Pertidaksamaan dengan pecahan: menyelesaikan tanpa salah tanda

calculadorafracciones.com · https://calculadorafracciones.com/id/panduan/pertidaksamaan-dengan-pecahan/

Menyelesaikan pertidaksamaan dengan pecahan berarti menghilangkan penyebut, mengisolasi variabel yang belum diketahui, dan menulis solusinya sebagai interval. Langkah yang menentukan hasilnya adalah aturan tanda: mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif membalik arah pertidaksamaan. Dengan kelipatan persekutuan terkecil, satu pemeriksaan, dan garis bilangan, kesalahan tanda hilang.

Prosedurnya berbagi mekanisme dengan persamaan pecahan, tetapi menambah satu aturan yang tidak dimiliki persamaan: pertidaksamaan dapat berubah arah. Karena itu, selesaikan dulu, awasi tandanya, lalu periksa dengan nilai uji.

Pertidaksamaan adalah ketaksamaan dengan satu bilangan tak diketahui. Jawabannya bukan satu bilangan, melainkan himpunan nilai, sehingga ditulis dengan lebih besar dari, lebih kecil dari, atau notasi interval.

Yang penting

• Untuk menghilangkan penyebut, kalikan setiap suku dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut-penyebutnya.
• Mengalikan atau membagi dengan bilangan positif mempertahankan arah pertidaksamaan.
• Mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif membalik arah; inilah aturan tanda yang diterapkan pada urutan.
• Tanda < dan > membuat ujungnya terbuka; ≤ dan ≥ membuatnya tertutup.
• Hasilnya ditulis sebagai interval dan digambar pada garis bilangan.
• Nilai uji di dalam interval bisa membongkar solusi yang salah, tetapi satu nilai saja tidak membuktikannya; ujung terbuka tidak boleh dipakai sebagai nilai uji.

Persamaan dan pertidaksamaan: perbedaan yang mengubah hasil

Persamaan pecahan dan pertidaksamaan pecahan berbagi dua langkah pertama: mencari kelipatan persekutuan terkecil dan mengalikan setiap suku untuk menghilangkan penyebut. Perbedaannya muncul di akhir. Pada persamaan, jawabannya satu bilangan atau himpunan bilangan yang berhingga; pada pertidaksamaan, jawabannya interval dengan tak hingga nilai. Selain itu, persamaan tidak pernah berubah arah, sedangkan pertidaksamaan bisa terbalik.

Baris terakhir menunjukkan bahwa satu perubahan tanda memisahkan x = 6 dari x > 6. Kedekatan itulah alasan pertidaksamaan memerlukan prosedur sendiri, bukan persamaan yang tandanya diganti di akhir.

Bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan pecahan dalam lima langkah?

Pertidaksamaan linear dengan koefisien berbentuk pecahan diselesaikan seperti persamaan, dengan kewaspadaan ekstra pada tandanya. Ringkasannya adalah daftar berurutan ini:

1. Cari kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut-penyebutnya.
2. Kalikan kedua ruas dengan kelipatan itu untuk menghilangkan pecahan.
3. Selesaikan pertidaksamaan hasilnya, balikkan arahnya jika dikalikan atau dibagi bilangan negatif.
4. Isolasi variabel yang belum diketahui.
5. Tulis interval dan periksa dengan nilai uji.

Langkah 1: tulis suku-suku dengan penyebut yang sama

Temukan semua penyebut dan hitung kelipatan persekutuan terkecil-nya. Pada x/3 − 1/2 > x/4 penyebutnya 3, 2, dan 4, dan KPK(3, 2, 4) = 12. Alat penyebut persekutuan terkecil mengembalikan KPK dan pecahan yang diperbesar.

Titik kontrol: setiap pecahan dapat ditulis di atas 12 tanpa mengubah nilainya: x/3 = 4x/12, 1/2 = 6/12, dan x/4 = 3x/12.

Kesalahan umum di langkah ini: menghitung KPK hanya dari dua penyebut dan melupakan yang ketiga. Jika sebuah suku tidak punya penyebut, seperti 3 pada −x/2 < 3, tulis sebagai 3/1 sebelum mencari kelipatannya.

Langkah 2: kalikan kedua ruas dengan kelipatan persekutuan terkecil

Kalikan setiap suku di kedua ruas dengan 12. Karena 12 positif, arah > tidak berubah:

12 · (x/3) − 12 · (1/2) > 12 · (x/4) 4x − 6 > 3x

Titik kontrol: setelah dikalikan, tidak ada penyebut yang tersisa.

