Pour résoudre un système d’équations avec fractions, supprimez les dénominateurs de chaque équation, puis résolvez le système en nombres entiers. Dans x/2 + y/3 = 4 et x/4 − y/6 = 0, la solution est x = 4, y = 6, après avoir supprimé les dénominateurs de chaque équation avec son propre PPCM.
Dans chaque équation, on supprime les dénominateurs avec le PPCM de ses propres dénominateurs, sans chercher un multiple commun à tout le système. Si vous n’avez qu’une équation à une inconnue, commencez par l’outil d’équations avec fractions ; ici, il y a deux inconnues et deux équations. Si vous avez une inéquation, consultez les inéquations avec fractions, où la multiplication par un nombre négatif change le sens.
Quelle méthode choisir selon les équations sans dénominateurs
Une fois les dénominateurs supprimés, la méthode dépend de la forme des coefficients. Toutes mènent au même couple.
| Si, une fois les dénominateurs supprimés... | Méthode | Premier geste et exemple |
|---|---|---|
| une inconnue a des coefficients égaux ou opposés | Combinaison linéaire (ou addition) | Additionnez ou soustrayez les équations : x + y = 5 avec x − y = 1 donne 2x = 6 |
| une inconnue est isolée ou vaut 1 | Substitution | Reportez l'expression dans l'autre équation : avec y = 2x et x + y = 9, il reste 3x = 9 |
| aucune inconnue ne disparaît | Combinaison après multiplication | 2x + 3y = 7 et 3x − 2y = 4 : multipliez par 2 et par 3 pour avoir 6y et −6y ; en additionnant, 13x = 26 |
| la même inconnue s'isole facilement dans les deux | Comparaison | Isolez y dans les deux et égalez : avec y = 2x − 1 et y = 11 − x, 2x − 1 = 11 − x |
La troisième ligne se termine par x = 2, y = 1. En cas de doute, choisissez la combinaison linéaire : elle évite les fractions intermédiaires qui apparaissent quand on isole une inconnue.
Exemple résolu avec deux PPCM différents
Exemple résolu : x/2 + y/3 = 4 et x/4 − y/6 = 0
Trouvez x et y pour que les deux équations soient vraies en même temps.
- Calculez le PPCM de chaque équation. Dans la première, PPCM(2, 3) = 6. Dans la seconde, PPCM(4, 6) = 12.
- Supprimez les dénominateurs de la première. Multipliez ses trois termes par 6 : 6 · (x/2) + 6 · (y/3) = 6 · 4, ce qui donne 3x + 2y = 24.
- Supprimez les dénominateurs de la seconde. Multipliez par 12 : 12 · (x/4) − 12 · (y/6) = 12 · 0, ce qui donne 3x − 2y = 0.
- Additionnez les deux équations. Les termes en y s’annulent et il reste 6x = 24, d’où x = 4.
- Calculez l’autre inconnue. Remplacez x = 4 dans la seconde équation sans dénominateurs : 12 − 2y = 0, donc y = 6.
Résultat : x = 4, y = 6.
Vérification : dans les équations de départ, 4/2 + 6/3 = 2 + 2 = 4 et 4/4 − 6/6 = 1 − 1 = 0.
La première équation demandait 6 et la seconde 12. Multiplier les deux par 12 serait aussi valable, mais la première deviendrait 6x + 4y = 48, avec des nombres plus grands et sans aucun avantage. Pour calculer le PPCM de plusieurs dénominateurs, vous pouvez utiliser l’outil PPCM.
Quand la solution est une fraction
Prenons x + y = 1 et x − y = 1/5. La seconde n’a qu’un seul dénominateur, donc multiplier par 5 suffit : 5x − 5y = 1. La première, multipliée par 5, devient 5x + 5y = 5. En les additionnant, 10x = 6 et x = 6/10, qui se simplifie en 3/5. Alors y = 1 − 3/5 = 2/5.
On laisse la solution sous forme de fraction irréductible. Ici, 3/5 = 0,6 et 2/5 = 0,4 sont des nombres décimaux, mais avec 1/3, une valeur tronquée comme 0,33 ne vérifie plus l’équation (1/3 − 0,33 = 1/300) ; c’est pourquoi on vérifie avec des fractions : 3/5 + 2/5 = 1 et 3/5 − 2/5 = 1/5. Les deux équations d’origine sont bien vérifiées.
