La velocità media di un viaggio di andata e ritorno con distanze uguali, andando a 60 km/h e tornando a 40 km/h, è 48 km/h, non 50. La media aritmetica inganna perché il tratto lento dura più tempo: il risultato esatto viene da 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48.
L’essenziale
- Risultato esatto: 48 km/h, non 50.
- Formula: media armonica 2 ÷ (1/a + 1/b) quando le due distanze sono uguali.
- Causa: il ritorno a 40 km/h dura 1,5 h contro 1 h all’andata, quindi la velocità lenta pesa di più.
- Tempi uguali: se ogni tratto dura lo stesso tempo, la media è quella aritmetica, (a + b) ÷ 2 = 50.
- Enigma classico: se l’andata è stata a 30 km/h, raggiungere una media di 60 è impossibile.
- Decimale periodico: 100 all’andata e 50 al ritorno danno 200/3 = 66,6… km/h.
La calcolatrice della media di frazioni trova una media con valori esatti e senza arrotondamenti intermedi. Prima di usarla conviene capire perché la media di due velocità non si calcola come quella di due voti.
Velocità media andata e ritorno: il calcolo con d
La velocità media è la distanza totale divisa per il tempo totale, non la media delle due velocità. Se ogni tratto misura d, la distanza totale è 2d e il tempo totale è la somma dei due tempi parziali.
- Andata: tempo = d ÷ 60.
- Ritorno: tempo = d ÷ 40.
- Tempo totale = d/60 + d/40.
Per sommare queste due frazioni serve un denominatore comune; 120 è il minimo comune denominatore di 60 e 40. Così d/60 = 2d/120 e d/40 = 3d/120, quindi il tempo totale è 5d/120 = d/24. La somma di frazioni e lo strumento del minimo comune denominatore automatizzano questo passaggio, e la divisione di frazioni risolve il quoziente finale.
La velocità media è allora:
2d ÷ (d/24) = 48.
La distanza d si semplifica: il risultato non dipende dalla lunghezza della strada, purché i due tratti misurino lo stesso. Non importa se il viaggio è di 10 km o di 600 km.
Supponi che ogni tratto misuri 60 km. L’andata a 60 km/h impiega 1 ora; il ritorno a 40 km/h impiega 60 ÷ 40 = 1,5 ore. Il totale è 120 km in 2,5 ore. Dividendo, 120 ÷ 2,5 = 48 km/h.
Il 2,5 dell’esempio è un numero decimale: due ore e mezza, cioè 5/2 di ora. La conversione da frazione di ora a minuti dà 2,5 h = 150 min, e il risultato non cambia.
La media armonica e la formula 2 ÷ (1/a + 1/b)
La media armonica di due numeri a e b è 2 ÷ (1/a + 1/b). Per 60 e 40, i reciproci sono 1/60 e 1/40; la loro somma, con denominatore comune 120, è 2/120 + 3/120 = 5/120. Quindi 2 ÷ (5/120) = 240/5 = 48, lo stesso valore ottenuto dividendo la distanza totale per il tempo totale.
Il reciproco di una velocità ha una lettura fisica diretta: 1/60 è il tempo per chilometro a 60 km/h, cioè 1 ora ogni 60 km. Sommare i due reciproci e farne la media dà il tempo medio per chilometro; invertire quel tempo restituisce la velocità media. Per questo la formula non fa la media delle velocità, ma dei tempi per unità di distanza.
Esiste una scorciatoia utile con due sole velocità: la media armonica è anche il doppio del prodotto diviso per la somma, 2ab ÷ (a + b). Con 60 e 40: 2 × 60 × 40 = 4800 e 60 + 40 = 100, quindi 4800 ÷ 100 = 48. Le due forme danno il risultato esatto; la prima rende chiaro il legame con il reciproco.
(60 + 40) ÷ 2 = 50 ≠ 48; 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48 km/h
Perché la media armonica è minore di 50?
Perché il ritorno a 40 km/h copre la stessa distanza dell’andata a 60 km/h, ma impiega più tempo. Il viaggio passa più tempo alla velocità lenta, e quella velocità trascina la media verso il basso.