Kesalahan umum: mengalikan hanya suku pertama dan membiarkan −1/2 tanpa diperbesar. Maka pertidaksamaan tidak lagi setara dengan yang asli.

Langkah 3: selesaikan pertidaksamaan (dan awasi tandanya)

Kumpulkan suku x di satu ruas dan bilangan di ruas lain. Kurangi 3x di kedua ruas, tersisa x − 6 > 0, yaitu x > 6. Aturan tanda berperan ketika kamu mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif: saat itu pertidaksamaan terbalik. Jika bilangannya positif, arahnya tetap.

Titik kontrol: periksa tanda koefisien yang mengalikan x. Jika negatif, arahnya harus sudah berubah.

Kesalahan umum: membalik padahal tidak perlu. Menambah atau mengurangi suku tidak pernah membalik apa pun; hanya perkalian atau pembagian dengan bilangan negatif yang melakukannya.

Langkah 4: isolasi variabel yang belum diketahui

Biarkan x sendiri. Jika koefisien yang mengalikannya berbentuk pecahan, kalikan dengan kebalikannya. Misalnya, (2/5)x ≤ 4 menjadi x ≤ 4 · 5/2 = 10. Karena 5/2 positif, arah ≤ tetap.

Titik kontrol: x tersisa dengan koefisien 1 dan hasilnya interval, bukan satu bilangan terpisah.

Kesalahan umum: menukar kebalikan 5/2 dengan −5/2 dan mengubah arah tanpa alasan.

Langkah 5: tulis interval dan periksa sebuah nilai

Terjemahkan solusi ke notasi interval. Tanda < atau > membuat ujungnya terbuka, dengan kurung biasa; tanda ≤ atau ≥ membuatnya tertutup, dengan kurung siku. Jadi, x > 6 adalah (6, +∞) dan x ≤ 8 adalah (−∞, 8]. Pilih nilai di dalam interval, substitusikan ke pertidaksamaan asli, dan periksa bahwa nilainya berlaku. Panduan memeriksa jawaban pecahan mengumpulkan pemeriksaan lain.

Titik kontrol: nilai uji memenuhi pertidaksamaan asli, bukan hanya versi yang disederhanakan.

Kesalahan umum: memakai bilangan yang sama dengan ujungnya. Pada x > 6, menguji dengan 6 tidak berguna: itu batasnya dan tidak termasuk solusi.

Contoh 1: x/3 − 1/2 > x/4 menghasilkan x > 6

Selesaikan x/3 − 1/2 > x/4. Penyebutnya 3, 2, dan 4; KPK = 12. Kalikan ketiga suku dengan 12, yang positif, jadi tandanya tidak berubah:

12 · x/3 − 12 · 1/2 > 12 · x/4 4x − 6 > 3x

Kurangi 3x di kedua ruas: x − 6 > 0. Tambah 6: x > 6. Intervalnya (6, +∞), dengan kurung biasa di 6 karena pertidaksamaannya tegas, dan kurung biasa di +∞ karena tak hingga tidak pernah disertakan.

Periksa dengan x = 7: 7/3 − 1/2 = 14/6 − 3/6 = 11/6 dan x/4 = 7/4 = 10,5/6; karena 11/6 > 10,5/6, nilainya berlaku. Dengan x = 0, ruas kiri bernilai −1/2 dan ruas kanan 0, jadi 0 di luar.

Coba: selesaikan x/2 + 1 > x/3. Kalikan ketiga suku dengan 6: 3x + 6 > 2x; kurangi 2x: x + 6 > 0; kurangi 6: x > −6. Intervalnya (−6, +∞).

Contoh 2: −x/2 < 3 dan pembalikan tanda

Di sini koefisien x negatif, dan itulah titik kritisnya. Ada dua jalan yang benar dan keduanya sampai ke interval yang sama.

Jalan pertama: kalikan kedua ruas dengan 2, yang positif, jadi arahnya tidak berubah: −x < 6. Lalu kalikan dengan −1, yang negatif, jadi arahnya berubah: x > −6.

Jalan kedua: kalikan langsung dengan −2. Karena negatif, ia membalik pertidaksamaan dalam satu gerakan: x > −6. Lebih cepat, tetapi menuntut tidak melupakan pembalikannya.

