Um ein Gleichungssystem mit Brüchen zu lösen, beseitigst du die Nenner jeder Gleichung und löst danach das System mit ganzen Zahlen. Bei x/2 + y/3 = 4 und x/4 − y/6 = 0 lautet die Lösung x = 4, y = 6, nachdem jede Gleichung mit ihrem eigenen kgV bereinigt wurde.
Jede Gleichung wird mit dem kgV ihrer eigenen Nenner bereinigt; du suchst kein gemeinsames kgV für das ganze System. Hast du nur eine Gleichung mit einer Unbekannten, beginne mit dem Rechner für Bruchgleichungen; hier geht es um zwei Unbekannte und zwei Gleichungen. Hast du eine Ungleichung, findest du im Ratgeber Ungleichungen mit Brüchen, warum sich beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umkehrt.
Welches Verfahren passt zu den bereinigten Gleichungen
Sobald die Nenner weg sind, hängt das Verfahren davon ab, wie die Koeffizienten aussehen. Alle führen zum selben Paar.
| Wenn nach dem Bereinigen ... | Verfahren | Erster Schritt und Beispiel |
|---|---|---|
| eine Unbekannte gleiche oder entgegengesetzte Koeffizienten hat | Additionsverfahren | Addiere oder subtrahiere die Gleichungen: x + y = 5 und x − y = 1 ergeben 2x = 6 |
| eine Unbekannte freigestellt ist oder den Koeffizienten 1 hat | Einsetzungsverfahren | Setze den Term in die andere Gleichung ein: mit y = 2x und x + y = 9 wird daraus 3x = 9 |
| sich keine Unbekannte aufhebt | Additionsverfahren nach Multiplikation | 2x + 3y = 7 und 3x − 2y = 4: Multipliziere mit 2 und mit 3, damit 6y und −6y entstehen; beim Addieren folgt 13x = 26 |
| dieselbe Unbekannte sich in beiden Gleichungen leicht freistellen lässt | Gleichsetzungsverfahren | Stelle y in beiden frei und setze gleich: mit y = 2x − 1 und y = 11 − x wird daraus 2x − 1 = 11 − x |
Die dritte Zeile endet bei x = 2, y = 1. Wenn du unsicher bist, nimm das Additionsverfahren: Es vermeidet die Zwischenbrüche, die beim Freistellen entstehen.
Beispiel mit zwei verschiedenen kgV
Beispiel: x/2 + y/3 = 4 und x/4 − y/6 = 0
Bestimme x und y so, dass beide Gleichungen gleichzeitig gelten.
- Berechne das kgV jeder Gleichung. In der ersten ist kgV(2, 3) = 6. In der zweiten ist kgV(4, 6) = 12.
- Bereinige die erste. Multipliziere ihre drei Terme mit 6: 6 · (x/2) + 6 · (y/3) = 6 · 4, das ergibt 3x + 2y = 24.
- Bereinige die zweite. Multipliziere mit 12: 12 · (x/4) − 12 · (y/6) = 12 · 0, das ergibt 3x − 2y = 0.
- Addiere die beiden Gleichungen. Die y-Terme heben sich auf, es bleibt 6x = 24, also x = 4.
- Berechne die andere Unbekannte. Setze x = 4 in die zweite bereinigte Gleichung ein: 12 − 2y = 0, also y = 6.
Ergebnis: x = 4, y = 6.
Probe: In den Ausgangsgleichungen gilt 4/2 + 6/3 = 2 + 2 = 4 und 4/4 − 6/6 = 1 − 1 = 0.
Die erste Gleichung brauchte 6, die zweite 12. Beide mit 12 zu multiplizieren wäre ebenfalls richtig, aber die erste würde dann zu 6x + 4y = 48, also zu größeren Zahlen ohne jeden Vorteil. Das kgV mehrerer Nenner berechnest du mit dem Rechner für das kleinste gemeinsame Vielfache.
Wenn die Lösung ein Bruch ist
Gegeben sind x + y = 1 und x − y = 1/5. Die zweite hat nur einen Nenner, daher genügt die Multiplikation mit 5: 5x − 5y = 1. Die erste ergibt mit 5 den Term 5x + 5y = 5. Beim Addieren folgt 10x = 6 und x = 6/10, was sich zu 3/5 kürzen lässt. Dann ist y = 1 − 3/5 = 2/5.
Die Lösung bleibt ein vollständig gekürzter Bruch. Hier sind 3/5 = 0,6 und 2/5 = 0,4 abbrechende Dezimalzahlen, doch bei 1/3 erfüllt ein abgeschnittener Wert wie 0,33 die Gleichung nicht mehr (1/3 − 0,33 = 1/300); deshalb prüfst du mit Brüchen: 3/5 + 2/5 = 1 und 3/5 − 2/5 = 1/5. Beide Ausgangsgleichungen sind erfüllt.
