Kecepatan rata-rata perjalanan pergi-pulang dengan jarak sama, pergi 60 km/jam dan pulang 40 km/jam, adalah 48 km/jam, bukan 50. Rata-rata aritmetika menipu karena bagian lambat berlangsung lebih lama: hasil eksaknya berasal dari 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48.
Intinya
- Hasil eksak: 48 km/jam, bukan 50.
- Rumus: rata-rata harmonik 2 ÷ (1/a + 1/b) bila kedua jarak sama.
- Sebabnya: perjalanan pulang 40 km/jam berlangsung 1,5 jam dibanding 1 jam saat pergi, jadi kecepatan lambat lebih berbobot.
- Waktu sama: jika tiap bagian berlangsung sama lama, rata-ratanya aritmetika, (a + b) ÷ 2 = 50.
- Teka-teki klasik: jika perjalanan pergi 30 km/jam, mencapai rata-rata 60 mustahil.
- Desimal berulang: 100 pergi dan 50 pulang menghasilkan 200/3 = 66,6… km/jam.
Kalkulator rata-rata pecahan mencari rata-rata dengan nilai eksak dan tanpa pembulatan di tengah jalan. Sebelum memakainya, ada baiknya memahami mengapa rata-rata dua kecepatan tidak dihitung seperti rata-rata dua nilai.
Kecepatan rata-rata pergi-pulang: perhitungan dengan d
Kecepatan rata-rata adalah jarak total dibagi waktu total, bukan rata-rata kedua kecepatan. Jika tiap bagian berukuran d, jarak totalnya 2d dan waktu totalnya adalah jumlah kedua waktu bagian.
- Pergi: waktu = d ÷ 60.
- Pulang: waktu = d ÷ 40.
- Waktu total = d/60 + d/40.
Untuk menjumlahkan kedua pecahan itu perlu penyebut persekutuan; 120 adalah penyebut persekutuan terkecil dari 60 dan 40. Jadi d/60 = 2d/120 dan d/40 = 3d/120, sehingga waktu totalnya 5d/120 = d/24. Penjumlahan pecahan dan alat penyebut persekutuan terkecil mengotomatiskan langkah itu, dan pembagian pecahan menyelesaikan hasil bagi terakhirnya.
Kecepatan rata-ratanya adalah:
2d ÷ (d/24) = 48.
Jarak d saling menghapus: hasilnya tidak bergantung pada panjang jalan, asalkan kedua bagian berukuran sama. Tidak masalah apakah perjalanannya 10 km atau 600 km.
Misalkan tiap bagian berukuran 60 km. Perjalanan pergi 60 km/jam memerlukan 1 jam; perjalanan pulang 40 km/jam memerlukan 60 ÷ 40 = 1,5 jam. Totalnya 120 km dalam 2,5 jam. Setelah dibagi, 120 ÷ 2,5 = 48 km/jam.
Angka 2,5 pada contoh adalah bilangan desimal: 2 jam setengah, yang sebagai pecahan adalah 5/2 jam. Konversi pecahan jam ke menit memberi 2,5 jam = 150 menit, dan hasilnya tidak berubah.
Rata-rata harmonik dan rumus 2 ÷ (1/a + 1/b)
Rata-rata harmonik dua bilangan a dan b adalah 2 ÷ (1/a + 1/b). Untuk 60 dan 40, kebalikannya adalah 1/60 dan 1/40; jumlahnya, dengan penyebut persekutuan 120, adalah 2/120 + 3/120 = 5/120. Maka 2 ÷ (5/120) = 240/5 = 48, nilai yang sama seperti hasil pembagian jarak total dengan waktu total.
Kebalikan suatu kecepatan punya makna fisik langsung: 1/60 adalah waktu per kilometer pada 60 km/jam, yaitu 1 jam setiap 60 km. Menjumlahkan kedua kebalikan lalu meratakannya memberi waktu rata-rata per kilometer; membalik waktu itu mengembalikan kecepatan rata-rata. Karena itulah rumus ini tidak meratakan kecepatan, melainkan waktu per satuan jarak.
Ada jalan pintas berguna bila hanya ada dua kecepatan: rata-rata harmonik juga sama dengan dua kali hasil kali dibagi jumlah, 2ab ÷ (a + b). Dengan 60 dan 40: 2 × 60 × 40 = 4800 dan 60 + 40 = 100, jadi 4800 ÷ 100 = 48. Kedua bentuk memberi hasil eksak; bentuk pertama memperjelas kaitannya dengan kebalikan.
(60 + 40) ÷ 2 = 50 ≠ 48; 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48 km/jam
Mengapa rata-rata harmoniknya lebih kecil dari 50?
