Risolvere le disequazioni con frazioni significa eliminare i denominatori, isolare l’incognita e scrivere la soluzione come intervallo. Il passo che decide il risultato è la regola dei segni: moltiplicare o dividere per un numero negativo inverte il verso della disuguaglianza. Con il minimo comune multiplo, una verifica e la retta numerica, gli errori di segno scompaiono.
Il procedimento condivide la meccanica delle equazioni con frazioni, ma aggiunge una regola che le uguaglianze non hanno: la disuguaglianza può cambiare verso. Per questo conviene risolvere prima, sorvegliare il segno e verificare dopo con un valore di prova.
Una disequazione è una disuguaglianza con un’incognita. La risposta non è un numero, ma un insieme di valori, e per questo si scrive con maggiore di, minore di o notazione di intervallo.
L’essenziale
- Per eliminare i denominatori, moltiplica ogni termine per il minimo comune multiplo dei denominatori.
- Moltiplicare o dividere per un numero positivo conserva il verso della disuguaglianza.
- Moltiplicare o dividere per un numero negativo inverte il verso; è la regola dei segni applicata all’ordine.
- I segni
<e>lasciano l’estremo aperto;≤e≥lo lasciano chiuso. - Il risultato si scrive con un intervallo e si rappresenta sulla retta numerica.
- Un valore di prova dentro l’intervallo può smascherare una soluzione sbagliata, ma da solo non la dimostra; un estremo aperto non serve come prova.
Equazione e disequazione: la differenza che cambia il risultato
Un’equazione con frazioni e una disequazione con frazioni condividono i primi due passi: trovare il minimo comune multiplo e moltiplicare ogni termine per eliminare i denominatori. La differenza appare alla fine. Nell’equazione la risposta è un numero o un insieme finito di numeri; nella disequazione la risposta è un intervallo con infiniti valori. Inoltre l’equazione non cambia mai verso, mentre la disequazione può invertirsi.
| Caratteristica | Equazione con frazioni | Disequazione con frazioni |
|---|---|---|
| Segno centrale | = |
<, >, ≤, ≥ |
| Risposta | uno o più numeri | un intervallo |
| Moltiplicazione per l’mcm positivo | l’uguaglianza si conserva | il verso si conserva |
| Moltiplicazione per un negativo | l’uguaglianza si conserva | il verso si inverte |
| Verifica | il valore rende uguali i due membri | il valore interno vale; quello esterno no |
| Esempio | x/3 = 2 → x = 6 | x/3 > 2 → x > 6 → (6, +∞) |
L’ultima riga mostra che un solo cambio di segno separa x = 6 da x > 6. Questa vicinanza spiega perché le disequazioni meritano un procedimento proprio, e non un’equazione con il segno cambiato alla fine.
Come si risolve una disequazione con frazioni in cinque passi?
Una disequazione lineare con coefficienti frazionari si risolve come un’equazione, con una sorveglianza in più sul segno. Il riassunto è questa lista ordinata:
- Trovare il minimo comune multiplo dei denominatori.
- Moltiplicare i due membri per quel multiplo per eliminare le frazioni.
- Risolvere la disuguaglianza ottenuta, invertendola se si moltiplica o divide per un negativo.
- Isolare l’incognita.
- Scrivere l’intervallo e verificare con un valore di prova.
Passo 1: scrivi i termini con un denominatore comune
Individua tutti i denominatori e calcola il loro minimo comune multiplo. In x/3 − 1/2 > x/4 i denominatori sono 3, 2 e 4, e mcm(3, 2, 4) = 12. Lo strumento per il minimo comune denominatore restituisce l’mcm e le frazioni amplificate.
Punto di controllo: ogni frazione può essere scritta su 12 senza cambiare valore: x/3 = 4x/12, 1/2 = 6/12 e x/4 = 3x/12.
Errore frequente in questo passo: calcolare l’mcm di soli due denominatori e dimenticare il terzo. Se un termine non ha denominatore, come il 3 in −x/2 < 3, scrivilo come 3/1 prima di cercare il multiplo.
Passo 2: moltiplica i due membri per il minimo comune multiplo
Moltiplica ogni termine dei due membri per 12. Poiché 12 è positivo, il verso > non cambia:
12 · (x/3) − 12 · (1/2) > 12 · (x/4) 4x − 6 > 3x
Punto di controllo: dopo la moltiplicazione non resta nessun denominatore.
