Si vous roulez à 60 km/h à l’aller et revenez à 40 km/h par le même chemin, votre vitesse moyenne est de 48 km/h, pas de 50. La moyenne arithmétique se trompe parce que vous passez plus de temps sur le trajet lent. La vitesse moyenne est toujours la distance totale divisée par le temps total.
Comment la calculer avec un parcours concret
Choisissez une longueur pour chaque sens ; avec 60 km, le calcul tombe juste, et plus bas vous verrez que toute autre longueur donne le même résultat.
Exemple résolu : 60 km à l'aller à 60 km/h et 60 km au retour à 40 km/h
Un aller-retour comprend deux trajets égaux de 60 km. Quelle est la vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours ?
- Durée de l’aller. 60 ÷ 60 = 1 h.
- Durée du retour. 60 ÷ 40 = 3/2 h, soit 1,5 h.
- Totaux. 60 + 60 = 120 km en 1 + 3/2 = 5/2 h.
- Divisez. 120 ÷ 5/2 = 120 × 2/5 = 48.
Résultat : 48 km/h.
Vérification : 48 km/h pendant 2,5 h couvrent 120 km, la distance réelle. À 50 km/h, cela ferait 125 km.
Quand les durées sont des fractions d’heure, la calculatrice de division de fractions fait la dernière étape, et la conversion de fraction d’heure en minutes traduit 5/2 h en 150 min.
La formule courte : la moyenne harmonique
Quand les deux trajets ont la même longueur, la distance s’annule et il reste la moyenne harmonique des deux vitesses a et b : 2ab ÷ (a + b), ou de façon équivalente 2 ÷ (1/a + 1/b). Avec 60 et 40, 2 × 60 × 40 = 4800 et 4800 ÷ 100 = 48. Avec une distance d par sens, le temps total est d/60 + d/40 = d/24, et 2d ÷ (d/24) = 48 pour tout d : peu importe que le voyage fasse 10 km ou 600 km. Les étapes pour additionner d/60 et d/40 utilisent le dénominateur commun 120 ; l’addition de fractions les résout.
Wikipédia en français présente la moyenne harmonique comme adaptée au calcul de moyennes de vitesses, de durées et de rendements. Chaque terme 1/a est le temps que prend un kilomètre à cette vitesse : la formule fait donc la moyenne des temps par kilomètre, puis l’inverse.
Quand la moyenne arithmétique est la bonne
Si c’est le temps qui se répète, et non la distance, la moyenne des vitesses est correcte. Une heure à 30 km/h et une autre à 90 km/h couvrent 120 km en 2 h : 60 km/h, comme (30 + 90) ÷ 2. Avec les mêmes vitesses et des distances égales, la moyenne est 2 × 30 × 90 ÷ 120 = 45 km/h. La question décisive est de savoir quelle grandeur est égale dans les deux trajets. Pour la moyenne d’autres quantités de même poids, utilisez la moyenne de fractions.
Tableau des moyennes harmoniques
| Aller (km/h) | Retour (km/h) | Réelle (km/h) | Moyenne simple |
|---|---|---|---|
| 90 | 60 | 72 | 75 |
| 120 | 60 | 80 | 90 |
| 80 | 20 | 32 | 50 |
| 100 | 50 | 200/3 = 66,6… | 75 |
| 50 | 50 | 50 | 50 |
Plus les deux vitesses sont éloignées, plus la moyenne arithmétique s’écarte de la vraie ; elles ne coïncident que si les deux vitesses sont égales. Le cas 100 et 50 donne 200/3, un nombre décimal périodique (66,666… avec le 6 qui se répète) : gardez la fraction tant que vous calculez et arrondissez à la fin. Le guide des décimaux finis et périodiques explique quand cela arrive.
L’énigme : après un aller à 30 km/h, une moyenne de 60 est impossible
Pour une moyenne de 60 km/h sur 2d km, il faut un temps total de 2d ÷ 60 = d/30 h. Mais parcourir une distance d à 30 km/h consomme déjà d ÷ 30 = d/30 h. Il ne reste aucun temps pour le retour : aucune vitesse finie n’y parvient. Si l’aller se faisait à 40 km/h, il resterait d/30 − d/40 = d/120 h, et le retour devrait se faire à 120 km/h.
Ce que cette formule ne couvre pas
Elle vaut quand les deux trajets ont la même longueur et que la vitesse est constante sur chacun. Si les distances diffèrent ou s’il y a des arrêts, additionnez les durées réelles et divisez la distance totale par le temps total. Le guide de la vitesse, distance et temps avec des fractions traite ces cas. Les problèmes de robinets utilisent les inverses de façon voisine, mais on y additionne les débits ; vous les trouverez dans les problèmes de robinets.
Source : Wikipédia en français, article Moyenne harmonique (consulté le 16 octobre 2026).