Karena perjalanan pulang 40 km/jam menempuh jarak yang sama dengan perjalanan pergi 60 km/jam, tetapi memerlukan lebih banyak waktu. Perjalanan menghabiskan lebih banyak waktu pada kecepatan lambat, dan kecepatan itu menarik rata-rata ke bawah.
Pada contoh, perjalanan pergi memakan 1 jam dan pulang 1,5 jam. Dari 2,5 jam total, 60 % berlangsung pada 40 km/jam dan 40 % pada 60 km/jam. Pembobotan menurut waktu memberi 0,6 × 40 + 0,4 × 60 = 24 + 24 = 48. Pembobotan menurut banyaknya kecepatan (50 dan 50 masing-masing separuh) mengabaikan perbedaan durasi itu.
Kapan hasilnya sama dengan rata-rata aritmetika?
Bila kedua bagian berlangsung sama lama. Perjalanan 1 jam pada 60 km/jam dan 1 jam pada 40 km/jam menempuh 60 + 40 = 100 km dalam 2 jam: kecepatan rata-ratanya 100 ÷ 2 = 50 km/jam, yang sama dengan (60 + 40) ÷ 2. Di sini jaraknya tidak sama; waktunya yang sama.
Aturan umumnya: bila yang berulang adalah jarak, gunakan rata-rata harmonik; bila yang berulang adalah waktu, gunakan rata-rata aritmetika. Menukar mana dari keduanya yang sama adalah akar kesalahan 50 km/jam. Panduan perbandingan dan proporsi mengembangkan kesebandingan antara jarak, waktu, dan kecepatan.
Teka-teki: mencapai rata-rata 60 setelah pergi 30 itu mustahil
Jika perjalanan pergi dilakukan pada 30 km/jam dan diinginkan kecepatan rata-rata 60 km/jam untuk seluruh perjalanan, tidak ada kecepatan pulang yang bisa mencapainya. Untuk meratakan 60 pada jarak total 2d, waktu totalnya harus 2d ÷ 60 = d/30. Tetapi perjalanan pergi pada 30 km/jam sudah menghabiskan tepat waktu itu, d ÷ 30 = d/30. Anggaran waktunya habis di bagian pertama.
Dengan kata lain: agar rata-ratanya dua kali kecepatan pergi, perjalanan pulang harus menempuh jarak yang sama dalam waktu nol. Semakin cepat perjalanan pulang, semakin dekat rata-ratanya ke 60, tetapi tidak pernah mencapainya dengan kecepatan berhingga. Jawabannya bukan kecepatan yang sangat besar, melainkan kemustahilan memenuhi syarat itu.
Teka-tekinya berubah total jika perjalanan pergi sedikit lebih cepat. Misalkan perginya 40 km/jam. Anggaran waktunya tetap d/30, perjalanan pergi memakai d/40 dan tersisa d/30 − d/40 = d/120 jam. Perjalanan pulang memerlukan d ÷ (d/120) = 120 km/jam. Dengan nilai itu, rata-rata harmoniknya 2 ÷ (1/40 + 1/120) = 60, seperti yang diminta. Beralih dari 30 ke 40 km/jam saat pergi mengubah soal mustahil menjadi soal yang bisa diselesaikan.
Tabel rata-rata harmonik
Rumus 2 ÷ (1/a + 1/b) langsung menghitung rata-rata pasangan kecepatan mana pun dengan jarak sama. Tabel membandingkan nilai eksak dengan rata-rata aritmetika, yaitu jawaban yang salah.
| Pergi (km/jam) | Pulang (km/jam) | Rata-rata eksak | Rata-rata aritmetika (salah) |
|---|---|---|---|
| 60 | 40 | 48 | 50 |
| 90 | 60 | 72 | 75 |
| 120 | 60 | 80 | 90 |
| 80 | 20 | 32 | 50 |
| 100 | 50 | 200/3 = 66,6… | 75 |
| 50 | 50 | 50 | 50 |
Selisih antara kedua rata-rata adalah (a − b)² ÷ (2(a + b)): nilainya bergantung pada jarak antara kedua kecepatan dan juga pada jumlahnya. Karena itu 120 dan 60, dengan selisih 60, menyisakan selisih 10, sedangkan 80 dan 20, dengan selisih 60 yang sama, menyisakan 18. Pada 50 dan 50 selisihnya hilang, karena perjalanannya berlangsung pada satu kecepatan saja.
2 ÷ (1/a + 1/b) untuk setiap pasangan (a pergi, b pulang).
Kasus 100 dan 50 perlu perhatian: 200/3 bukan desimal berhingga. Saat 200 dibagi 3, hasilnya 66 dengan sisa, jadi penulisannya 66,6… km/jam, dengan angka 6 berulang tanpa henti. Itu desimal berulang, seperti 1/3 = 0,333… Untuk bekerja secara eksak, simpan pecahan 200/3 dan bulatkan hanya di akhir. Panduan desimal berhingga dan berulang menjelaskan cara mengenali dan menuliskan bentuk ini.
