Pour résoudre une inéquation avec fractions, multipliez tous les termes par le PPCM des dénominateurs, isolez x et écrivez l’intervalle. Si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif, le sens s’inverse. Ainsi, x/3 − 1/2 > x/4 donne x > 6, c’est-à-dire l’intervalle ]6 ; +∞[.
La méthode est celle des équations avec fractions, avec une règle de plus : dans une égalité le signe ne change jamais, alors que dans une inégalité il peut changer. Si vous devez résoudre deux équations à la fois, consultez les systèmes d’équations avec fractions.
| Opération sur les deux membres | Le sens | Exemple |
|---|---|---|
| Ajouter ou retrancher un nombre quelconque | Se conserve | x − 6 > 0 devient x > 6 |
| Multiplier ou diviser par un positif | Se conserve | x/5 ≤ 2 devient x ≤ 10 |
| Multiplier ou diviser par un négatif | S'inverse | −3x ≥ 12 devient x ≤ −4 |
Seule la dernière ligne change le signe, et c’est là que se concentrent les erreurs. Avec le PPCM des dénominateurs, toujours positif, supprimer les fractions n’inverse jamais rien.
Exemple résolu : x/3 − 1/2 > x/4
Trouvez toutes les valeurs de x qui vérifient l'inégalité et écrivez-les sous forme d'intervalle.
- Calculez le PPCM. Les dénominateurs sont 3, 2 et 4, et leur PPCM est 12.
- Multipliez chaque terme par 12. Comme 12 est positif, le signe reste tel quel : 4x − 6 > 3x.
- Regroupez les x. Retranchez 3x des deux membres : x − 6 > 0.
- Isolez x. Ajoutez 6 et il reste x > 6.
- Écrivez l’intervalle. C’est ]6 ; +∞[, avec un crochet ouvert en 6 car l’inégalité est stricte.
Résultat : x > 6, soit l'intervalle ]6 ; +∞[.
Vérification : avec x = 7, le membre de gauche vaut 7/3 − 1/2 = 11/6 = 22/12 et celui de droite 7/4 = 21/12, donc l'inégalité est vraie. Avec x = 6, les deux membres valent 3/2, et c'est pourquoi 6 n'est pas inclus.
La borne est la valeur pour laquelle les deux membres sont égaux. Ici c’est 6, car 4x − 6 = 3x n’est vrai que pour x = 6.
Un coefficient négatif fait inverser le signe
Quand x porte un coefficient négatif, il faut diviser par un négatif pour l’isoler. C’est la seule étape qui change le sens : si c est négatif et a < b, alors ac > bc.
Prenez −x/5 < 2. Multipliez par −5 : le sens passe de < à > et il reste x > −10, c’est-à-dire ]−10 ; +∞[. La borne −10 n’appartient pas à la solution : −(−10)/5 vaut 2, et 2 n’est pas strictement inférieur à 2.
Une valeur de test prise à l’intérieur de l’intervalle permet presque toujours de repérer cette erreur. Elle ne démontre pas tout l’intervalle, mais si elle échoue, le résultat est sûrement faux. Le guide pour vérifier un résultat rassemble d’autres contrôles.
Une double inéquation se résout en une seule fois
Une inégalité comme −1 < (x − 2)/3 ≤ 5/6 a l’expression au milieu et deux bornes. On fait la même opération sur les trois parties. Multipliez par 3, qui est positif : −3 < x − 2 ≤ 5/2. Ajoutez 2 aux trois parties : −1 < x ≤ 9/2. L’intervalle est ]−1 ; 9/2], avec un crochet ouvert en −1 et fermé en 9/2 = 4,5.
Si le multiplicateur était négatif, il faudrait inverser les deux signes et aussi échanger les bornes, pour que le plus petit nombre reste à gauche.
Comment vérifier l’intervalle avec des valeurs de test
Choisissez une valeur à l’intérieur et deux autres à l’extérieur, une de chaque côté, et remplacez-les dans l’inéquation de départ. Pour la double inéquation, voici les résultats.
| x | (x − 2)/3 | Vérifie −1 < … ≤ 5/6 ? |
|---|---|---|
| −1 | −1 | Non, la borne −1 est exclue |
| 0 | −2/3 | Oui |
| 9/2 | 5/6 | Oui, la borne 9/2 est incluse |
| 5 | 1 | Non, dépasse 5/6 |
Le tableau confirme les deux frontières : une valeur à l’intérieur convient, une valeur à l’extérieur non, et chaque borne est incluse ou non selon qu’on a ≤ ou <. Sur la droite graduée, l’intervalle se dessine avec un point creux en −1 et un point plein en 9/2.
Les intervalles s’écrivent ainsi : < et > donnent un crochet ouvert, ≤ et ≥ un crochet fermé, et l’infini a toujours un crochet ouvert. Pour un PPCM de plus de deux nombres, le calculateur de PPCM le donne directement, et l’outil plus petit dénominateur commun renvoie les fractions déjà mises au même dénominateur.
Entraînez-vous
- Résolvez x/4 − 1 ≤ x/6.
- Résolvez −3x/4 > 6.
- Résolvez (x + 1)/2 < (x − 1)/3.
- Résolvez 0 ≤ (2x + 1)/3 < 1.
Voir les réponses
- PPCM 12 : 3x − 12 ≤ 2x, donc x ≤ 12. Intervalle ]−∞ ; 12].
- Multipliez par −4/3, un négatif, et le sens change : x < −8. Intervalle ]−∞ ; −8[.
- PPCM 6 : 3x + 3 < 2x − 2, donc x < −5. Intervalle ]−∞ ; −5[.
- Multipliez par 3 : 0 ≤ 2x + 1 < 3. Retranchez 1 : −1 ≤ 2x < 2. Divisez par 2 : −1/2 ≤ x < 1. Intervalle [−1/2 ; 1[.
Quand x apparaît au dénominateur, la démarche est différente ; la première question ci-dessous l’explique. Pour poursuivre l’algèbre des fractions, la page avancées rassemble les guides du bloc, et dans entraînement aux fractions vous pouvez vous exercer au calcul avec des fractions.