Sans solution ou avec une infinité de solutions
Deux droites peuvent se couper en un point, ne jamais se couper ou être confondues. En supprimant les dénominateurs, on voit de quel cas il s’agit.
| Système | Sans dénominateurs | Droites | Solutions |
|---|---|---|---|
| x/3 + y/3 = 1 et x + y = 4 | x + y = 3 et x + y = 4 | parallèles | aucune (système impossible) |
| x/5 + y/5 = 2 et x + y = 10 | x + y = 10 et x + y = 10 | confondues | une infinité (système indéterminé) |
| x/2 + y = 3 et x/2 − y = 1 | x + 2y = 6 et x − 2y = 2 | sécantes | une seule : (4, 1) |
Par combinaison linéaire, un système impossible aboutit à une égalité fausse comme 0 = 1, et un système indéterminé à une égalité toujours vraie comme 0 = 0. Pour le repérer à l’avance, comparez les équations sans dénominateurs : si les coefficients de x et de y sont proportionnels, mais que le terme constant ne suit pas cette proportion, le système n’a pas de solution.
Pourquoi on peut multiplier par le PPCM
Multiplier les deux membres d’une équation par un nombre non nul ne change pas ses solutions. Le PPCM est simplement le nombre qui transforme chaque fraction en entier. Comme il est positif, il ne change non plus aucun signe, contrairement à ce qui se passe dans une inéquation.
Dans le plan, chaque équation est une droite et la solution est le point où elles se coupent. Supprimer les dénominateurs réécrit la formule de la droite avec des entiers, mais la droite ne bouge pas et le point d’intersection reste le même. C’est pourquoi le couple obtenu avec les équations sans dénominateurs convient aussi aux équations d’origine.
Décimaux, parenthèses et signes négatifs
Un nombre décimal se convertit en fraction avant de supprimer les dénominateurs : 0,5x + y = 3 s’écrit x/2 + y = 3, et 0,25 vaut 1/4. Évitez de tronquer les écritures décimales illimitées, comme 0,33 à la place de 1/3, car elles introduisent une erreur que la fraction n’a pas.
Si le numérateur est une somme ou une différence, gardez la parenthèse en multipliant. Dans (x − 1)/2 + y/3 = 2, multiplier par 6 donne 3(x − 1) + 2y = 12, soit 3x + 2y = 15. Un coefficient négatif peut disparaître en multipliant toute l’équation par −1, ce qui change tous ses signes et laisse les solutions intactes. Si l’équation mélange d’autres opérations, simplifiez-la d’abord avec les opérations combinées sur les fractions.
Entraînez-vous avec trois systèmes
- Résolvez x/4 + y/2 = 3 et x − y = 0.
- Résolvez x/2 + y/4 = 2 et x/4 − y/2 = 0.
- Résolvez x/2 + y = 0 et x − y = 3. Faites attention au signe de y.
Voir les réponses
- Comme x = y, la première devient x + 2y = 12, soit 3x = 12 : x = 4 et y = 4.
- Il reste 2x + y = 8 et x = 2y. En remplaçant, 5y = 8 : y = 8/5 et x = 16/5.
- De la première, y = −x/2. En remplaçant dans la seconde, 3x/2 = 3 : x = 2 et y = −1. Un résultat négatif est valable ; vérifiez que 2/2 + (−1) = 0 et 2 − (−1) = 3.
Pour vous exercer avec une seule inconnue, l’outil de valeur manquante dans une fraction résout des équations comportant un terme inconnu. Pour les restrictions de domaine, consultez le guide sur les fractions algébriques et leur domaine.
À retenir
Supprimez les dénominateurs de chaque équation avec son propre PPCM, en multipliant tous les termes. Résolvez par combinaison linéaire ou par substitution, laissez les solutions sous forme de fractions irréductibles et vérifiez le couple dans les deux équations d’origine. Une égalité fausse à la fin indique un système impossible, et une égalité toujours vraie, un système indéterminé. D’autres sujets de ce niveau figurent dans le page des sujets avancés.
Sources
- GeoGebra, « Métodos de solución sistemas ecuaciones lineales 2 x 2 » (en espagnol) : présente les méthodes graphique, par substitution, par comparaison, par combinaison linéaire et par déterminants pour les systèmes 2x2 (consulté le 16 octobre 2026).