passo
Il metodo ha cinque passi e vale per qualsiasi sistema 2x2 con coefficienti frazionari:
- Calcolare il minimo comune multiplo dei denominatori di ogni equazione.
- Moltiplicare tutti i termini di quell’equazione per il suo mcm ed eliminare i denominatori.
- Scegliere la sostituzione o la riduzione e combinare le due equazioni ripulite.
- Isolare le incognite e ridurre ogni risultato alla frazione irriducibile.
- Sostituire la coppia nelle due equazioni originali.
Ogni passo è spiegato con il suo punto di controllo e il suo errore comune.
Passo 1: calcola il mcm di ogni equazione separatamente
Individua i denominatori di un’equazione e calcola il loro minimo comune multiplo; ripeti per l’altra. In x/2 + y/3 = 4, mcm(2, 3) = 6. In x/4 − y/6 = 0, mcm(4, 6) = 12. Lo strumento del minimo comune denominatore restituisce il mcm e le frazioni ampliate. Punto di controllo: ogni frazione si scrive sul suo mcm senza cambiare valore: x/2 = 3x/6 e x/4 = 3x/12. Errore comune: usare un mcm diverso in termini della stessa equazione. Se un termine non ha denominatore, come il 4, si scrive 4/1.
Passo 2: moltiplica tutti i termini per quel mcm
Moltiplica ogni termine dell’equazione per il suo mcm. Nella prima, per 6: 6 · (x/2) + 6 · (y/3) = 6 · 4, che dà 3x + 2y = 24. Nella seconda, per 12: 12 · (x/4) − 12 · (y/6) = 12 · 0, che dà 3x − 2y = 0. Punto di controllo: non resta alcun denominatore. Errore comune: moltiplicare solo il primo termine e lasciare gli altri senza ampliare, così l’equazione perde l’equivalenza.
Passo 3: scegli la riduzione o la sostituzione
Con 3x + 2y = 24 e 3x − 2y = 0, la riduzione somma o sottrae per eliminare un’incognita. I coefficienti di y sono opposti, quindi la somma li annulla: (3x + 2y) + (3x − 2y) = 24 + 0, cioè 6x = 24. La sostituzione isola y = 3x/2 nella seconda equazione e la porta nella prima: 3x + 2 · (3x/2) = 24, che ridà 6x = 24. Punto di controllo: resta una sola equazione con una sola incognita. Errore comune: sottrarre quando i coefficienti non sono pronti ad annullarsi; se non sono uguali né opposti, vanno prima resi tali.
Passo 4: isola e riduci alla frazione irriducibile
Da 6x = 24 segue x = 4. Sostituendo in 3x − 2y = 0: 3 · 4 − 2y = 0, quindi 12 = 2y e y = 6. La coppia è (4, 6). Quando il valore è frazionario si riduce alla frazione irriducibile dividendo per il massimo comune divisore; per numeri grandi serve la guida all’algoritmo di Euclide. Punto di controllo: nessuna frazione si semplifica oltre. Errore comune: accettare una frazione riducibile come 6/10, che vale ancora 3/5.
Passo 5: verifica la coppia nelle equazioni originali
Sostituisci x = 4 e y = 6 nelle equazioni di partenza. Prima: 4/2 + 6/3 = 2 + 2 = 4. Seconda: 4/4 − 6/6 = 1 − 1 = 0. Entrambe valgono. Punto di controllo: le due uguaglianze originali valgono con la stessa coppia. Errore comune: verificare in una sola equazione; una coppia può soddisfarne una e fallire l’altra. La guida per verificare un risultato con le frazioni raccoglie altri controlli.
6 · (x/2 + y/3) = 6 · 4 → 3x + 2y = 24; 12 · (x/4 − y/6) = 0 → 3x − 2y = 0
Sostituzione o riduzione? Tabella comparativa
Entrambi i metodi sono corretti e portano alla stessa coppia; la scelta dipende da come risultano le equazioni ripulite. La riduzione conviene quando i coefficienti di un’incognita sono uguali o opposti; la sostituzione, quando un’incognita è isolata o ha coefficiente 1.
