Para resolver um sistema de equações com frações, elimine os denominadores de cada equação e resolva depois o sistema com números inteiros. Em x/2 + y/3 = 4 e x/4 − y/6 = 0, a solução é x = 4, y = 6, depois de eliminar os denominadores de cada equação com o seu próprio MMC.
Os denominadores de cada equação são eliminados com o MMC dos seus próprios denominadores, sem procurar um comum para o sistema todo. Se houver só uma equação com uma incógnita, comece pela calculadora de equações com frações; aqui são duas incógnitas e duas igualdades. Se for uma inequação, vá para as inequações com frações, em que multiplicar por um número negativo inverte o sentido.
Qual método escolher conforme as equações sem denominadores
Sem os denominadores, o método depende de como ficam os coeficientes. Todos chegam ao mesmo par.
| Se, depois de eliminar os denominadores... | Método | Primeiro passo e exemplo |
|---|---|---|
| uma incógnita tem coeficientes iguais ou opostos | Redução | Some ou subtraia as equações: x + y = 5 com x − y = 1 dá 2x = 6 |
| uma incógnita está isolada ou vale 1 | Substituição | Leve a expressão à outra equação: com y = 2x e x + y = 9, fica 3x = 9 |
| nenhuma incógnita se cancela | Redução após multiplicar | 2x + 3y = 7 e 3x − 2y = 4: multiplique por 2 e por 3 para ter 6y e −6y; ao somar, 13x = 26 |
| a mesma incógnita se isola com facilidade nas duas | Igualação (ou comparação) | Isole y nas duas e iguale: com y = 2x − 1 e y = 11 − x, 2x − 1 = 11 − x |
A terceira linha termina em x = 2, y = 1. Na dúvida, escolha a redução: ela evita as frações intermediárias que surgem ao isolar uma incógnita.
Exemplo resolvido com dois MMC diferentes
Exemplo resolvido: x/2 + y/3 = 4 e x/4 − y/6 = 0
Ache x e y de modo que as duas equações sejam verdadeiras ao mesmo tempo.
- Calcule o MMC de cada equação. Na primeira, MMC(2, 3) = 6. Na segunda, MMC(4, 6) = 12.
- Elimine os denominadores da primeira. Multiplique os três termos por 6: 6 · (x/2) + 6 · (y/3) = 6 · 4, o que dá 3x + 2y = 24.
- Elimine os denominadores da segunda. Multiplique por 12: 12 · (x/4) − 12 · (y/6) = 12 · 0, o que dá 3x − 2y = 0.
- Some as duas equações. Os termos em y se cancelam e resta 6x = 24, de onde x = 4.
- Isole a outra incógnita. Substitua x = 4 na segunda equação sem denominadores: 12 − 2y = 0, então y = 6.
Resultado: x = 4, y = 6.
Verificação: nas equações de partida, 4/2 + 6/3 = 2 + 2 = 4 e 4/4 − 6/6 = 1 − 1 = 0.
A primeira equação precisava do 6 e a segunda do 12. Multiplicar as duas por 12 também funcionaria, mas a primeira ficaria 6x + 4y = 48, com números maiores e sem vantagem alguma. Para calcular o MMC de vários denominadores, use a calculadora de MMC.
Quando a solução é uma fração
Sejam x + y = 1 e x − y = 1/5. A segunda já tem um só denominador, então multiplicar por 5 basta: 5x − 5y = 1. A primeira, por 5, é 5x + 5y = 5. Ao somá-las, 10x = 6 e x = 6/10, que se reduz a 3/5. Então y = 1 − 3/5 = 2/5.
A solução fica como fração irredutível. Aqui 3/5 = 0,6 e 2/5 = 0,4 são decimais exatos, mas com 1/3 um decimal cortado como 0,33 já não satisfaz a equação (1/3 − 0,33 = 1/300); por isso a conferência se faz com frações: 3/5 + 2/5 = 1 e 3/5 − 2/5 = 1/5. As duas equações originais são verdadeiras para o par (3/5, 2/5).