Errore frequente: moltiplicare solo il primo termine e lasciare −1/2 non amplificato. Allora la disuguaglianza non è più equivalente a quella originale.
Passo 3: risolvi la disuguaglianza (e sorveglia il segno)
Raggruppa i termini con la x da una parte e i numeri dall’altra. Sottraendo 3x dai due membri resta x − 6 > 0, cioè x > 6. La regola dei segni entra in gioco quando moltiplichi o dividi i due membri per un numero negativo: in quel caso la disuguaglianza si inverte. Se il numero è positivo, si mantiene.
Punto di controllo: controlla il segno del coefficiente che moltiplica la x. Se è negativo, il verso deve essere cambiato.
Errore frequente: invertire quando non serve. Sommare o sottrarre un termine non inverte nulla; lo fa solo moltiplicare o dividere per un negativo.
Passo 4: isola l’incognita
Lascia la x da sola. Se il coefficiente che la moltiplica è una frazione, moltiplica per il suo reciproco. Per esempio, (2/5)x ≤ 4 diventa x ≤ 4 · 5/2 = 10. Poiché 5/2 è positivo, il verso ≤ si conserva.
Punto di controllo: la x resta con coefficiente 1 e il risultato è un intervallo, non un numero isolato.
Errore frequente: confondere il reciproco 5/2 con −5/2 e cambiare verso senza motivo.
Passo 5: scrivi l’intervallo e verifica un valore
Traduci la soluzione nella notazione di intervallo. Un segno < o > lascia l’estremo aperto, con la parentesi; un segno ≤ o ≥ lo lascia chiuso, con la parentesi quadra. Così x > 6 è (6, +∞) e x ≤ 8 è (−∞, 8]. Scegli un valore dentro l’intervallo, sostituiscilo nella disequazione originale e verifica che sia vera. La guida per verificare un risultato con le frazioni raccoglie altre verifiche.
Punto di controllo: il valore di prova soddisfa la disequazione originale, non solo quella semplificata.
Errore frequente: usare un numero uguale all’estremo. In x > 6, provare con 6 non serve: è il limite e non appartiene alla soluzione.
Esempio 1: x/3 − 1/2 > x/4 dà x > 6
Risolvi x/3 − 1/2 > x/4. I denominatori sono 3, 2 e 4; mcm = 12. Moltiplica i tre termini per 12, che è positivo, quindi il segno non cambia:
12 · x/3 − 12 · 1/2 > 12 · x/4 4x − 6 > 3x
Sottrai 3x dai due membri: x − 6 > 0. Aggiungi 6: x > 6. L’intervallo è (6, +∞), con la parentesi in 6 perché la disuguaglianza è stretta, e con la parentesi in +∞ perché l’infinito non è mai incluso.
Verifica con x = 7: 7/3 − 1/2 = 14/6 − 3/6 = 11/6 e x/4 = 7/4 = 10,5/6; poiché 11/6 > 10,5/6, è vera. Con x = 0 il membro di sinistra vale −1/2 e quello di destra 0, quindi 0 resta fuori.
x/3 − 1/2 > x/4 → 4x − 6 > 3x → x > 6
Prova: risolvi x/2 + 1 > x/3. Moltiplica i tre termini per 6: 3x + 6 > 2x; sottrai 2x: x + 6 > 0; sottrai 6: x > −6. L’intervallo è (−6, +∞).
Esempio 2: −x/2 < 3 e l’inversione del segno
Qui il coefficiente della x è negativo, e questo è il punto critico. Ci sono due strade corrette e entrambe portano allo stesso intervallo.
Prima strada: moltiplica i due membri per 2, che è positivo, quindi il verso non cambia: −x < 6. Poi moltiplica per −1, che è negativo, quindi il verso cambia: x > −6.
Seconda strada: moltiplica direttamente per −2. Essendo negativo, inverte la disuguaglianza nello stesso movimento: x > −6. È più rapido, ma richiede di non dimenticare l’inversione.
−x/2 < 3 → ×(−2) → x > −6
Verifica con x = 0: −0/2 = 0 < 3, è vera. Con x = −7: −(−7)/2 = 7/2 = 3,5, che non è minore di 3, quindi −7 resta fuori. L’estremo −6 non appartiene neppure, perché −(−6)/2 = 3 e 3 non è minore di 3; la disuguaglianza è stretta.