Periksa dengan x = 0: −0/2 = 0 < 3, berlaku. Dengan x = −7: −(−7)/2 = 7/2 = 3,5, yang tidak kurang dari 3, jadi −7 di luar. Ujung −6 juga tidak termasuk, karena −(−6)/2 = 3 dan 3 tidak kurang dari 3; pertidaksamaannya tegas.

Coba: selesaikan −2x/3 ≥ 4. Kalikan dengan −3/2, yang negatif, dan arah ≥ menjadi ≤: x ≤ 4 · (−3/2) = −6. Intervalnya (−∞, −6].

Contoh 3: (2x − 1)/5 ≤ (x + 1)/3 menghasilkan x ≤ 8

Penyebutnya 5 dan 3; KPK = 15. Kalikan kedua ruas dengan 15. Tanda kurung wajib karena setiap pembilang adalah binomial yang harus dikalikan utuh:

15 · (2x − 1)/5 ≤ 15 · (x + 1)/3 3(2x − 1) ≤ 5(x + 1)

Jabarkan: 6x − 3 ≤ 5x + 5. Kurangi 5x: x − 3 ≤ 5. Tambah 3: x ≤ 8. Intervalnya (−∞, 8], dengan kurung siku di 8 karena tanda ≤ menyertakan ujungnya.

Periksa dengan x = 8: (2 · 8 − 1)/5 = 15/5 = 3 dan (8 + 1)/3 = 3; karena 3 ≤ 3, nilainya berlaku dan ujungnya termasuk. Dengan x = 9: 17/5 = 3,4 dan 10/3 ≈ 3,333; karena 3,4 ≤ 3,333 salah, 9 di luar.

Coba: selesaikan (x − 1)/2 < (x + 2)/4. Kalikan dengan 4: 2(x − 1) < x + 2; jabarkan: 2x − 2 < x + 2; kurangi x dan tambah 2: x < 4. Interval (−∞, 4).

Membandingkan dua metode pada pertidaksamaan yang sama

Pada (2x − 1)/5 ≤ (x + 1)/3 kamu dapat mengalikan dengan 15, seperti di atas, atau mengubah kedua hasil bagi menjadi desimal. Jalur pecahan menjaga hasil tetap eksak; jalur desimal membawa pendekatan. Dengan desimal: (2x − 1)/5 = 0,4x − 0,2 dan (x + 1)/3 ≈ 0,3333x + 0,3333; saat diisolasi, 0,0667x ≤ 0,5333 dan x ≤ 8 kira-kira. Hasilnya cocok, tetapi angka terakhirnya tidak lagi eksak.

Karena itu pertahankan pecahan sampai akhir. Satu-satunya konversi di akhir adalah ke desimal atau ke bahasa sehari-hari, jika perlu. Kalkulator pecahan memusatkan operasi dengan nilai eksak dan menghindari pendekatan di tengah.

Coba: selesaikan (3x + 2)/4 ≥ x/2. Kalikan dengan 4: 3x + 2 ≥ 2x; kurangi 2x: x + 2 ≥ 0; maka x ≥ −2. Interval [−2, +∞), dengan kurung siku karena tanda ≥ menyertakan ujungnya.

Contoh 4: pertidaksamaan ganda −1 < (x − 2)/3 ≤ 1/2

Pada pertidaksamaan ganda, operasikan ketiga ruas sekaligus. Kalikan ketiganya dengan 3, yang positif, dan urutannya tetap:

3 · (−1) < 3 · (x − 2)/3 ≤ 3 · (1/2) −3 < x − 2 ≤ 3/2

Tambah 2 pada ketiga ruas:

−3 + 2 < x − 2 + 2 ≤ 3/2 + 2 −1 < x ≤ 7/2

Solusinya interval (−1, 7/2]: terbuka di −1 karena tanda < mengecualikan ujung itu, dan tertutup di 7/2 karena tanda ≤ menyertakannya.

Periksa dengan x = 0: (0 − 2)/3 = −2/3, dan −1 < −2/3 ≤ 1/2 berlaku. Dengan x = 4: (4 − 2)/3 = 2/3 ≈ 0,667, yang melebihi 1/2, jadi 4 di luar. Dengan x = −1: (−1 − 2)/3 = −1, dan −1 tidak kurang dari −1, sehingga ujung terbukanya dikecualikan.