Keine Lösung oder unendlich viele Lösungen
Zwei Geraden können sich in einem Punkt schneiden, nie schneiden oder identisch sein. Nach dem Bereinigen siehst du, welcher Fall vorliegt.
| System | Nach dem Bereinigen | Geraden | Lösungen |
|---|---|---|---|
| x/3 + y/3 = 1 und x + y = 4 | x + y = 3 und x + y = 4 | parallel | keine (unlösbar) |
| x/5 + y/5 = 2 und x + y = 10 | x + y = 10 und x + y = 10 | identisch | unendlich viele (abhängig) |
| x/2 + y = 3 und x/2 − y = 1 | x + 2y = 6 und x − 2y = 2 | schneiden sich | eine: (4, 1) |
Beim Additionsverfahren endet das unlösbare System in einer falschen Aussage wie 0 = 1, das abhängige in einer immer wahren wie 0 = 0. Willst du es vorher erkennen, vergleiche die bereinigten Gleichungen: Sind die Koeffizienten von x und y proportional, die Konstante aber nicht im selben Verhältnis, hat das System keine Lösung.
Warum man mit dem kgV multiplizieren darf
Multiplizierst du beide Seiten einer Gleichung mit einer Zahl ungleich null, ändern sich ihre Lösungen nicht. Das kgV ist nur die Zahl, die jeden Bruch in eine ganze Zahl verwandelt. Da es positiv ist, ändert sich auch kein Vorzeichen, anders als bei einer Ungleichung.
In der Ebene ist jede Gleichung eine Gerade, und die Lösung ist der Punkt, in dem sie sich schneiden. Das Beseitigen der Nenner schreibt die Geradengleichung mit ganzen Zahlen um, aber die Gerade verschiebt sich nicht, und der Schnittpunkt bleibt derselbe. Deshalb gilt das Paar aus den bereinigten Gleichungen auch in den ursprünglichen.
Dezimalzahlen, Klammern und negative Vorzeichen
Eine abbrechende Dezimalzahl wandelst du vor dem Bereinigen in einen Bruch um: 0,5x + y = 3 ist x/2 + y = 3, und 0,25 ist 1/4. Schneide periodische Dezimalzahlen nicht ab, etwa 0,33 statt 1/3, denn das bringt einen Fehler ein, den der Bruch nicht hat.
Ist der Zähler eine Summe oder Differenz, behalte beim Multiplizieren die Klammer. Bei (x − 1)/2 + y/3 = 2 ergibt die Multiplikation mit 6 den Term 3(x − 1) + 2y = 12, also 3x + 2y = 15. Einen negativen Koeffizienten kannst du beseitigen, indem du die ganze Gleichung mit −1 multiplizierst; das kehrt alle Vorzeichen um und lässt die Lösungen unverändert. Mischt die Gleichung weitere Rechenarten, vereinfache sie zuerst mit dem Rechner für Bruchterme.
Übe mit drei Systemen
- Löse x/4 + y/2 = 3 und x − y = 0.
- Löse x/2 + y/4 = 2 und x/4 − y/2 = 0.
- Löse x/2 + y = 0 und x − y = 3. Achte auf das Vorzeichen von y.
Lösungen anzeigen
- Wegen x = y wird die erste zu x + 2y = 12, also 3x = 12: x = 4 und y = 4.
- Es ergeben sich 2x + y = 8 und x = 2y. Beim Einsetzen folgt 5y = 8: y = 8/5 und x = 16/5.
- Aus der ersten folgt y = −x/2. Eingesetzt in die zweite ergibt sich 3x/2 = 3: x = 2 und y = −1. Ein negatives Ergebnis ist gültig; prüfe, dass 2/2 + (−1) = 0 und 2 − (−1) = 3 gilt.
Zum Üben mit nur einer Unbekannten löst das Werkzeug für fehlende Zähler und Nenner Gleichungen mit einem unbekannten Term. Zu Einschränkungen des Definitionsbereichs findest du mehr im Ratgeber Algebraische Brüche und Definitionsmenge.
Das Wichtigste zum Merken
Bereinige jede Gleichung mit ihrem eigenen kgV und multipliziere dabei alle Terme. Löse mit dem Additions- oder Einsetzungsverfahren, lass die Lösungen als vollständig gekürzte Brüche stehen und prüfe das Paar in beiden Ausgangsgleichungen. Eine falsche Aussage am Ende zeigt ein unlösbares System an, eine immer wahre ein System mit unendlich vielen Lösungen. Weitere Themen dieser Stufe findest du im Bereich für Fortgeschrittene.
Quellen
- Wikipedia, Artikel „Lineares Gleichungssystem“: nennt Einsetzungs-, Gleichsetzungs-, Additions- und Determinantenverfahren und beschreibt, wann zwei Geraden parallel oder identisch sind (abgerufen am 17. Oktober 2026).