Bagaimana memeriksa bahwa 48 adalah hasil yang benar?
Kalikan kecepatan rata-rata dengan waktu total dan hasilnya harus jarak yang ditempuh. Dengan contoh 60 km tiap arah: 48 km/jam × 2,5 jam = 120 km, jarak totalnya. Pemeriksaan itu mengembalikan data awal, jadi rata-ratanya konsisten.
Bisa juga bernalar sebaliknya. Jika rata-ratanya 50 km/jam, dalam 2,5 jam akan ditempuh 125 km, lebih dari 120 km yang sebenarnya. Kelebihan 5 km itu menunjukkan bahwa 50 terlalu tinggi. Sebaliknya, 48 × 2,5 = 120 tepat. Panduan untuk memeriksa jawaban pecahan memuat cara kontrol seperti ini, dan panduan untuk memahami langkah-langkah penyelesaian membantu menemukan baris tempat nilai eksak diganti dengan hampiran.
Coba sendiri: tiga tantangan dengan jawaban
- Pergi 80 km/jam dan pulang 20 km/jam, jarak sama. Kecepatan rata-rata? Jawaban: 32 km/jam. Perhitungannya 2 ÷ (1/80 + 1/20) = 2 ÷ (1/80 + 4/80) = 2 ÷ (5/80) = 160/5 = 32. Rata-rata aritmetika akan memberi 50, jauh dari nilai sebenarnya.
- Satu jam pada 30 km/jam dan satu jam pada 90 km/jam. Kecepatan rata-rata? Jawaban: 60 km/jam, karena waktunya sama: ditempuh 30 + 90 = 120 km dalam 2 jam. Jika jaraknya sama, rata-ratanya 2 ÷ (1/30 + 1/90) = 45 km/jam. Pasangan kecepatan yang sama memberi 60 atau 45 bergantung pada apa yang sama.
- Perjalanan 100 km tiap arah pada 100 km/jam dan 50 km/jam. Lalu rata-ratanya? Jawaban: 66,6… km/jam. Waktunya 1 jam dan 2 jam, total tiga jam untuk 200 km: 200/3, desimal berulang. Rata-rata aritmetika, 75, terlalu tinggi.
Misalkan perjalanannya setengah lebih pendek
Misalkan seluruh perjalanan berukuran 60 km, 30 km tiap arah, bukan 120 km seperti pada contoh. Perjalanan pergi 60 km/jam memerlukan 30 ÷ 60 = 0,5 jam dan pulang 40 km/jam memerlukan 30 ÷ 40 = 0,75 jam. Totalnya 1,25 jam untuk 60 km, dan 60 ÷ 1,25 = 48 km/jam.
Hasilnya identik. Sebabnya, pada rumus 2d ÷ (d/24) jarak muncul di pembilang dan penyebut, lalu saling menghapus. Mengubah panjang perjalanan tidak mengubah rata-ratanya, asalkan kedua arah berukuran sama. Sifat ini menyederhanakan soal kecepatan pergi-pulang pada jarak yang sama.
Mengapa berhasil: kebalikan membobot waktu
Rata-rata harmonik berhasil karena kecepatan tersebar dalam waktu, bukan dalam banyaknya bagian. Setiap suku 1/a adalah waktu per kilometer pada kecepatan itu. Jumlah 1/60 + 1/40 = 1/24 adalah waktu untuk perjalanan 1 km pergi dan 1 km pulang, yaitu 2 km seluruhnya; waktu per kilometer seluruh perjalanan adalah setengahnya, 1/48 jam, dan kebalikannya memberi 48 km/jam.
Pembagian menutup penalarannya: 2d ÷ (d/24) = 2 × 24 = 48. Jaraknya saling menghapus dan tersisa bilangan yang hanya bergantung pada kedua kecepatan. Hasilnya, 48 km/jam, eksak.
Mekanisme ini juga menjelaskan mengapa 50 tampak masuk akal padahal bukan. Rata-rata aritmetika menganggap setiap kecepatan menempati waktu yang sama, padahal kecepatan yang lebih kecil menempati lebih banyak waktu untuk menempuh jarak yang sama. Bila Anda sudah mengetahui pecahan dari total yang menjadi bagian setiap ruas, kalkulator pecahan dari suatu jumlah mengalikannya dengan total itu.
Batas rata-rata harmonik
Rata-rata harmonik kecepatan menuntut kedua jaraknya sama. Jika perjalanan pergi dan pulang panjangnya berbeda, 2ab ÷ (a + b) tidak bisa dipakai; waktu keduanya harus dijumlahkan lalu jarak total dibagi waktu total. Rata-rata harmonik adalah jalan pintas untuk satu kasus tertentu, bukan definisi kecepatan rata-rata.