Coba: selesaikan 0 ≤ (x + 1)/2 < 3. Kalikan ketiga ruas dengan 2: 0 ≤ x + 1 < 6; kurangi 1: −1 ≤ x < 5. Interval [−1, 5).

Contoh 5: x/2 + 1/3 ≥ x/4 + 5/6, dengan pecahan di kedua ruas

Selesaikan x/2 + 1/3 ≥ x/4 + 5/6. KPK dari 2, 3, 4 dan 6 adalah 12. Kalikan keempat suku dengan 12; karena 12 positif, arah ≥ tetap:

12 · x/2 + 12 · 1/3 ≥ 12 · x/4 + 12 · 5/6 6x + 4 ≥ 3x + 10

Kurangi 3x: 3x + 4 ≥ 10. Kurangi 4: 3x ≥ 6. Bagi dengan 3, yang positif, sehingga tandanya tidak berubah: x ≥ 2. Intervalnya [2, +∞), tertutup di 2 karena tanda ≥ menyertakan ujungnya.

Periksa dengan x = 2: 2/2 + 1/3 = 1 + 1/3 = 4/3 dan 2/4 + 5/6 = 1/2 + 5/6 = 8/6 = 4/3; karena 4/3 ≥ 4/3, ujungnya termasuk. Dengan x = 1: 1/2 + 1/3 = 5/6 dan 1/4 + 5/6 = 13/12; karena 5/6 = 10/12 < 13/12, nilai 1 di luar.

Coba: selesaikan x/3 + 1/4 ≤ x/6 + 3/4. Kalikan dengan 12: 4x + 3 ≤ 2x + 9; kurangi 2x: 2x + 3 ≤ 9; kurangi 3: 2x ≤ 6; bagi dengan 2: x ≤ 3. Intervalnya (−∞, 3].

Contoh 6: (4 − 3x)/2 < 5 mengharuskan membagi dengan negatif

Selesaikan (4 − 3x)/2 < 5. Kalikan kedua ruas dengan 2, yang positif, sehingga arah < tetap: 4 − 3x < 10. Kurangi 4: −3x < 6. Koefisien x adalah −3; saat membagi dengan −3, yang negatif, pertidaksamaannya terbalik dan tanda < menjadi >: x > −2. Intervalnya (−2, +∞).

Periksa dengan x = 0: (4 − 0)/2 = 2, dan 2 < 5 berlaku. Dengan x = −3: (4 + 9)/2 = 13/2 = 6,5, yang tidak kurang dari 5, jadi −3 di luar. Ujung −2 juga tidak termasuk, karena (4 + 6)/2 = 5 dan 5 tidak kurang dari 5.

Coba: selesaikan (1 − 2x)/3 ≥ 3. Kalikan dengan 3: 1 − 2x ≥ 9; kurangi 1: −2x ≥ 8; bagi dengan −2, yang negatif, dan balik arahnya: x ≤ −4. Intervalnya (−∞, −4].

Contoh 7: pertidaksamaan tripel −2 ≤ (3x + 1)/4 < 1

Pada pertidaksamaan tripel kita mengoperasikan ketiga ruas sekaligus. Kalikan ketiganya dengan 4, yang positif, sehingga kedua tandanya tetap:

4 · (−2) ≤ 4 · (3x + 1)/4 < 4 · 1 −8 ≤ 3x + 1 < 4

Kurangi 1 pada ketiga ruas: −9 ≤ 3x < 3. Bagi ketiganya dengan 3, yang positif, dan urutannya tidak berubah: −3 ≤ x < 1. Hasilnya interval [−3, 1): tertutup di −3 karena tanda ≤ menyertakannya, dan terbuka di 1 karena tanda < mengecualikannya.

Periksa dengan x = 0: (3 · 0 + 1)/4 = 1/4, dan −2 ≤ 1/4 < 1 berlaku. Dengan x = −3: (3 · (−3) + 1)/4 = −8/4 = −2, dan −2 ≤ −2 < 1 berlaku, jadi ujung kirinya termasuk. Dengan x = 1: (3 · 1 + 1)/4 = 4/4 = 1, dan 1 < 1 salah, jadi 1 di luar.

Coba: selesaikan 1 < (2x − 3)/5 ≤ 3. Kalikan dengan 5: 5 < 2x − 3 ≤ 15; tambah 3: 8 < 2x ≤ 18; bagi dengan 2: 4 < x ≤ 9. Intervalnya (4, 9].

Bisakah pertidaksamaan pecahan tidak punya solusi?

