Quand les deux parties sont déjà réduites, la division finale est celle de diviser des fractions ; ici, la calculatrice résout d’abord chaque partie, puis fait cette division en une seule étape, avec le quotient final et les deux parties sous les yeux.
Exemple résolu : (1/2 + 1/3)/(3/4)
Calculez la fraction complexe qui a une somme en haut et une fraction en bas.
- Calculez le haut. Le dénominateur commun est 6, donc 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
- Calculez le bas. C’est déjà une seule fraction : 3/4.
- Divisez par l’inverse. (5/6) ÷ (3/4) = 5/6 × 4/3 = 20/18.
- Simplifiez. 20 et 18 se divisent par 2 et il reste 10/9, soit 1 1/9 en nombre mixte.
Résultat : 10/9.
Vérification : 10/9 × 3/4 = 30/36 = 5/6, ce qui correspond au haut.
Une fraction complexe est une division : la barre principale demande combien de fois le bas tient dans le haut. Le nom renvoie à la structure imbriquée et n’a aucun rapport avec les nombres complexes.
Raccourci avec le PPCM pour le calcul à la main
Il existe un autre chemin qui évite l’inverse. Multipliez le haut et le bas par le PPCM de tous les dénominateurs intérieurs et les fractions disparaissent. Avec (1/5 + 3/10)/(1/4 − 1/20), le PPCM de 5, 10, 4 et 20 est 20. Le haut devient 4 + 6 = 10 et le bas 5 − 1 = 4, donc le quotient vaut 10/4 = 5/2.
La calculatrice n’utilise pas ce raccourci : elle évalue chaque partie et divise, pour la même valeur finale. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, et le guide sur l’inverse d’une fraction explique pourquoi.
Formes possibles
La barre principale peut avoir de chaque côté des fractions, des entiers ou des expressions. Diviser par un nombre inférieur à 1 agrandit la valeur absolue du résultat, et diviser par un nombre supérieur à 1 la réduit.
| Forme | Haut | Bas | Résultat |
|---|---|---|---|
| Fraction sur entier : (5/8)/2 | 5/8 | 2 | 5/16 |
| Entier sur fraction : 3/(2/5) | 3 | 2/5 | 15/2 |
| Un sur une somme : 1/(1/4 + 1/6) | 1 | 5/12 | 12/5 |
| Résultat négatif : (1/10 − 1/2)/(1/5) | −2/5 | 1/5 | −2 |
Le signe du quotient dépend des signes des deux parties. Dans la dernière ligne, le haut est négatif et le bas positif, d’où le résultat −2. Si les deux parties étaient négatives, le quotient redeviendrait positif.
Quand une erreur s’affiche
Une erreur s’affiche quand le bas vaut zéro. Écrire 1/(2/3 − 2/3) donne un dénominateur nul après calcul, et la division finale n’existe pas. Une division par zéro à l’intérieur d’un des champs est aussi refusée. Une partie comme 0/5 est valable en haut, mais ne peut pas servir de diviseur.
Les lettres ne sont pas acceptées : une fraction avec x demande des règles de domaine, et la calculatrice de fractions algébriques existe pour cela. Pour séparer un quotient de polynômes en termes, utilisez la décomposition en éléments simples. Pour une fraction à plusieurs étages qui porte un nom propre, voyez les fractions continues.
Où on les rencontre
Deux situations réelles y ont recours. Deux résistances de 4 Ω et 6 Ω en parallèle équivalent à 1/(1/4 + 1/6) = 12/5 Ω, comme dans le tableau, et l’article sur les résistances en parallèle explique pourquoi on obtient une somme d’inverses.
L’autre est la vitesse moyenne d’un aller-retour. Si vous roulez à 60 km/h à l’aller et à 40 km/h au retour sur le même trajet, la moyenne vaut 2/(1/60 + 1/40) = 2/(1/24) = 48 km/h, et non 50. L’article sur la vitesse moyenne d’un aller-retour le développe.
Quand l’expression est une longue ligne sans barre principale évidente, la calculatrice d’expressions à priorités opératoires respecte les priorités opératoires, et pour diviser une fraction par un entier, il suffit aussi de multiplier des fractions par l’inverse.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si le nombre mixte est négatif ?
Le signe porte sur tout le nombre, pas seulement sur la partie entière. (−2 1/3)/(7/9) se lit (−7/3)/(7/9) = −7/3 × 9/7 = −3. Écrivez le signe devant le nombre mixte, avec une espace entre la partie entière et la fraction, et le résultat garde ce signe.
Comment se lit une chaîne de barres comme 3/4/6 ?
De gauche à droite : (3/4)/6 = 1/8. Pour que le 6 divise d’abord le 4, écrivez 3/(4/6) = 9/2. La même chose se produit quand vous copiez la ligne depuis un tableur ou un traitement de texte.