Para resolver uma inequação com frações, multiplique todos os termos pelo MMC dos denominadores, isole x e escreva o intervalo. Se multiplicar ou dividir por um negativo, o sentido se inverte. Assim, x/3 − 1/2 > x/4 dá x > 6, ou seja, o intervalo (6, +∞).
O método é o das equações com frações, com uma regra a mais: numa igualdade o sinal nunca muda, e numa desigualdade pode mudar. Para resolver duas equações ao mesmo tempo, veja os sistemas de equações com frações.
| Operação nos dois lados | O sentido | Exemplo |
|---|---|---|
| Somar ou subtrair qualquer número | Se conserva | x − 6 > 0 passa a x > 6 |
| Multiplicar ou dividir por um positivo | Se conserva | x/5 ≤ 2 passa a x ≤ 10 |
| Multiplicar ou dividir por um negativo | Se inverte | −3x ≥ 12 passa a x ≤ −4 |
Só a última linha muda o sinal, e por isso os erros se concentram ali. Com o MMC dos denominadores, que é sempre positivo, tirar as frações nunca inverte nada.
Exemplo resolvido: x/3 − 1/2 > x/4
Encontre todos os valores de x que satisfazem a desigualdade e escreva-os como intervalo.
- Calcule o MMC. Os denominadores são 3, 2 e 4, e o MMC deles é 12.
- Multiplique cada termo por 12. Como 12 é positivo, o sinal fica como está: 4x − 6 > 3x.
- Agrupe os x. Subtraia 3x dos dois lados: x − 6 > 0.
- Isole. Some 6 e fica x > 6.
- Escreva o intervalo. É (6, +∞), com parêntese em 6 porque a desigualdade é estrita.
Resultado: x > 6, em intervalo (6, +∞).
Conferência: com x = 7, o lado esquerdo vale 7/3 − 1/2 = 11/6 = 22/12 e o direito 7/4 = 21/12, então a desigualdade vale. Com x = 6 os dois lados valem 3/2, e por isso o 6 não entra.
O extremo é o valor em que os dois lados se igualam. Aqui é 6, porque 4x − 6 = 3x só vale com x = 6.
Um coeficiente negativo inverte o sinal
Quando o x tem coeficiente negativo, é preciso dividir por um negativo para deixá-lo sozinho. É o único passo que muda o sentido, e é a propriedade registrada pela Wikipédia em espanhol em “Desigualdad matemática”, seção “Multiplicación y división”: se c é negativo e a < b, então ac > bc (consultado em 17 de outubro de 2026).
Tome −x/5 < 2. Multiplique por −5: o sentido passa de < para > e fica x > −10, ou seja, (−10, +∞). O extremo −10 não pertence: −(−10)/5 vale 2, e 2 não é menor que 2.
Um valor de teste dentro do intervalo detecta quase sempre esse erro. Não prova o intervalo inteiro, mas, se falhar, o resultado está errado com certeza. O guia para verificar resultados reúne outras conferências.
Uma inequação dupla se resolve de uma só vez
Uma desigualdade como −1 < (x − 2)/3 ≤ 5/6 tem a expressão no meio e dois limites. Faz-se a mesma operação nas três partes. Multiplique por 3, que é positivo: −3 < x − 2 ≤ 5/2. Some 2 nas três partes: −1 < x ≤ 9/2. O intervalo é (−1, 9/2], com parêntese em −1 e colchete em 9/2 = 4,5.
Se o multiplicador fosse negativo, seria preciso inverter os dois sinais e ainda trocar os limites, para que o número menor fique à esquerda.
Como conferir o intervalo com valores de teste
Escolha um valor dentro e dois fora, um de cada lado, e substitua-os na inequação original. Na dupla, os resultados são estes.
| x | (x − 2)/3 | Satisfaz −1 < … ≤ 5/6? |
|---|---|---|
| −1 | −1 | Não, o extremo −1 está excluído |
| 0 | −2/3 | Sim |
| 9/2 | 5/6 | Sim, o extremo 9/2 está incluído |
| 5 | 1 | Não, passa de 5/6 |
A tabela confirma as duas fronteiras: um valor dentro satisfaz, um fora não, e cada extremo entra ou não conforme seja ≤ ou <. Na reta numérica o intervalo se desenha com uma bolinha vazia em −1 e uma cheia em 9/2.
Os intervalos se escrevem assim: < e > levam parêntese, ≤ e ≥ levam colchete, e o infinito sempre leva parêntese. Para um MMC de mais de dois números, a calculadora do mínimo múltiplo comum o dá diretamente, e a de mínimo denominador comum devolve as frações já ampliadas.
Pratique
- Resolva x/4 − 1 ≤ x/6.
- Resolva −3x/4 > 6.
- Resolva (x + 1)/2 < (x − 1)/3.
- Resolva 0 ≤ (2x + 1)/3 < 1.
Ver as respostas
- MMC 12: 3x − 12 ≤ 2x, então x ≤ 12. Intervalo (−∞, 12].
- Multiplique por −4/3, um negativo, e o sentido muda: x < −8. Intervalo (−∞, −8).
- MMC 6: 3x + 3 < 2x − 2, então x < −5. Intervalo (−∞, −5).
- Multiplique por 3: 0 ≤ 2x + 1 < 3. Subtraia 1: −1 ≤ 2x < 2. Divida por 2: −1/2 ≤ x < 1. Intervalo [−1/2, 1).
Quando o x aparece num denominador, o encaminhamento é outro; a primeira pergunta abaixo explica. Para seguir com álgebra de frações, a página avançadas reúne os guias do bloco, e em praticar frações dá para exercitar o cálculo com frações.