Prova: risolvi −2x/3 ≥ 4. Moltiplica per −3/2, che è negativo, e il verso ≥ diventa ≤: x ≤ 4 · (−3/2) = −6. L’intervallo è (−∞, −6].
Esempio 3: (2x − 1)/5 ≤ (x + 1)/3 dà x ≤ 8
I denominatori sono 5 e 3; mcm = 15. Moltiplica i due membri per 15. Le parentesi sono obbligatorie perché ogni numeratore è un binomio che va moltiplicato per intero:
15 · (2x − 1)/5 ≤ 15 · (x + 1)/3 3(2x − 1) ≤ 5(x + 1)
Sviluppa: 6x − 3 ≤ 5x + 5. Sottrai 5x: x − 3 ≤ 5. Aggiungi 3: x ≤ 8. L’intervallo è (−∞, 8], con la parentesi quadra in 8 perché il segno ≤ include l’estremo.
(2x − 1)/5 ≤ (x + 1)/3 → 6x − 3 ≤ 5x + 5 → x ≤ 8
Verifica con x = 8: (2 · 8 − 1)/5 = 15/5 = 3 e (8 + 1)/3 = 3; poiché 3 ≤ 3, è vera e l’estremo appartiene. Con x = 9: 17/5 = 3,4 e 10/3 ≈ 3,333; poiché 3,4 ≤ 3,333 è falso, 9 resta fuori.
Prova: risolvi (x − 1)/2 < (x + 2)/4. Moltiplica per 4: 2(x − 1) < x + 2; sviluppa: 2x − 2 < x + 2; sottrai x e aggiungi 2: x < 4. Intervallo (−∞, 4).
Confrontare due metodi sulla stessa disequazione
In (2x − 1)/5 ≤ (x + 1)/3 puoi moltiplicare per 15, come sopra, oppure trasformare i due quozienti in decimali. La via delle frazioni conserva il risultato esatto; quella dei decimali trascina approssimazioni. Con i decimali: (2x − 1)/5 = 0,4x − 0,2 e (x + 1)/3 ≈ 0,3333x + 0,3333; isolando, 0,0667x ≤ 0,5333 e x ≤ 8 circa. Il risultato coincide, ma l’ultima cifra non è più esatta.
Conviene mantenere le frazioni fino alla fine. L’unica conversione che si fa alla fine è in decimale o in linguaggio naturale, se serve. La calcolatrice di frazioni raccoglie le operazioni con valori esatti ed evita le approssimazioni intermedie.
Prova: risolvi (3x + 2)/4 ≥ x/2. Moltiplica per 4: 3x + 2 ≥ 2x; sottrai 2x: x + 2 ≥ 0; quindi x ≥ −2. Intervallo [−2, +∞), con la parentesi quadra perché il segno ≥ include l’estremo.
Esempio 4: disequazione doppia −1 < (x − 2)/3 ≤ 1/2
In una disuguaglianza doppia si opera sui tre membri contemporaneamente. Moltiplica i tre per 3, che è positivo, e l’ordine si mantiene:
3 · (−1) < 3 · (x − 2)/3 ≤ 3 · (1/2) −3 < x − 2 ≤ 3/2
Aggiungi 2 ai tre membri:
−3 + 2 < x − 2 + 2 ≤ 3/2 + 2 −1 < x ≤ 7/2
La soluzione è l’intervallo (−1, 7/2]: aperto in −1 perché il segno < esclude quell’estremo, e chiuso in 7/2 perché il segno ≤ lo include.
−1 < (x − 2)/3 ≤ 1/2 → −1 < x ≤ 7/2
Verifica con x = 0: (0 − 2)/3 = −2/3, e −1 < −2/3 ≤ 1/2 è vera. Con x = 4: (4 − 2)/3 = 2/3 ≈ 0,667, che supera 1/2, quindi 4 resta fuori. Con x = −1: (−1 − 2)/3 = −1, e −1 non è minore di −1, quindi l’estremo aperto è escluso.
Prova: risolvi 0 ≤ (x + 1)/2 < 3. Moltiplica i tre membri per 2: 0 ≤ x + 1 < 6; sottrai 1: −1 ≤ x < 5. Intervallo [−1, 5).