Bisa. Jika variabelnya hilang saat mengisolasi dan tersisa pertidaksamaan yang salah, tidak ada nilai yang memenuhinya dan himpunan solusinya kosong, ditulis ∅. Kasus ini muncul ketika kedua ruas memiliki koefisien x yang sama dan suku konstantanya merusak perbandingan.

Selesaikan (x + 1)/3 > (x + 4)/3. Penyebutnya sama, jadi kalikan dengan 3: x + 1 > x + 4. Kurangi x pada kedua ruas dan variabelnya hilang: 1 > 4. Pernyataan itu salah untuk setiap x, sehingga pertidaksamaannya tidak punya solusi. Nilai uji menegaskan diagnosis: dengan x = 0, (0 + 1)/3 = 1/3 dan (0 + 4)/3 = 4/3, dan 1/3 > 4/3 salah.

Kasus sebaliknya juga ada. Pada (x + 4)/3 > (x + 1)/3 kita sampai pada 4 > 1, yang benar untuk setiap x, jadi solusinya adalah himpunan semua bilangan real, (−∞, +∞). Jika x diganti dengan nilai tertentu pada kedua ekspresi, alat membandingkan pecahan membandingkan dua pecahan numerik yang dihasilkan dengan perkalian silang.

Tabel nilai uji mana yang menegaskan interval?

Tabel dengan satu nilai di dalam dan satu di luar setiap solusi mendeteksi hampir semua kesalahan tanda. Selalu substitusikan ke pertidaksamaan asli, bukan yang disederhanakan.

Tabel berikut menghubungkan setiap tanda dengan jenis ujung dan interval yang dihasilkannya. Ini terjemahan yang perlu diperiksa saat menulis jawaban.

Contoh dengan variabel di kedua ruas dan tanda kurung

Selesaikan (3x + 1)/2 > (x − 2)/3. KPK dari 2 dan 3 adalah 6; karena 6 positif, kalikan kedua ruas dan arahnya tidak berubah:

6 · (3x + 1)/2 > 6 · (x − 2)/3 3(3x + 1) > 2(x − 2)

Uraikan tanda kurung: 9x + 3 > 2x − 4. Kurangi 2x: 7x + 3 > −4. Kurangi 3: 7x > −7. Bagi dengan 7, yang positif: x > −1. Intervalnya adalah (−1, +∞).

Pemeriksaan. Dengan x = 0: (3 · 0 + 1)/2 = 1/2 dan (0 − 2)/3 = −2/3; karena 1/2 > −2/3, terpenuhi. Dengan x = −1: (3 · (−1) + 1)/2 = −1 dan (−1 − 2)/3 = −1; karena −1 > −1 salah, ujung terbukanya dikecualikan.

Suku yang tidak punya pecahan

Suku tanpa penyebut, seperti 3 pada −x/2 < 3 atau 1 pada x/2 + 1 > x/3, ditulis di atas 1 sebelum dikalikan. Angka 3 menjadi 3/1 dan 1 menjadi 1/1; saat dikalikan dengan KPK, bilangan itu dikalikan seperti yang lain. Melupakannya adalah salah satu penyebab jawaban salah yang umum, karena satu suku di luar kelipatan merusak kesetaraan antara kedua pertidaksamaan.

Jika sukunya negatif, seperti −1/2 pada x/3 − 1/2 > x/4, ia juga dikalikan. Dengan KPK 12, −1/2 menjadi −6. Tanda negatifnya tetap pada perkalian karena 12 positif; arah pertidaksamaan hanya akan berubah jika dikalikan dengan bilangan negatif.

Memeriksa bahwa semua suku sudah masuk itu mudah: setelah dikalikan, tidak boleh ada penyebut yang tersisa. Jika masih ada, berarti sukunya belum diperbesar. Panduan soal pecahan dan pembahasan mengumpulkan operasi serupa dengan langkah antaranya ditulis.

Mengapa tanda terbalik saat dikalikan bilangan negatif?

Karena mengalikan dengan bilangan negatif mencerminkan semua bilangan terhadap nol pada garis bilangan, dan pencerminan itu membalik urutannya. Sebelum pencerminan, 2 < 5; setelah dikalikan dengan −1, −2 > −5. Bilangan yang tadinya di kanan berpindah ke kiri, dan yang tadinya lebih kecil menjadi lebih besar.