| Criterio | Sostituzione | Riduzione |
|---|---|---|
| Quando conviene | incognita isolata o con coefficiente 1 | coefficienti di un’incognita uguali o opposti |
| Prima mossa, esempio 1 | isolare y da 3x − 2y = 0 → y = 3x/2 | sommare 3x + 2y = 24 e 3x − 2y = 0 |
| Prima mossa, esempio 2 | isolare x da x + y = 1 → x = 1 − y | moltiplicare x + y = 1 per 2 e sommare a 3x − 2y = 1 |
| Lavoro con le frazioni | crea una frazione isolando | evita di isolare; somma i termini |
| Rischio principale | errore di parentesi nella sostituzione | errore nel rendere uguali i coefficienti |
| Risultato, esempio 2 | x = 3/5, y = 2/5 | x = 3/5, y = 2/5 |
Esempio 1: x/2 + y/3 = 4 e x/4 − y/6 = 0
La prima equazione ha denominatori 2 e 3, con mcm 6. Moltiplicando i suoi tre termini per 6 si ottiene 3x + 2y = 24. La seconda ha denominatori 4 e 6, con mcm 12; moltiplicando per 12 si ottiene 3x − 2y = 0. Poiché +2y e −2y si annullano, si sommano le due equazioni: 6x = 24, quindi x = 4. Con x = 4 in 3x − 2y = 0: 12 = 2y, quindi y = 6. La soluzione è (4, 6).
Verifica: 4/2 + 6/3 = 4 e 4/4 − 6/6 = 0. La coppia (4, 6) soddisfa entrambe le equazioni originali.
Prova: risolvi 2x + y/3 = 5 e x − y = 1. La prima si ripulisce con mcm 3: 6x + y = 15. Sommando x − y = 1 si ottiene 7x = 16, quindi x = 16/7 e y = 9/7.
Esempio 2: soluzione frazionaria x = 3/5, y = 2/5
Siano x + y = 1 e x/2 − y/3 = 1/6. La prima è già ripulita. La seconda ha denominatori 2, 3 e 6, con mcm 6: 6 · (x/2) − 6 · (y/3) = 6 · (1/6), che dà 3x − 2y = 1. Per sostituzione, x = 1 − y entra nella seconda: 3(1 − y) − 2y = 1, cioè 3 − 5y = 1, quindi 5y = 2 e y = 2/5. Allora x = 1 − 2/5 = 3/5. La riduzione porta allo stesso punto: x + y = 1 moltiplicata per 2 dà 2x + 2y = 2; sommando 3x − 2y = 1 si ottiene 5x = 3 e x = 3/5.
La verifica è obbligatoria perché il risultato è frazionario. Prima equazione: 3/5 + 2/5 = 1. Seconda: (3/5)/2 − (2/5)/3 = 3/10 − 2/15 = 9/30 − 4/30 = 5/30 = 1/6. Entrambe valgono.
3(3/5) − 2(2/5) = 9/5 − 4/5 = 1
Prova: risolvi x/3 + y/2 = 2 e x − y = 0. La prima si ripulisce con mcm 6: 2x + 3y = 12. Poiché x = y, 5x = 12 e x = y = 12/5.
Come verificare una soluzione nelle equazioni originali
La verifica è l’unica prova che la coppia risolva il sistema. Sostituisci i due valori insieme in ogni equazione di partenza; se un’uguaglianza fallisce, la coppia non è soluzione anche se è uscita dal metodo.
| Sistema | Equazione 1 | Equazione 2 |
|---|---|---|
| x = 4, y = 6 | x/2 + y/3 = 2 + 2 = 4 ✓ | x/4 − y/6 = 1 − 1 = 0 ✓ |
| x = 3/5, y = 2/5 | x + y = 3/5 + 2/5 = 1 ✓ | x/2 − y/3 = 3/10 − 2/15 = 1/6 ✓ |
Con le frazioni conviene passare a un denominatore comune prima di confrontare: 3/10 e 2/15 diventano 9/30 e 4/30, e la differenza è 5/30 = 1/6. Arrotondare prima del confronto può trasformare un’uguaglianza esatta in una differenza apparente.
Quando un sistema con frazioni non ha soluzione?
Un sistema 2x2 non ha soluzione quando le due equazioni descrivono rette parallele: dopo la ripulitura resta la stessa combinazione di incognite con termine noto diverso. Con x/2 + y/2 = 1 e x + y = 3, la prima si ripulisce con mcm 2 e diventa x + y = 2; la seconda è x + y = 3. Non possono valere 2 e 3 insieme, quindi il sistema è impossibile.
Se la ripulitura lascia la stessa equazione ripetuta, il sistema è dipendente e ha infinite soluzioni. Accade con x/2 + y/2 = 1 e x + y = 2: entrambe diventano x + y = 2, e ogni coppia che somma 2, come (1, 1), soddisfa le due.
| Sistema | Equazioni dopo la ripulitura | Rette | Soluzioni |
|---|---|---|---|
| x/2 + y/2 = 1; x + y = 3 | x + y = 2; x + y = 3 | parallele | nessuna |
| x/2 + y/2 = 1; x + y = 2 | x + y = 2; x + y = 2 | la stessa retta | infinite |
Con la riduzione il sistema impossibile produce un’uguaglianza falsa come 0 = 1, e quello dipendente una sempre vera come 0 = 0.