Esempio 5: x/2 + 1/3 ≥ x/4 + 5/6, con frazioni da entrambi i membri
Risolvi x/2 + 1/3 ≥ x/4 + 5/6. L’mcm di 2, 3, 4 e 6 è 12. Moltiplica tutti e quattro i termini per 12; poiché 12 è positivo, il verso ≥ si conserva:
12 · x/2 + 12 · 1/3 ≥ 12 · x/4 + 12 · 5/6 6x + 4 ≥ 3x + 10
Sottrai 3x: 3x + 4 ≥ 10. Sottrai 4: 3x ≥ 6. Dividi per 3, che è positivo, quindi il segno non cambia: x ≥ 2. L’intervallo è [2, +∞), chiuso in 2 perché il segno ≥ include l’estremo.
Verifica con x = 2: 2/2 + 1/3 = 1 + 1/3 = 4/3 e 2/4 + 5/6 = 1/2 + 5/6 = 8/6 = 4/3; poiché 4/3 ≥ 4/3, l’estremo appartiene. Con x = 1: 1/2 + 1/3 = 5/6 e 1/4 + 5/6 = 13/12; poiché 5/6 = 10/12 < 13/12, il valore 1 resta fuori.
Prova: risolvi x/3 + 1/4 ≤ x/6 + 3/4. Moltiplica per 12: 4x + 3 ≤ 2x + 9; sottrai 2x: 2x + 3 ≤ 9; sottrai 3: 2x ≤ 6; dividi per 2: x ≤ 3. L’intervallo è (−∞, 3].
Esempio 6: (4 − 3x)/2 < 5 richiede di dividere per un negativo
Risolvi (4 − 3x)/2 < 5. Moltiplica entrambi i membri per 2, che è positivo, quindi il verso < si conserva: 4 − 3x < 10. Sottrai 4: −3x < 6. Il coefficiente di x è −3; dividendo per −3, che è negativo, la disuguaglianza si inverte e il segno < diventa >: x > −2. L’intervallo è (−2, +∞).
Verifica con x = 0: (4 − 0)/2 = 2, e 2 < 5 vale. Con x = −3: (4 + 9)/2 = 13/2 = 6,5, che non è minore di 5, quindi −3 resta fuori. Anche l’estremo −2 non appartiene, perché (4 + 6)/2 = 5 e 5 non è minore di 5.
Prova: risolvi (1 − 2x)/3 ≥ 3. Moltiplica per 3: 1 − 2x ≥ 9; sottrai 1: −2x ≥ 8; dividi per −2, che è negativo, e inverti il verso: x ≤ −4. L’intervallo è (−∞, −4].
Esempio 7: disequazione tripla −2 ≤ (3x + 1)/4 < 1
In una disequazione tripla si opera su tutti e tre i membri insieme. Moltiplica tutti e tre per 4, che è positivo, quindi entrambi i segni si conservano:
4 · (−2) ≤ 4 · (3x + 1)/4 < 4 · 1 −8 ≤ 3x + 1 < 4
Sottrai 1 a tutti e tre i membri: −9 ≤ 3x < 3. Dividi tutti e tre per 3, che è positivo, e l’ordine non cambia: −3 ≤ x < 1. Il risultato è l’intervallo [−3, 1): chiuso in −3 perché il segno ≤ lo include, e aperto in 1 perché il segno < lo esclude.
Verifica con x = 0: (3 · 0 + 1)/4 = 1/4, e −2 ≤ 1/4 < 1 vale. Con x = −3: (3 · (−3) + 1)/4 = −8/4 = −2, e −2 ≤ −2 < 1 vale, quindi l’estremo sinistro appartiene. Con x = 1: (3 · 1 + 1)/4 = 4/4 = 1, e 1 < 1 è falso, quindi 1 resta fuori.
Prova: risolvi 1 < (2x − 3)/5 ≤ 3. Moltiplica per 5: 5 < 2x − 3 ≤ 15; aggiungi 3: 8 < 2x ≤ 18; dividi per 2: 4 < x ≤ 9. L’intervallo è (4, 9].
Una disequazione con frazioni può non avere soluzione?
