Hast du 2/5 + 1/4 gerechnet und 13/20 erhalten, ziehe einen der Summanden ab. Weil 13/20 − 1/4 = 2/5 gilt, bekommst du den anderen Summanden zurück, und das Ergebnis ist bestätigt. Diese Probe hilft, Rechenfehler zu finden, und wird durch eine Schätzung von Vorzeichen und Größe ergänzt. Dieselbe Rechnung zu wiederholen kann denselben Fehler wiederholen, also wähle besser einen anderen Weg. Geht die Probe nicht auf, erklärt der Ratgeber zu Fehlern beim Bruchrechnen, woher der Fehler meist kommt.
| Rechenart | Probe | Was sie findet |
|---|---|---|
| Addition | Ziehe einen Summanden vom Ergebnis ab | Einen Fehler beim Umformen auf den gemeinsamen Nenner |
| Subtraktion | Addiere den Subtrahenden zur Differenz | Ein falsches Vorzeichen oder einen falsch berechneten gemeinsamen Nenner |
| Multiplikation | Teile das Produkt durch einen Faktor ungleich null | Ein falsch gekürztes Produkt |
| Division | Multipliziere den Quotienten mit dem Divisor | Einen versehentlich umgekehrten Bruch |
| Gleichwertigkeit | Multipliziere über Kreuz und vergleiche | Zwei verschiedene Werte, die gleich aussehen |
Bei einer Division ist die schnellste Probe, den Quotienten mit dem Divisor zu multiplizieren, denn dafür brauchst du keinen gemeinsamen Nenner.
Multiplikation oder Division rückgängig machen
Bei einer Division multiplizierst du den Quotienten mit dem Divisor und musst den Dividenden zurückerhalten. Für 3/4 ÷ 2/3 = 3/4 × 3/2 = 9/8 lautet die Probe 9/8 × 2/3 = 18/24 = 3/4. Es stimmt, also ist der Quotient richtig. Diese Probe setzt einen Divisor ungleich null voraus.
Bei einer Multiplikation wie 3/7 × 2/9 = 6/63 = 2/21 teilst du das Produkt durch einen der Faktoren. So ist 2/21 ÷ 3/7 = 2/21 × 7/3 = 14/63 = 2/9. Ist ein Faktor null, kannst du nicht durch ihn teilen; dann reicht es zu prüfen, dass das Produkt 0 ist.
Rechenbeispiel: eine Addition mit Umkehrprobe
Du hast diese beiden Brüche addiert und willst wissen, ob das Ergebnis stimmt.
- Addiere. Der gemeinsame Nenner ist 20. Damit gilt 2/5 = 8/20 und 1/4 = 5/20, also ist die Summe 13/20.
- Wähle die Umkehrprobe. Ziehe einen der Summanden ab.
- Bringe auf denselben Nenner. 13/20 − 5/20 = 8/20.
- Kürze und vergleiche. 8/20 = 2/5, und das ist der andere Summand.
Die Summe stimmt, und die Subtraktion bestätigt es.
Der Größe nach ist das Ergebnis größer als jeder Summand und kleiner als 1, wie es bei zwei kleinen Brüchen zu erwarten ist.
Über Kreuz multiplizieren und vergleichen
Um zu wissen, ob a/b und c/d gleich viel wert sind (mit Nennern ungleich null), vergleichst du a × d mit b × c. Bei 6/9 und 10/15 ergeben sich 6 × 15 = 90 und 9 × 10 = 90, die Brüche sind also gleichwertig. Bei 6/9 und 11/15 sind es 90 und 99, sie sind es nicht. Die Produkte sind ganze Zahlen, deshalb wird nichts gerundet.
Diese Probe bestätigt den Wert, sagt aber nicht, ob der Bruch vollständig gekürzt ist. Verlangt die Aufgabe die einfachste Form, prüfe separat, ob der größte gemeinsame Teiler (ggT) von Zähler und Nenner 1 ist. Zum Vergleichen der Größe wendet der Rechner zum Vergleichen von Brüchen dieselbe Methode an, und der Rechner für gleichwertige Brüche erzeugt Paare wie 6/9 und 10/15.
Vorzeichen und Größe schätzen, bevor du rechnest
Eine Schätzung beweist nicht, dass das Ergebnis exakt stimmt, schließt aber in Sekunden unmögliche Antworten aus. Vergleiche mit 0, mit 1/2 und mit 1. Eine Summe positiver Brüche ist größer als jeder Summand, und eine Differenz, bei der der Minuend kleiner als der Subtrahend ist, wird negativ. Bei 2/9 − 5/6 muss das Ergebnis negativ sein, und die Rechnung ergibt −11/18. Die Umkehrprobe bestätigt es: −11/18 + 5/6 = 2/9.
Wenn du mit Dezimalzahlen arbeitest, vergleiche keine gerundeten Werte. Die Dezimalzahl 0,14 wirkt nah an 1/7, aber 7 × 0,14 = 0,98 und nicht 1. Der genaue Unterschied ist 1/7 − 14/100 = 1/350. Um zu entscheiden, ob zwei Werte gleich sind, geh zurück zum Bruch oder multipliziere über Kreuz.
Was eine Probe nicht beweist
Die Probe bestätigt, dass die Gleichung, die du aufgeschrieben hast, wahr ist. Sie garantiert nicht, dass die Aufgabe richtig angesetzt ist: Du kannst zwei Größen korrekt addieren, die man nicht addieren sollte, oder eine falsch abgeschriebene Angabe verwenden. Lies nach der Probe die Frage und die Einheiten noch einmal. Wie du jede Zeile einer Lösung liest, zeigt der Beitrag zum Verstehen der Rechenschritte: Er trennt, was sich ändert, von dem, was gleich viel wert bleibt.
Übe selbst
- Berechne 7/8 − 1/5 und mache die Probe mit der Umkehroperation.
- Berechne 5/9 × 3/10 und mache die Probe durch Dividieren.
- Sind 7/12 und 21/36 gleichwertig? Multipliziere über Kreuz.
- Jemand behauptet, 5/8 + 1/5 = 3/11. Welche Schätzung schließt das aus?
Lösungen anzeigen
- 27/40. Probe: 27/40 + 8/40 = 35/40 = 7/8.
- 1/6, denn 15/90 = 1/6. Probe: 1/6 ÷ 5/9 = 1/6 × 9/5 = 9/30 = 3/10.
- Ja, denn 7 × 36 = 252 und 12 × 21 = 252.
- 3/11 ist kleiner als 5/8, und eine Summe positiver Zahlen kann nicht kleiner als ein Summand sein. Das richtige Ergebnis ist 33/40.
Zum Üben mit automatischer Korrektur prüft Brüche üben deine Antwort, und der Ratgeber zu Fehlern beim Bruchrechnen erklärt, warum die häufigsten Rechnungen schiefgehen.
Quellen
- Wikipedia (deutsch), Artikel Umkehroperation: nennt die Subtraktion als Umkehroperation der Addition und die Division als Umkehroperation der Multiplikation und hält fest, dass die Division durch null verboten ist (abgerufen am 17. Oktober 2026).