Hal yang sama terjadi pada pecahan. Pada −x/2 < 3, mengalikan dengan −2 mengubah ruas kiri menjadi x dan ruas kanan menjadi −6; karena operasinya pencerminan, tanda < berubah menjadi >. Itulah sebabnya hasilnya x > −6 dan bukan x < −6. Alat membandingkan pecahan menunjukkan urutan itu ketika nilainya pecahan.

Aturannya dapat diringkas begini: menambah atau mengurangi bilangan yang sama tidak mengubah urutan; mengalikan atau membagi dengan bilangan lebih besar dari nol juga tidak; mengalikan atau membagi dengan bilangan lebih kecil dari nol mengubahnya. Garis bilangan pecahan menunjukkan mengapa pencerminan mengubah posisi relatif.

Mengapa pencerminan membalik urutan pada pecahan?

Garis bilangan membantu melihatnya. Pertidaksamaan 1/4 < 1/3 benar karena 1/4 = 3/12 dan 1/3 = 4/12, serta 3/12 berada di kiri 4/12. Jika kedua ruas dikalikan dengan −1, urutannya terbalik sepenuhnya: −1/4 > −1/3, sebab −1/4 = −3/12 dan −1/3 = −4/12, dan −3/12 berada di kanan −4/12. Mengalikan dengan −1 mengubah tanda setiap bilangan dan memindahkannya ke sisi berlawanan dari nol.

Penyebut negatif dinormalkan sebelum berhitung: x/(−3) > 2 ditulis −x/3 > 2. Saat dikalikan dengan −3, yang negatif, arahnya berubah dan hasilnya x < −6. Periksa dengan x = −7: (−7)/(−3) = 7/3 ≈ 2,333, yang lebih besar dari 2; dengan x = −5: (−5)/(−3) = 5/3 ≈ 1,667, yang tidak melebihi 2.

Contoh dengan koefisien pecahan negatif

Selesaikan −3x/4 + 1 > −2. Kurangi 1 pada kedua ruas: −3x/4 > −3. Kalikan dengan −4/3, yang negatif, jadi arahnya berubah: x < (−3) · (−4/3) = 4. Intervalnya adalah (−∞, 4).

Pemeriksaan. Dengan x = 0: −3 · 0/4 + 1 = 1, dan 1 > −2 terpenuhi. Dengan x = 5: −15/4 + 1 = −11/4 = −2,75, yang tidak lebih besar dari −2, jadi 5 berada di luar.

Mengapa kelipatan persekutuan terkecil berhasil?

Mengalikan setiap suku dengan KPK tidak mengubah himpunan solusi karena KPK adalah bilangan positif. Mengalikan pertidaksamaan dengan besaran positif seperti mengukur garis yang sama dengan skala lebih halus: jaraknya dapat ditulis dengan bilangan berbeda, tetapi urutan antartitiknya tidak berubah. Jika 1/3 berada di kiri 1/2, setelah keduanya dikalikan 12, nilai 4 dan 6 tetap memiliki hubungan yang sama: 4 < 6.

KPK adalah bilangan terkecil yang memuat setiap penyebut sebagai pembagi. Karena itu, setelah dikalikan, setiap pecahan menjadi bilangan bulat eksak dan semua pembagian hilang. Jika alih-alih KPK kamu memakai kelipatan persekutuan lain, metodenya tetap berhasil, tetapi bilangannya membesar dan peluang salahnya bertambah. Hasil kali penyebut selalu menjadi kelipatan persekutuan, meski tidak selalu yang terkecil: untuk 4 dan 6 hasil kalinya 24, padahal KPK-nya 12.

Ada satu syarat yang tidak berubah: pengalinya harus positif. Jika negatif, KPK akan membalik arah dan pertidaksamaan baru tidak punya solusi yang sama. Karena kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan positif selalu positif, mengalikannya aman.

Jangan mencampur KPK dengan penyebut persekutuan terkecil, yaitu KPK yang diterapkan pada penyebut pecahan. Pada metode ini bilangan yang sama memakai dua label: kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut juga penyebut persekutuan terkecil. Alat penyebut persekutuan terkecil menghitung keduanya dan menunjukkan pecahan yang setara.

Kesalahan umum dan cara memperbaikinya

Inilah kesalahan yang sering muncul pada pertidaksamaan pecahan. Masing-masing terdeteksi oleh pemeriksaan akhir.

