Ir a 60 km/h e voltar a 40 km/h pelo mesmo caminho dá uma velocidade média de 48 km/h, não 50. A média aritmética falha porque no trecho lento se passa mais tempo. A velocidade média é sempre a distância total dividida pelo tempo total.
Como calcular com um percurso concreto
Escolha um comprimento para cada sentido; com 60 km o cálculo fica limpo, e mais abaixo se vê que qualquer outro comprimento dá o mesmo resultado.
Exemplo resolvido: 60 km de ida a 60 km/h e 60 km de volta a 40 km/h
Uma viagem de ida e volta tem dois trechos iguais de 60 km. Qual é a velocidade média do percurso todo?
- Tempo da ida. 60 ÷ 60 = 1 h.
- Tempo da volta. 60 ÷ 40 = 3/2 h, ou seja, 1,5 h.
- Totais. 60 + 60 = 120 km em 1 + 3/2 = 5/2 h.
- Divida. 120 ÷ 5/2 = 120 × 2/5 = 48.
Resultado: 48 km/h.
Conferência: 48 km/h durante 2,5 h percorrem 120 km, a distância real. A 50 km/h seriam 125 km.
Se os números saem como frações de hora, a calculadora de dividir frações faz o último passo, e fração de hora para minutos converte 5/2 h em 150 min.
A fórmula curta: a média harmônica
Quando os dois trechos têm o mesmo comprimento, a distância se cancela e sobra a média harmônica das duas velocidades a e b: 2ab ÷ (a + b), ou, de forma equivalente, 2 ÷ (1/a + 1/b). Com 60 e 40, 2 × 60 × 40 = 4800 e 4800 ÷ 100 = 48. Com uma distância d por sentido, o tempo total é d/60 + d/40 = d/24, e 2d ÷ (d/24) = 48 para qualquer d: tanto faz que a viagem seja de 10 km ou de 600 km. Os passos de somar d/60 e d/40 usam o denominador comum 120; a soma de frações os resolve.
A Wikipédia em português indica que essa média costuma ser usada quando se quer a média entre duas ou mais taxas. Cada termo 1/a é o tempo que cada quilômetro custa a essa velocidade, então a fórmula faz a média dos tempos por quilômetro e depois os inverte.
Quando a média aritmética vale
Se o que se repete é o tempo e não a distância, a média das velocidades está correta. Uma hora a 30 km/h e outra a 90 km/h percorrem 120 km em 2 h: 60 km/h, igual a (30 + 90) ÷ 2. Com o mesmo par e distâncias iguais, a média é 2 × 30 × 90 ÷ 120 = 45 km/h. A pergunta que decide é qual grandeza é igual nos dois trechos. Para a média de outras quantidades com o mesmo peso, use a média de frações.
Tabela de médias harmônicas
| Ida (km/h) | Volta (km/h) | Real (km/h) | Média simples |
|---|---|---|---|
| 90 | 60 | 72 | 75 |
| 120 | 60 | 80 | 90 |
| 80 | 20 | 32 | 50 |
| 100 | 50 | 200/3 = 66,6… | 75 |
| 50 | 50 | 50 | 50 |
Quanto mais separadas estão as duas velocidades, mais a média aritmética se afasta da real, e só coincidem quando as duas velocidades são iguais. O caso de 100 e 50 dá 200/3, uma dízima periódica (66,6… com o 6 se repetindo); conserve a fração enquanto operar e arredonde só no fim. O guia de decimais exatos e periódicos explica quando isso ocorre.
O enigma: depois de ir a 30 km/h, fazer média 60 é impossível
Para uma média de 60 km/h em 2d km é preciso um tempo total de 2d ÷ 60 = d/30 hora. Mas ir a 30 km/h uma distância d já consome d ÷ 30 = d/30 hora. Não sobra tempo para a volta, e nenhuma velocidade finita resolve. Se a ida fosse a 40 km/h, sobrariam d/30 − d/40 = d/120 hora e a volta teria de ser a 120 km/h.
O que esta fórmula não cobre
Serve quando os dois trechos têm o mesmo comprimento e a velocidade é constante em cada um. Se as distâncias são diferentes ou há paradas, some os tempos reais e divida a distância total pelo tempo total. O guia de velocidade, distância e tempo com frações trabalha esses casos. Os problemas de torneiras usam recíprocos de modo parecido, mas ali se somam as taxas; estão em problemas de torneiras.
Fonte: Wikipédia em português, artigo Média harmônica (consultado em 17 de outubro de 2026).