Sì. Se l’incognita scompare durante l’isolamento e resta una disuguaglianza falsa, nessun valore la soddisfa e l’insieme delle soluzioni è vuoto, scritto ∅. Il caso compare quando i due membri hanno lo stesso coefficiente di x e il termine costante rompe il confronto.
Risolvi (x + 1)/3 > (x + 4)/3. Il denominatore è comune, quindi moltiplica per 3: x + 1 > x + 4. Sottrai x da entrambi i membri e l’incognita scompare: 1 > 4. Questa affermazione è falsa per ogni x, quindi la disequazione non ha soluzione. Un valore di prova conferma la diagnosi: con x = 0, (0 + 1)/3 = 1/3 e (0 + 4)/3 = 4/3, e 1/3 > 4/3 è falso.
Esiste anche il caso opposto. In (x + 4)/3 > (x + 1)/3 si arriva a 4 > 1, vero per ogni x, quindi la soluzione è l’insieme di tutti i numeri reali, (−∞, +∞). Se si sostituisce x con un valore concreto nelle due espressioni, lo strumento per confrontare le frazioni confronta le due frazioni numeriche ottenute con i prodotti in croce.
Quale tabella di valori di prova conferma l’intervallo?
Una tabella con un valore dentro e uno fuori da ogni soluzione individua quasi tutti gli errori di segno. Sostituisci sempre nella disequazione originale, non in quella semplificata.
| Disequazione | Soluzione | Valore interno | Valore esterno |
|---|---|---|---|
| x/3 − 1/2 > x/4 | x > 6 | x = 7 (11/6 > 7/4) | x = 0 (−1/2 > 0, falso) |
| −x/2 < 3 | x > −6 | x = 0 (0 < 3) | x = −7 (7/2 < 3, falso) |
| (2x − 1)/5 ≤ (x + 1)/3 | x ≤ 8 | x = 8 (3 ≤ 3) | x = 9 (17/5 ≤ 10/3, falso) |
| −1 < (x − 2)/3 ≤ 1/2 | −1 < x ≤ 7/2 | x = 0 (−1 < −2/3 ≤ 1/2) | x = 4 (2/3 ≤ 1/2, falso) |
La tabella seguente collega ogni segno al tipo di estremo e all’intervallo che produce. È una traduzione da controllare nello scrivere la risposta.
| Disuguaglianza | Estremo | Notazione di intervallo | Valore di prova utile |
|---|---|---|---|
| x > 6 | aperto | (6, +∞) | x = 7 |
| x ≥ 6 | chiuso | [6, +∞) | x = 6 |
| x < 8 | aperto | (−∞, 8) | x = 0 |
| x ≤ 8 | chiuso | (−∞, 8] | x = 8 |
| −1 < x ≤ 7/2 | misto | (−1, 7/2] | x = 0 |
Un esempio con l’incognita da entrambi i membri e parentesi
Risolvi (3x + 1)/2 > (x − 2)/3. Il mcm di 2 e 3 è 6; poiché 6 è positivo, moltiplica i due membri e il verso non cambia:
6 · (3x + 1)/2 > 6 · (x − 2)/3 3(3x + 1) > 2(x − 2)
Sviluppa le parentesi: 9x + 3 > 2x − 4. Sottrai 2x: 7x + 3 > −4. Sottrai 3: 7x > −7. Dividi per 7, che è positivo: x > −1. L’intervallo è (−1, +∞).
Verifica. Con x = 0: (3 · 0 + 1)/2 = 1/2 e (0 − 2)/3 = −2/3; poiché 1/2 > −2/3, vale. Con x = −1: (3 · (−1) + 1)/2 = −1 e (−1 − 2)/3 = −1; poiché −1 > −1 è falso, l’estremo aperto è escluso.
Il termine che non ha frazione
I termini senza denominatore, come il 3 in −x/2 < 3 o l’1 in x/2 + 1 > x/3, si scrivono su 1 prima di moltiplicare. Il 3 diventa 3/1 e l’1 diventa 1/1; moltiplicando per l’mcm, quel numero viene moltiplicato come gli altri. Dimenticarlo è una delle cause più comuni di risposte sbagliate, perché un termine fuori dal multiplo rompe l’equivalenza tra le due disuguaglianze.