Nell’esempio, l’andata occupa 1 ora e il ritorno 1,5 ore. Delle 2,5 ore totali, il 60 % trascorre a 40 km/h e il 40 % a 60 km/h. Ponderare per il tempo dà 0,6 × 40 + 0,4 × 60 = 24 + 24 = 48. Ponderare per il numero di velocità (50 e 50 a metà) ignora questa differenza di durata.
Quando coincide con la media aritmetica?
Quando i due tratti durano lo stesso tempo. Un viaggio di 1 ora a 60 km/h e 1 ora a 40 km/h percorre 60 + 40 = 100 km in 2 ore: la velocità media è 100 ÷ 2 = 50 km/h, che coincide con (60 + 40) ÷ 2. Qui le distanze non sono uguali; i tempi sì.
La regola generale è: se ciò che si ripete è la distanza, si usa la media armonica; se ciò che si ripete è il tempo, si usa la media aritmetica. Confondere quale delle due grandezze è uguale è la radice dell’errore dei 50 km/h. La guida sul rapporto e proporzione sviluppa la proporzionalità tra distanza, tempo e velocità.
L’enigma: raggiungere la media di 60 dopo un’andata a 30 è impossibile
Se l’andata è stata fatta a 30 km/h e si vuole una velocità media di 60 km/h sull’intero viaggio, nessuna velocità di ritorno può riuscirci. Per ottenere una media di 60 su una distanza totale 2d, il tempo totale dovrebbe essere 2d ÷ 60 = d/30. Ma l’andata a 30 km/h ha già consumato esattamente quel tempo, d ÷ 30 = d/30. Il budget di tempo si è esaurito nel primo tratto.
Detto in altro modo: perché la media sia il doppio della velocità dell’andata, il ritorno dovrebbe percorrere la stessa distanza in tempo zero. Più veloce è il ritorno, più la media si avvicina a 60, ma non la raggiunge mai con velocità finita. La risposta non è una velocità enorme, ma l’impossibilità di soddisfare la condizione.
L’enigma cambia del tutto se l’andata è un po’ più veloce. Supponi che sia stata a 40 km/h. Il budget di tempo resta d/30, l’andata spende d/40 e restano d/30 − d/40 = d/120 ore. Il ritorno ha bisogno di d ÷ (d/120) = 120 km/h. Con questi valori la media armonica è 2 ÷ (1/40 + 1/120) = 60, come richiesto. Passare da 30 a 40 km/h all’andata trasforma un problema impossibile in uno risolvibile.
Tabella delle medie armoniche
La formula 2 ÷ (1/a + 1/b) calcola in un colpo la media di qualsiasi coppia di velocità con distanze uguali. La tabella confronta il valore esatto con la media aritmetica, che è la risposta sbagliata.
| Andata (km/h) | Ritorno (km/h) | Media esatta | Media aritmetica (errata) |
|---|---|---|---|
| 60 | 40 | 48 | 50 |
| 90 | 60 | 72 | 75 |
| 120 | 60 | 80 | 90 |
| 80 | 20 | 32 | 50 |
| 100 | 50 | 200/3 = 66,6… | 75 |
| 50 | 50 | 50 | 50 |
La differenza tra le due medie vale (a − b)² ÷ (2(a + b)): dipende dalla separazione tra le velocità e anche dalla loro somma. Perciò 120 e 60, con una differenza di 60, lasciano uno scarto di 10, mentre 80 e 20, con la stessa differenza di 60, ne lasciano 18. Con 50 e 50 la differenza si annulla, perché il viaggio avviene a una sola velocità.
2 ÷ (1/a + 1/b) per ogni coppia (a all'andata, b al ritorno).
Il caso 100 e 50 merita attenzione: 200/3 non è un decimale esatto. Dividendo 200 per 3 si ottiene 66 con un resto, quindi la scrittura è 66,6… km/h, con il 6 ripetuto senza fine. È un decimale periodico, come 1/3 = 0,333… Per lavorare con esattezza conviene conservare la frazione 200/3 e arrotondare solo alla fine. La guida sui decimali finiti e periodici spiega come riconoscere e scrivere queste espressioni.