Rata-rata ini juga mengabaikan berhenti dan perubahan kecepatan. Jika kendaraan berhenti, waktu totalnya bertambah dan rata-ratanya turun; itu bukan lagi rata-rata harmonik, melainkan perhitungan dengan waktu nyata. Dan jika yang diratakan adalah waktu yang sama, alat yang tepat adalah rata-rata aritmetika. Memilih rata-rata yang salah adalah kesalahan mendasarnya, lebih dari sekadar salah berhitung.
Akhirnya, rata-rata harmonik selalu berada di bawah atau sama dengan rata-rata aritmetika. Itu bukan cacat rumus, melainkan akibat kecepatan lambat menempati lebih banyak waktu. Ketika kedua kecepatannya sama, kedua rata-ratanya pun sama.
Apa kaitannya dengan soal keran?
Soal keran memakai operasi yang sama dengan kebalikannya. Keran yang mengisi tangki dalam 3 jam menyumbang 1/3 tangki per jam, dan keran lain yang mengisinya dalam 6 jam menyumbang 1/6; bersama-sama keduanya menjumlah 1/3 + 1/6 = 1/2 per jam, sehingga tangki penuh dalam 1 ÷ (1/2) = 2 jam. Strukturnya mirip dengan dua kecepatan berjarak sama, karena keduanya memakai kebalikan; bedanya, di sini laju dijumlahkan.
Panduan soal debit dan kerja bersama membahas seluruh keluarga itu, dengan saluran pembuangan dan beberapa pekerja. Bila yang diketahui bukan tangki melainkan kecepatan, jarak, dan waktu, panduan kecepatan, jarak, dan waktu dengan pecahan bekerja dengan d = v × t dan konversinya. Penerapan sehari-hari dari perbandingan kecepatan ada pada pecahan pada sepeda, dengan pengembangan per putaran pedal.
Kesimpulan: kecepatan rata-rata pergi-pulang
Kecepatan rata-rata pergi-pulang dengan jarak sama dihitung dengan rata-rata harmonik, 2 ÷ (1/a + 1/b), bukan rata-rata aritmetika. Pergi 60 km/jam dan pulang 40 km/jam menghasilkan 48 km/jam karena perjalanan pulang lebih lama dan lebih berbobot dalam waktu total. Hanya bila kedua bagian berlangsung sama lama rata-ratanya sama dengan (a + b) ÷ 2. Dan jika perjalanan pergi 30 km/jam, mencapai rata-rata 60 mustahil: anggaran waktunya habis di bagian pertama.
Pertanyaan yang sering diajukan
Mengapa kecepatan rata-rata 60 dan 40 adalah 48, bukan 50?
Karena perjalanan pulang 40 km/jam berlangsung 1,5 jam dibanding 1 jam saat pergi. Kecepatan rata-rata adalah jarak total dibagi waktu total: 120 km ÷ 2,5 jam = 48 km/jam. Rata-rata aritmetika, 50, menganggap setiap kecepatan menempati waktu yang sama, dan itu tidak benar.
Bagaimana rumus rata-rata harmonik dua kecepatan?
Rumusnya 2 ÷ (1/a + 1/b), asalkan kedua jaraknya sama. Untuk 60 dan 40: 1/60 + 1/40 = 5/120, dan 2 ÷ (5/120) = 240/5 = 48. Varian 2ab ÷ (a + b) memberi hasil yang sama: 4800 ÷ 100 = 48.
Apa yang terjadi bila waktu pergi dan pulang sama?
Maka rata-ratanya aritmetika, (a + b) ÷ 2. Perjalanan 1 jam pada 60 km/jam dan 1 jam pada 40 km/jam menempuh 100 km dalam 2 jam, yaitu 50 km/jam. Dalam hal itu jaraknya tidak sama; yang berulang adalah waktunya.
Mungkinkah mencapai rata-rata 60 bila perjalanan pergi 30 km/jam?
Tidak, dengan kecepatan pulang berhingga apa pun. Meratakan 60 pada 2d menuntut waktu total d/30, dan perjalanan pergi 30 km/jam sudah menghabiskan tepat d/30. Tidak tersisa waktu untuk pulang. Jika perjalanan perginya 40 km/jam, perjalanan pulangnya harus 120 km/jam.
Bagaimana meratakan 100 dan 50 tanpa pembulatan?
Dengan pecahan eksaknya: 2 ÷ (1/100 + 1/50) = 2 ÷ (1/100 + 2/100) = 2 ÷ (3/100) = 200/3. Nilai itu 66,6… km/jam, sebuah desimal berulang; simpan 200/3 dan gunakan ≈ hanya saat menyajikan angka yang dibulatkan.