Se il termine è negativo, come −1/2 in x/3 − 1/2 > x/4, viene moltiplicato anche lui. Con l’mcm 12, −1/2 diventa −6. Il segno negativo si conserva nella moltiplicazione perché 12 è positivo; il verso della disuguaglianza cambierebbe solo se si moltiplicasse per un numero negativo.
La verifica che tutti i termini siano entrati è semplice: dopo la moltiplicazione non deve restare nessun denominatore. Se ne resta uno, il suo termine non è stato amplificato. La guida con esercizi di frazioni svolti raccoglie altre operazioni di questo tipo con il passaggio intermedio scritto.
Perché il segno si inverte moltiplicando per un negativo?
Perché moltiplicare per un numero negativo riflette tutti i numeri rispetto allo zero sulla retta numerica, e quella riflessione inverte l’ordine. Prima della riflessione, 2 < 5; dopo aver moltiplicato per −1, −2 > −5. I numeri che erano a destra passano a sinistra, e ciò che era minore diventa maggiore.
Con le frazioni succede lo stesso. In −x/2 < 3, moltiplicare per −2 trasforma il membro di sinistra in x e quello di destra in −6; poiché l’operazione è una riflessione, il segno < diventa >. Per questo il risultato è x > −6 e non x < −6. Lo strumento per confrontare le frazioni mostra quell’ordine quando i valori sono frazioni.
La regola si può riassumere così: sommare o sottrarre lo stesso numero non cambia l’ordine; moltiplicare o dividere per un numero maggiore di zero non lo cambia neppure; moltiplicare o dividere per un numero minore di zero lo cambia. La retta numerica delle frazioni mostra perché la riflessione altera la posizione relativa.
Perché la riflessione inverte l’ordine con le frazioni?
La retta numerica aiuta a vederlo. La disuguaglianza 1/4 < 1/3 è vera perché 1/4 = 3/12 e 1/3 = 4/12, e 3/12 sta a sinistra di 4/12. Se moltiplichi entrambi i membri per −1, l’ordine si inverte del tutto: −1/4 > −1/3, perché −1/4 = −3/12 e −1/3 = −4/12, e −3/12 sta a destra di −4/12. Moltiplicare per −1 cambia il segno di ogni numero e lo porta dalla parte opposta dello zero.
Un denominatore negativo si normalizza prima di operare: x/(−3) > 2 si scrive −x/3 > 2. Moltiplicando per −3, che è negativo, il verso cambia e il risultato è x < −6. Verifica con x = −7: (−7)/(−3) = 7/3 ≈ 2,333, che è maggiore di 2; con x = −5: (−5)/(−3) = 5/3 ≈ 1,667, che non supera 2.
Un esempio con coefficiente frazionario negativo
Risolvi −3x/4 + 1 > −2. Sottrai 1 da entrambi i membri: −3x/4 > −3. Moltiplica per −4/3, che è negativo, quindi il verso cambia: x < (−3) · (−4/3) = 4. L’intervallo è (−∞, 4).
Verifica. Con x = 0: −3 · 0/4 + 1 = 1, e 1 > −2 vale. Con x = 5: −15/4 + 1 = −11/4 = −2,75, che non è maggiore di −2, quindi 5 resta fuori.
Perché il minimo comune multiplo funziona?
Moltiplicare ogni termine per l’mcm non cambia l’insieme delle soluzioni perché l’mcm è un numero positivo. Moltiplicare una disuguaglianza per una quantità positiva è come misurare la stessa retta con una scala più fine: la distanza può essere scritta con numeri diversi, ma l’ordine tra i punti non cambia. Se 1/3 sta a sinistra di 1/2, dopo aver moltiplicato entrambi per 12, i valori 4 e 6 mantengono la stessa relazione: 4 < 6.
L’mcm è il numero più piccolo che contiene ogni denominatore come divisore. Per questo, dopo la moltiplicazione, ogni frazione diventa un intero esatto e tutte le divisioni spariscono. Se al posto dell’mcm usi un altro multiplo comune, il metodo funziona ugualmente, ma i numeri crescono e le occasioni di errore aumentano. Il prodotto dei denominatori è sempre un multiplo comune, anche se non sempre il più piccolo: con 4 e 6 il prodotto è 24, ma l’mcm è 12.