Come si verifica che 48 è il risultato corretto?
Si moltiplica la velocità media per il tempo totale e si deve ottenere la distanza percorsa. Con l’esempio di 60 km per senso: 48 km/h × 2,5 h = 120 km, la distanza totale. La verifica recupera il dato di partenza, quindi la media è coerente.
Si può anche ragionare al contrario. Se la media fosse 50 km/h, in 2,5 ore si percorrerebbero 125 km, più dei 120 km reali. Questo eccesso di 5 km tradisce il fatto che 50 è troppo alta. Invece 48 × 2,5 = 120 esatti. La guida per verificare il risultato di una frazione raccoglie questo tipo di controllo, e quella per interpretare i passaggi di una soluzione aiuta a individuare la riga in cui un valore esatto è stato sostituito da un’approssimazione.
Provalo: tre sfide con risposte
- Andata a 80 km/h e ritorno a 20 km/h, distanze uguali. Velocità media? Risposta: 32 km/h. Il calcolo è 2 ÷ (1/80 + 1/20) = 2 ÷ (1/80 + 4/80) = 2 ÷ (5/80) = 160/5 = 32. La media aritmetica darebbe 50, molto lontana dal valore reale.
- Un’ora a 30 km/h e un’ora a 90 km/h. Velocità media? Risposta: 60 km/h, perché i tempi sono uguali: si percorrono 30 + 90 = 120 km in 2 ore. Se le distanze fossero uguali, la media sarebbe 2 ÷ (1/30 + 1/90) = 45 km/h. La stessa coppia di velocità dà 60 o 45 a seconda di ciò che è uguale.
- Un tragitto di 100 km per senso a 100 km/h e 50 km/h. E la media? Risposta: 66,6… km/h. I tempi sono 1 h e 2 h, tre ore in totale per 200 km: 200/3, un decimale periodico. La media aritmetica, 75, è troppo alta.
Supponi che il viaggio fosse la metà
Supponi che l’intero tragitto misurasse 60 km, 30 km per senso, invece dei 120 km dell’esempio. L’andata a 60 km/h impiega 30 ÷ 60 = 0,5 ore e il ritorno a 40 km/h impiega 30 ÷ 40 = 0,75 ore. Il totale è 1,25 ore per 60 km, e 60 ÷ 1,25 = 48 km/h.
Il risultato è identico. Il motivo è che nella formula 2d ÷ (d/24) la distanza appare al numeratore e al denominatore, e si semplifica. Cambiare la lunghezza del tragitto non altera la media, purché i due sensi misurino lo stesso. Questa proprietà semplifica i problemi di velocità di andata e ritorno sulla stessa distanza.
Perché funziona: il reciproco pesa il tempo
La media armonica funziona perché la velocità si distribuisce nel tempo, non nel numero di tratti. Ogni termine 1/a è il tempo per chilometro a quella velocità. La somma 1/60 + 1/40 = 1/24 è il tempo di un tragitto di 1 km all’andata e 1 km al ritorno, cioè 2 km in totale; il tempo per chilometro dell’intero viaggio è la metà, 1/48 h, e il suo reciproco dà 48 km/h.
La divisione chiude il ragionamento: 2d ÷ (d/24) = 2 × 24 = 48. La distanza si semplifica e resta un numero che dipende solo dalle due velocità. Il risultato, 48 km/h, è esatto.
Questo meccanismo spiega anche perché 50 sembra ragionevole senza esserlo. La media aritmetica suppone che ogni velocità occupi lo stesso tempo, mentre la velocità minore occupa più tempo per coprire la stessa distanza. Se conosci già la frazione del totale che corrisponde a ciascun tratto, la calcolatrice di frazione di una quantità la moltiplica per il totale.
Limiti della media armonica
La media armonica delle velocità richiede che le due distanze siano uguali. Se andata e ritorno hanno lunghezze diverse, non si può applicare 2ab ÷ (a + b); bisogna sommare i due tempi e dividere la distanza totale per il tempo totale. La media armonica è una scorciatoia per un caso specifico, non la definizione di velocità media.