Perché eliminare i denominatori funziona
Moltiplicare un’equazione per un numero diverso da zero non cambia il suo insieme di soluzioni, perché l’operazione agisce allo stesso modo sui due lati dell’uguaglianza. Moltiplicare per il mcm è un caso particolare: si sceglie il multiplo che trasforma ogni frazione in un numero intero. Poiché il mcm di denominatori positivi è positivo, non c’è ambiguità di segno, a differenza di una disequazione.
Dal punto di vista geometrico, ogni equazione ripulita è una retta e il sistema è la loro intersezione. Eliminare i denominatori non sposta nessuna retta: riscrive solo la sua formula con coefficienti interi, quindi il punto di incrocio non cambia. Supponi che un problema di miscele dia x/2 + y/3 = 4 e x/4 − y/6 = 0, dove x e y sono litri di due liquidi; la soluzione (4, 6) significa 4 litri del primo e 6 del secondo, e si verifica allo stesso modo.
Errori frequenti e come correggerli
- Moltiplicare solo alcuni termini. Per ripulire x/2 + y/3 = 4 moltiplica i tre termini per 6, compreso il 4. Controlla che non resti alcun denominatore.
- Usare un mcm diverso per ogni termine. Il mcm si calcola con tutti i denominatori di una stessa equazione e si applica all’intera equazione.
- Segno sbagliato nella riduzione. In 3x + 2y = 24 e 3x − 2y = 0 bisogna sommare perché i coefficienti sono opposti; sottrarre dà un altro risultato.
- Dimenticare le parentesi nella sostituzione. Sostituire x = 1 − y in 3x − 2y = 1 richiede 3(1 − y), non 3 · 1 − y.
- Lasciare la frazione non ridotta. Un risultato come 6/10 vale ancora 3/5; controlla il massimo comune divisore.
- Verificare nelle equazioni ripulite. La prova finale si fa nelle equazioni originali.
Varianti: parentesi, decimali e coefficienti negativi
- Numeratore con parentesi. In (x − 1)/2 si conservano le parentesi moltiplicando per il mcm: 2 · (x − 1)/2 = x − 1.
- Coefficienti decimali. Si convertono in frazioni: 0,5x + y = 3 è x/2 + y = 3.
- Coefficiente negativo. Moltiplicare un’equazione per −1 cambia tutti i segni e prepara la riduzione senza alterare le soluzioni.
- Espressioni combinate. Se un’equazione mescola le operazioni, semplifica prima con le regole delle espressioni con frazioni.
Prova: risolvi x/2 − y = 0 e x + y/3 = 5. Dalla prima, x = 2y; sostituendo, 7y/3 = 5, quindi y = 15/7 e x = 30/7.
Limiti: sistemi 3x3, matrici ed equazioni non lineari
Questo metodo copre i sistemi di due equazioni con due incognite e coefficienti frazionari, lineari. Non raggiunge tre incognite né tre equazioni: quei sistemi si risolvono per eliminazione ordinata o con le matrici, fuori da questa guida. Lascia fuori anche le equazioni non lineari, con x², un prodotto xy o un’incognita al denominatore. Se l’incognita è al denominatore, come in 1/(x − 2) + y = 3, vanno prima studiati i valori proibiti; quel caso appartiene alle frazioni algebriche e al loro dominio. Se un’uguaglianza si mescola con una disuguaglianza, valgono le regole delle disequazioni con frazioni.
Esercizi con risposte
- x/4 + y/2 = 3 e x − y = 0. Poiché x = y, la prima diventa x + 2y = 12 e 3x = 12: la coppia è (4, 4).
- x/3 + y/3 = 1 e x + y = 4. La prima diventa x + y = 3, che non può valere quanto x + y = 4: è impossibile e non ha soluzione.
- x/2 + y/4 = 2 e x/4 − y/2 = 0. La prima diventa 2x + y = 8; la seconda, x = 2y. Sostituendo, 5y = 8, quindi y = 8/5 e x = 16/5.
Per esercitarti ancora, lo strumento per il valore mancante nelle frazioni risolve un’uguaglianza con un termine incognito, e la pagina per verificare le risposte delle frazioni controlla il risultato di un’operazione.
Conclusione
I sistemi di equazioni con frazioni si risolvono ripulendo ogni equazione con il suo minimo comune multiplo e combinandole poi per sostituzione o riduzione. Il risultato può essere intero o frazionario, purché sia esatto e in forma irriducibile. Prima di concludere, verifica la coppia nelle due equazioni originali e riconosci se il sistema è impossibile o dipendente. L’hub dei contenuti avanzati raccoglie altri argomenti di questo livello.