Una condizione non cambia: il moltiplicatore deve essere positivo. Se fosse negativo, l’mcm invertirebbe il verso e la nuova disuguaglianza non avrebbe le stesse soluzioni. Poiché il minimo comune multiplo di numeri positivi è sempre positivo, moltiplicare per esso è sicuro.
Conviene non confondere l’mcm con il minimo comune denominatore, che è l’mcm applicato ai denominatori delle frazioni. In questo metodo lo stesso numero porta le due etichette: il minimo comune multiplo dei denominatori è anche il minimo comune denominatore. Lo strumento per il minimo comune denominatore calcola entrambi e mostra le frazioni equivalenti.
Errori frequenti e come correggerli
Questi sono gli errori che compaiono spesso nelle disequazioni con frazioni. Ognuno è individuato dalla verifica finale.
- Dimenticare l’inversione del segno. Moltiplicando o dividendo per un numero negativo, il verso cambia. In −x/2 < 3 il risultato corretto è x > −6; scrivere x < −6 è un errore costoso. Controlla il segno del coefficiente prima di chiudere la risposta.
- Moltiplicare solo alcuni termini. Per amplificare x/3 − 1/2 > x/4, va moltiplicato anche −1/2. Se resta intatto, la disuguaglianza non è più equivalente. Segna ogni termine prima di operare.
- Confondere parentesi tonde e quadre. x > 6 si scrive (6, +∞) e x ≤ 8 si scrive (−∞, 8]. Cambiare il tipo di estremo altera l’insieme delle soluzioni anche se il numero è lo stesso.
- Sommare i denominatori nell’amplificare. Unendo le frazioni non si sommano i denominatori: 1/2 + 1/3 = 5/6, non 2/5. L’errore è spiegato nella guida sul perché non si sommano i denominatori.
- Non verificare nessun valore. Un valore di prova dentro l’intervallo può smascherare un’inversione dimenticata, ma un solo valore non dimostra l’intero intervallo. Lascia la verifica alla fine, ma non saltarla.
- Usare l’mcm di due denominatori. Se ci sono tre denominatori, il multiplo deve coprirli tutti; mcm(3, 2, 4) = 12 e non 6.
Variazioni: parentesi, doppie e coefficienti negativi
Il metodo in cinque passi si adatta a diversi modi di scrivere la stessa disequazione. Queste sono variazioni comuni.
- Incognita nei due membri. Raggruppa le x dal lato con il coefficiente maggiore per evitare i negativi: in 5x/3 − 2 < x/3 + 4, moltiplicando per 3 si ottiene 5x − 6 < x + 12 e quindi x < 9/2.
- Coefficiente frazionario negativo. Moltiplica per il reciproco negativo e inverti il segno. Da −2x/3 ≥ 4 si ricava x ≤ −6.
- Parentesi nel numeratore. Moltiplica l’intero binomio per l’mcm, con le parentesi: 3(2x − 1) ≤ 5(x + 1). Omettere la parentesi cambia il risultato.
- Disuguaglianza doppia. Opera sui tre membri e il tipo di estremo può essere diverso su ciascun lato, come in (−1, 7/2].
- Coefficienti decimali. Trasformali in frazioni prima di iniziare: 0,5x < 3 è x/2 < 3 e dà x < 6.
Quando due disequazioni riguardano la stessa incognita, si risolvono come un sistema. La guida sui sistemi di equazioni con frazioni mostra la stessa idea di combinare due condizioni, applicata a uguaglianze con due incognite.
Dalla disequazione alla frase: leggere il risultato
L’intervallo non è solo notazione: è una condizione che si può leggere ad alta voce. La soluzione (−∞, 8] si legge «tutti i numeri minori o uguali a 8». L’intervallo (6, +∞) si legge «tutti i numeri maggiori di 6». E (−1, 7/2] si legge «tutti i numeri maggiori di −1 e minori o uguali a 7/2».
Leggere il risultato aiuta a individuare un errore di segno, perché la frase deve concordare con il problema. Se l’enunciato chiede «i valori che rendono vera la disuguaglianza» e l’intervallo risulta (6, +∞), qualunque numero maggiore di 6 deve soddisfarla. Se l’intervallo fosse (−∞, 6), basterebbe provare x = 0 per notare che la soluzione non si adatta alla disequazione.
