Schau, welche Zahl fehlt, multipliziere die beiden bekannten Zahlen über Kreuz und teile durch die dritte. Sind die Zahlen keine ganzen Zahlen, nutze den Proportionsrechner (Verhältnisgleichungen); wenn du gleichwertige Brüche erzeugen oder prüfen willst, ohne eine fehlende Zahl zu suchen, gibt es das Werkzeug gleichwertige Brüche. Dieses Vorgehen funktioniert für alle vier möglichen Stellen der Unbekannten; nur ändert sich, welches Produkt oben steht und durch welche Zahl du teilst.
Rechenbeispiel: 3/4 = x/20
Ein Bruch mit 4 Teilen hat 3 gefärbte. Wie viele gefärbte Teile braucht man, wenn in 20 gleiche Teile geteilt wird und dieselbe Fläche bedeckt sein soll?
- Schau auf den Nenner. Er wächst von 4 auf 20, wird also mit 20 ÷ 4 = 5 multipliziert.
- Wende denselben Faktor auf den Zähler an. 3 × 5 = 15.
- Bestätige über Kreuz. 3 × 20 = 60 und 4 × 15 = 60.
Ergebnis: x = 15, und 3/4 = 15/20.
Probe: 15/20 wird durch 5 gekürzt und ergibt wieder 3/4.
Der Faktor funktioniert, wenn ein Nenner ein Vielfaches des anderen ist. Ist das nicht der Fall, klappt das Multiplizieren über Kreuz genauso, ohne dass du einen Faktor sehen musst.
Die vier Stellen der Unbekannten
Bei a/b = c/d erhältst du die fehlende Zahl, indem du die beiden Zahlen multiplizierst, die einander diagonal gegenüberstehen, und durch die Zahl teilst, der der Unbekannten diagonal gegenübersteht. Die Tabelle zeigt für jeden Fall eine Gleichung und den berechneten Wert; jedes Ergebnis lässt sich über Kreuz prüfen.
| Es fehlt | Gleichung | Auflösen | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Zähler des ersten Bruchs | x/b = c/d | x = b × c ÷ d | x/12 = 5/6 ergibt x = 10 |
| Nenner des ersten Bruchs | a/x = c/d | x = a × d ÷ c | 2/x = 6/15 ergibt x = 5 |
| Zähler des zweiten Bruchs | a/b = x/d | x = a × d ÷ b | 5/8 = x/24 ergibt x = 15 |
| Nenner des zweiten Bruchs | a/b = c/x | x = b × c ÷ a | 2/5 = 8/x ergibt x = 20 |
Steht die Unbekannte unten, ändert sich, welches Produkt durch welche Zahl geteilt wird, und man vertauscht die beiden leicht. Setze deshalb immer den Wert in die Ausgangsgleichung ein, um das zu erkennen.
Keine ganzzahlige Lösung, keine Lösung oder unendlich viele
Manchmal geht die Rechnung nicht in einer ganzen Zahl auf. Bei 5/6 = x/8 ergibt das Multiplizieren über Kreuz 5 × 8 = 6 × x, also x = 40/6 = 20/3. Diese Zahl macht die Gleichung wahr, ist aber keine ganze Zahl, und der Rechner meldet deshalb, dass es keine ganzzahlige Lösung gibt. Für rationale Werte nutze den Proportionsrechner.
Zwei weitere Fälle kommen von der Null. Bei 0/x = 0/5 ist die linke Seite für jedes x ungleich null gleich 0, und der Rechner meldet unendlich viele Lösungen. Bei 2/x = 0/5 passt kein Wert, denn 2/x ist nie 0: Es entsteht der Widerspruch 10 = 0.
Wann ein anderes Werkzeug besser passt
Der Rechner deckt genau eine ganzzahlige Unbekannte ab. Sind die Zahlen Dezimalzahlen oder Brüche, nimmt der Proportionsrechner sie an, und kommt x an mehreren Stellen vor, lösen Bruchgleichungen das. Eine Liste von Brüchen mit demselben Wert erzeugst du mit dem Werkzeug gleichwertige Brüche, und ob ein Bruch schon vollständig gekürzt ist, prüfst du mit dem Werkzeug Brüche kürzen. OpenStax (auf Englisch) erklärt, wie man Proportionen mit Produkten über Kreuz löst.
Häufige Fragen
Müssen die Brüche gekürzt sein, bevor ich sie eingebe?
Nein. Du kannst sie so eingeben, wie sie dir vorliegen, denn das Multiplizieren über Kreuz hängt nicht davon ab, ob die Brüche vollständig gekürzt sind. Bei 15/25 = x/35 ergibt sich x = 21, und mit 3/5 = x/35 kämst du auf denselben Wert.
Wie gebe ich eine negative Zahl ein und prüfe ihn?
Schreibe das Minuszeichen direkt vor die Zahl. Bei −11/x = 22/18 ergibt sich x = −9. Zur Probe setzt du ein: −11 × 18 = −198 und 22 × (−9) = −198, die Produkte über Kreuz stimmen also überein.
Hilft der Rechner bei einer Aufgabe mit „von je“?
Ja, wenn sich das Verhältnis als Bruch schreiben lässt. Trinken 4 von je 9 Personen einer Gruppe von 63 am liebsten Kaffee, stellst du x/63 = 4/9 auf und erhältst x = 28. Kommen Einheiten oder umgekehrte Größen vor, stellt der Dreisatz die Aufgabe direkter auf.