1. Lupa membalik tanda. Saat mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif, arahnya berubah. Pada −x/2 < 3 hasil yang benar adalah x > −6; menulis x < −6 adalah kesalahan yang mahal. Periksa tanda koefisiennya sebelum menutup jawaban.
2. Mengalikan hanya sebagian suku. Untuk memperbesar x/3 − 1/2 > x/4, −1/2 juga harus dikalikan. Jika dibiarkan, pertidaksamaannya tidak lagi setara. Tandai setiap suku sebelum beroperasi.
3. Mencampur kurung biasa dan kurung siku. x > 6 ditulis (6, +∞) dan x ≤ 8 ditulis (−∞, 8]. Mengubah jenis ujung mengubah himpunan solusi meski bilangannya sama.
4. Menjumlahkan penyebut saat memperbesar. Saat menyatukan pecahan, penyebutnya tidak dijumlahkan: 1/2 + 1/3 = 5/6, bukan 2/5. Kesalahannya dijelaskan di panduan mengapa penyebut tidak dijumlahkan.
5. Tidak memeriksa satu nilai pun. Satu nilai uji di dalam interval bisa membongkar pembalikan yang terlupa, tetapi satu nilai saja tidak membuktikan seluruh interval. Simpan pemeriksaan di akhir, tetapi jangan dilewatkan.
6. Memakai KPK dua penyebut. Jika ada tiga penyebut, kelipatannya harus mencakup semuanya; KPK(3, 2, 4) = 12 dan bukan 6.

Variasi: tanda kurung, ganda, dan koefisien negatif

Metode lima langkah menyesuaikan diri dengan beberapa cara menulis pertidaksamaan yang sama. Berikut variasi yang umum.

• Variabel di kedua ruas. Kumpulkan suku x di ruas dengan koefisien lebih besar untuk menghindari negatif: pada 5x/3 − 2 < x/3 + 4, mengalikan dengan 3 menghasilkan 5x − 6 < x + 12 dan dari situ x < 9/2.
• Koefisien pecahan negatif. Kalikan dengan kebalikan negatifnya dan balik tandanya. Dari −2x/3 ≥ 4 diperoleh x ≤ −6.
• Tanda kurung di pembilang. Kalikan seluruh binomial dengan KPK, dengan tanda kurung: 3(2x − 1) ≤ 5(x + 1). Menghilangkan tanda kurung mengubah hasilnya.
• Pertidaksamaan ganda. Operasikan ketiga ruas dan jenis ujungnya bisa berbeda di tiap sisi, seperti pada (−1, 7/2].
• Koefisien desimal. Ubah menjadi pecahan sebelum mulai: 0,5x < 3 adalah x/2 < 3 dan menghasilkan x < 6.

Ketika dua pertidaksamaan menyangkut variabel yang sama, keduanya diselesaikan sebagai sistem. Panduan sistem persamaan dengan pecahan menunjukkan gagasan yang sama tentang menggabungkan dua syarat, diterapkan pada persamaan dengan dua variabel.

Dari pertidaksamaan ke kalimat: membaca hasilnya

Interval bukan sekadar notasi: ia syarat yang bisa dibaca lantang. Solusi (−∞, 8] dibaca «semua bilangan yang kurang dari atau sama dengan 8». Interval (6, +∞) dibaca «semua bilangan yang lebih besar dari 6». Dan (−1, 7/2] dibaca «semua bilangan yang lebih besar dari −1 dan kurang dari atau sama dengan 7/2».

Membaca hasil membantu mendeteksi kesalahan tanda, karena kalimatnya harus sesuai dengan soalnya. Jika soal meminta «nilai yang membuat pertidaksamaan benar» dan intervalnya (6, +∞), setiap bilangan yang lebih besar dari 6 harus memenuhinya. Jika intervalnya (−∞, 6), cukup menguji x = 0 untuk melihat bahwa solusinya tidak cocok dengan pertidaksamaan.

Saat menerjemahkan pertidaksamaan ke pernyataan nyata, periksa juga bahwa nilainya masuk akal dalam konteks. Bilangan negatif bisa jadi solusi aljabar yang sah sekaligus tidak mewakili besaran yang boleh jika variabelnya mengukur harga, panjang, atau jumlah orang.