Non tiene conto nemmeno delle soste né dei cambi di velocità. Se il veicolo si ferma, il tempo totale cresce e la media scende; non è più una media armonica, ma un calcolo con tempi reali. E se ciò che si media sono tempi uguali, lo strumento corretto è la media aritmetica. Scegliere la media sbagliata è l’errore di fondo, più che sbagliare l’aritmetica.
Infine, la media armonica resta sempre sotto o uguale a quella aritmetica. Non è un difetto della formula, ma la conseguenza del fatto che la velocità lenta occupa più tempo. Quando le due velocità sono uguali, le due medie coincidono.
Che rapporto ha con i problemi dei rubinetti?
I problemi dei rubinetti usano la stessa operazione con i reciproci. Un rubinetto che riempie un serbatoio in 3 ore fornisce 1/3 di serbatoio all’ora, e un altro che lo riempie in 6 ore fornisce 1/6; insieme sommano 1/3 + 1/6 = 1/2 all’ora, quindi riempiono il serbatoio in 1 ÷ (1/2) = 2 ore. La struttura è simile a quella di due velocità con la stessa distanza, perché in entrambi i casi si lavora con i reciproci; la differenza è che qui le portate si sommano.
La guida sui problemi di lavoro e rubinetti copre tutta questa famiglia, con scarichi e più lavoratori. Quando invece di un serbatoio si conoscono velocità, distanza e tempo, la guida su velocità, distanza e tempo con frazioni lavora con d = v × t e le sue conversioni. Un’applicazione quotidiana dei rapporti di velocità si trova in frazioni in bicicletta, con lo sviluppo per pedalata.
Conclusione: la velocità media andata e ritorno
La velocità media andata e ritorno con distanze uguali si calcola con la media armonica, 2 ÷ (1/a + 1/b), non con quella aritmetica. Andare a 60 km/h e tornare a 40 km/h dà 48 km/h perché il ritorno dura di più e pesa di più nel tempo totale. Solo quando i due tratti durano lo stesso la media coincide con (a + b) ÷ 2. E se l’andata è stata a 30 km/h, raggiungere una media di 60 è impossibile: il budget di tempo si esaurisce nel primo tratto.
Domande frequenti
Perché la velocità media di 60 e 40 è 48 e non 50?
Perché il ritorno a 40 km/h dura 1,5 ore contro 1 ora all’andata. La velocità media è la distanza totale divisa per il tempo totale: 120 km ÷ 2,5 h = 48 km/h. La media aritmetica, 50, suppone che ogni velocità occupi lo stesso tempo, e non è così.
Qual è la formula della media armonica di due velocità?
È 2 ÷ (1/a + 1/b), purché le due distanze siano uguali. Per 60 e 40: 1/60 + 1/40 = 5/120, e 2 ÷ (5/120) = 240/5 = 48. La variante 2ab ÷ (a + b) dà lo stesso: 4800 ÷ 100 = 48.
Cosa succede se i tempi di andata e ritorno sono uguali?
Allora la media è quella aritmetica, (a + b) ÷ 2. Un viaggio di 1 ora a 60 km/h e 1 ora a 40 km/h percorre 100 km in 2 ore, cioè 50 km/h. In quel caso le distanze non sono uguali; ciò che si ripete è il tempo.
È possibile raggiungere una media di 60 se l’andata è stata a 30 km/h?
No, con nessuna velocità di ritorno finita. Una media di 60 su 2d richiede un tempo totale di d/30, e l’andata a 30 km/h ha già speso esattamente d/30. Resta tempo zero per il ritorno. Se l’andata fosse a 40 km/h, il ritorno dovrebbe essere di 120 km/h.
Come si calcola la media di 100 e 50 senza arrotondare?
Con la frazione esatta: 2 ÷ (1/100 + 1/50) = 2 ÷ (1/100 + 2/100) = 2 ÷ (3/100) = 200/3. Quel valore è 66,6… km/h, un decimale periodico; conserva 200/3 e usa ≈ solo quando presenti il numero arrotondato.