Nel tradurre una disequazione in un enunciato reale, conviene inoltre controllare che i valori abbiano senso nel contesto. Un numero negativo può essere una soluzione algebrica valida e, allo stesso tempo, non rappresentare una quantità ammissibile se l’incognita misura un prezzo, una lunghezza o un numero di persone.
Limiti: disequazioni razionali e oltre
Questo metodo vale per le disequazioni lineari con coefficienti numerici. Se l’incognita compare al denominatore, come in 1/(x − 2) < 4, moltiplicare per l’mcm non basta più: bisogna studiare il segno del numeratore e del denominatore, escludere i valori che annullano il denominatore e costruire una tabella dei segni. Quel caso è una disequazione razionale, fuori dall’ambito di questa guida, ed è spiegato nella guida sulle frazioni algebriche e il dominio.
Non copre neppure le disequazioni di secondo grado, dove compaiono potenze come x²: lì si fattorizza e si studia il segno per intervalli. E se il problema mescola due condizioni sulla stessa incognita, si risolve come un sistema, non come una sola disequazione.
Nel suo ambito, il consiglio è sempre lo stesso: eliminare i denominatori con l’mcm, sorvegliare il segno moltiplicando o dividendo, scrivere l’intervallo e verificare con un valore di prova. Quest’ordine evita gli errori di segno, che sono una causa frequente delle risposte sbagliate.
Quando l’enunciato chiede un numero, non un intervallo
Alcuni problemi non chiedono l’intervallo completo, ma un dato concreto che ne deriva. Per esempio, «qual è il più grande numero intero che soddisfa x ≤ 8?». La risposta è 8, non 7, perché l’estremo è incluso dal segno ≤; se la disuguaglianza fosse x < 8, il più grande intero sarebbe 7. L’intervallo risolve la parte algebrica e poi va letto con attenzione per rispondere alla domanda esatta.
La stessa attenzione serve per il valore più piccolo di un intervallo limitato dal basso. In x > −6, il più piccolo intero che soddisfa la condizione è −5, non −6, perché −6 è escluso. In x ≥ −6, il più piccolo intero è davvero −6. La differenza tra < e ≤ decide la risposta, anche se il numero scritto è lo stesso.
Nelle disuguaglianze doppie la lettura si fa dai due estremi. Da −1 < x ≤ 7/2 si deduce che gli interi che soddisfano la condizione sono 0, 1, 2 e 3. Il valore 7/2 = 3,5 segna il limite superiore incluso, e il più grande intero ammissibile è 3. Il −1 resta fuori e il primo intero valido è 0.
Verifica finale: tre domande prima di chiudere
Prima di considerare risolta una disequazione con frazioni, rispondi a tre domande rapide. Prima: il moltiplicatore che ho usato era positivo? Se era negativo, ho invertito il verso e una sola volta? Seconda: ho moltiplicato tutti i termini, compresi quelli senza denominatore? Terza: l’intervallo usa la parentesi tonda o quadra a ogni estremo secondo il segno <, >, ≤ o ≥?
Le tre domande coprono gli errori frequenti e non richiedono di rifare l’esercizio. Poi una sostituzione numerica dentro l’intervallo serve da controllo. Se il valore di prova non soddisfa la disequazione originale, la soluzione è sbagliata e occorre rivedere l’inversione del segno prima di qualunque altra cosa; se la soddisfa, il risultato è coerente, ma un solo valore non dimostra l’intero intervallo.
In una disuguaglianza doppia il controllo è un po’ più ampio, perché i due estremi possono avere segni diversi. Verifica un valore interno e verifica separatamente che ogni estremo cada dentro o fuori secondo il caso. In (−1, 7/2], il valore x = 0 cade dentro, x = −1 cade fuori a sinistra e x = 4 cade fuori a destra; tre sostituzioni danno un controllo solido dell’intervallo, ma non sostituiscono il procedimento algebrico.
Le disequazioni con frazioni si risolvono nello stesso ordine delle equazioni, più una regola che decide il risultato: moltiplicando o dividendo per un numero negativo, il verso della disuguaglianza si inverte. Con l’mcm, l’intervallo giusto e un valore di prova, gli errori di segno smettono di comparire. Per continuare a esercitarsi, il hub dei contenuti avanzati raccoglie le guide correlate, e in esercitarsi con le frazioni puoi controllare le tue risposte.