Batasan: pertidaksamaan rasional dan lebih jauh

Metode ini berlaku untuk pertidaksamaan linear dengan koefisien bilangan. Jika variabelnya muncul di penyebut, seperti pada 1/(x − 2) < 4, mengalikan dengan KPK tidak lagi cukup: kamu harus menelaah tanda pembilang dan penyebut, mengecualikan nilai yang membuat penyebut nol, dan menyusun tabel tanda. Kasus itu pertidaksamaan rasional, di luar cakupan panduan ini, dan dijelaskan di panduan pecahan aljabar dan domain.

Panduan ini juga tidak mencakup pertidaksamaan derajat dua, tempat muncul pangkat seperti x²: di sana difaktorkan lalu tandanya ditelaah per interval. Dan jika soalnya mencampur dua syarat pada variabel yang sama, diselesaikan sebagai sistem, bukan sebagai satu pertidaksamaan.

Dalam cakupannya, anjurannya selalu sama: hilangkan penyebut dengan KPK, awasi tanda saat mengalikan atau membagi, tulis intervalnya, dan periksa dengan nilai uji. Urutan itu mencegah kesalahan tanda, salah satu penyebab tersering jawaban salah.

Ketika soal meminta bilangan, bukan interval

Sebagian soal tidak meminta seluruh interval, melainkan satu fakta konkret darinya. Misalnya, «berapakah bilangan bulat terbesar yang memenuhi x ≤ 8?». Jawabannya 8, bukan 7, karena ujungnya disertakan oleh tanda ≤; jika pertidaksamaannya x < 8, bilangan bulat terbesarnya 7. Interval menyelesaikan bagian aljabarnya, lalu harus dibaca cermat untuk menjawab pertanyaan yang tepat.

Kehati-hatian yang sama berlaku untuk nilai terkecil dari interval yang dibatasi di bawah. Pada x > −6, bilangan bulat terkecil yang memenuhi syarat adalah −5, bukan −6, karena −6 dikecualikan. Pada x ≥ −6, bilangan bulat terkecilnya memang −6. Perbedaan antara < dan ≤ menentukan jawabannya, meski bilangan tertulisnya sama.

Pada pertidaksamaan ganda, pembacaannya dari kedua ujung. Dari −1 < x ≤ 7/2 disimpulkan bahwa bilangan bulat yang memenuhi syarat adalah 0, 1, 2, dan 3. Nilai 7/2 = 3,5 menandai batas atas yang disertakan, dan bilangan bulat terbesar yang boleh adalah 3. Angka −1 di luar dan bilangan bulat pertama yang sah adalah 0.

Pemeriksaan akhir: tiga pertanyaan sebelum menutup

Sebelum menganggap pertidaksamaan pecahan selesai, jawab tiga pertanyaan singkat. Pertama: apakah pengali yang saya pakai positif? Jika negatif, apakah saya membalik arahnya dan hanya sekali? Kedua: apakah saya mengalikan semua suku, termasuk yang tanpa penyebut? Ketiga: apakah interval memakai kurung biasa atau kurung siku di setiap ujung sesuai tanda <, >, ≤, atau ≥?

Ketiga pertanyaan mencakup kegagalan yang sering dan tidak menuntut mengerjakan ulang soalnya. Lalu satu substitusi angka di dalam interval berfungsi sebagai kontrol. Jika nilai ujinya tidak memenuhi pertidaksamaan asli, solusinya salah dan pembalikan tandanya perlu ditinjau lebih dulu; jika memenuhi, hasilnya konsisten, tetapi satu nilai saja tidak membuktikan seluruh interval.

Pada pertidaksamaan ganda, kendalinya sedikit lebih besar karena kedua ujungnya bisa bertanda berbeda. Periksa satu nilai di dalam dan periksa terpisah bahwa setiap ujung jatuh di dalam atau di luar sesuai keadaannya. Pada (−1, 7/2], nilai x = 0 jatuh di dalam, x = −1 jatuh di luar di kiri, dan x = 4 jatuh di luar di kanan; tiga substitusi memberi pemeriksaan yang kuat atas interval itu, tetapi tidak menggantikan prosedur aljabarnya.

Pertidaksamaan dengan pecahan diselesaikan dengan urutan yang sama seperti persamaan, plus satu aturan yang menentukan hasilnya: saat mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif, arah pertidaksamaan terbalik. Dengan KPK, interval yang tepat, dan nilai uji, kesalahan tanda berhenti muncul. Untuk terus berlatih, hub konten lanjutan mengumpulkan panduan terkait, dan di latihan pecahan Anda dapat memeriksa jawaban Anda sendiri.