Sem solução ou com infinitas soluções
Duas retas podem se cruzar em um ponto, nunca se cruzar ou ser a mesma. Ao eliminar os denominadores, vê-se qual é o caso.
| Sistema | Depois de eliminar os denominadores | Retas | Soluções |
|---|---|---|---|
| x/3 + y/3 = 1 e x + y = 4 | x + y = 3 e x + y = 4 | paralelas | nenhuma (impossível) |
| x/5 + y/5 = 2 e x + y = 10 | x + y = 10 e x + y = 10 | a mesma | infinitas (indeterminado) |
| x/2 + y = 3 e x/2 − y = 1 | x + 2y = 6 e x − 2y = 2 | se cruzam | uma: (4, 1) |
Por redução, o sistema impossível termina em uma igualdade falsa como 0 = 1, e o indeterminado em uma sempre verdadeira como 0 = 0. Para se antecipar, compare as equações sem denominadores: se os coeficientes de x e de y são proporcionais, mas o termo independente não segue essa proporção, o sistema não tem solução.
Por que é possível multiplicar pelo MMC
Multiplicar os dois lados de uma equação por um número diferente de zero não muda as suas soluções. O MMC é apenas o número que transforma cada fração em um inteiro. Como é positivo, também não muda nenhum sinal, ao contrário do que acontece em uma inequação.
No plano, cada equação é uma reta e a solução é o ponto em que elas se cruzam. Eliminar denominadores reescreve a fórmula da reta com inteiros, mas a reta não se move e o ponto de cruzamento é o mesmo. Por isso o par que sai das equações sem denominadores vale nas originais.
Decimais, parênteses e sinais negativos
Um decimal exato vira fração antes de eliminar os denominadores: 0,5x + y = 3 é x/2 + y = 3, e 0,25 é 1/4. Evite cortar dízimas periódicas, como 0,33 no lugar de 1/3, porque elas introduzem um erro que a fração não tem.
Se o numerador é uma soma ou uma subtração, mantenha o parêntese ao multiplicar. Em (x − 1)/2 + y/3 = 2, multiplicar por 6 dá 3(x − 1) + 2y = 12, que é 3x + 2y = 15. Um coeficiente negativo pode ser eliminado multiplicando toda a equação por −1, o que troca todos os sinais e mantém as soluções. Se a equação mistura outras operações, simplifique-a antes com as expressões com frações.
Pratique com três sistemas
- Resolva x/4 + y/2 = 3 e x − y = 0.
- Resolva x/2 + y/4 = 2 e x/4 − y/2 = 0.
- Resolva x/2 + y = 0 e x − y = 3. Atenção ao sinal de y.
Ver as respostas
- Como x = y, a primeira fica x + 2y = 12, ou seja, 3x = 12: x = 4 e y = 4.
- Ficam 2x + y = 8 e x = 2y. Ao substituir, 5y = 8: y = 8/5 e x = 16/5.
- Da primeira, y = −x/2. Ao substituir na segunda, 3x/2 = 3: x = 2 e y = −1. Um resultado negativo é válido; confira que 2/2 + (−1) = 0 e 2 − (−1) = 3.
Para praticar com uma só incógnita, a ferramenta de fração com valor desconhecido resolve igualdades com um termo desconhecido. Para restrições de domínio, consulte o guia de frações algébricas e domínio.
O que lembrar
Elimine os denominadores de cada equação com o seu próprio MMC, multiplicando todos os termos. Resolva por redução ou substituição, deixe as soluções como frações irredutíveis e confira o par nas duas equações originais. Uma igualdade falsa no final indica um sistema impossível, e uma sempre verdadeira, um com infinitas soluções. Mais temas deste nível estão no página de conteúdo avançado.
Fontes
- GeoGebra, “Métodos de solución sistemas ecuaciones lineales 2 x 2” (em espanhol): apresenta os métodos gráfico, substituição, igualação, redução e determinantes para sistemas 2x2 (consultado em 16 de outubro de 2026).