Fährst du mit 60 km/h hin und mit 40 km/h auf demselben Weg zurück, ist deine Durchschnittsgeschwindigkeit 48 km/h und nicht 50. Das arithmetische Mittel stimmt nicht, weil du auf dem langsamen Abschnitt mehr Zeit verbringst. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist immer die Gesamtstrecke geteilt durch die Gesamtzeit.
So rechnest du mit einer konkreten Strecke
Wähle für jede Richtung eine Länge; mit 60 km wird die Rechnung übersichtlich, und weiter unten siehst du, dass jede andere Länge dasselbe ergibt.
Beispiel: je 60 km, erst mit 60 und dann mit 40 km/h
Eine Hin- und Rückfahrt besteht aus zwei gleich langen Abschnitten von je 60 km. Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit der ganzen Fahrt?
- Zeit für die Hinfahrt. 60 ÷ 60 = 1 h.
- Zeit für die Rückfahrt. 60 ÷ 40 = 3/2 h, also 1,5 h.
- Gesamtwerte. 60 + 60 = 120 km in 1 + 3/2 = 5/2 h.
- Dividiere. 120 ÷ 5/2 = 120 × 2/5 = 48.
Ergebnis: 48 km/h.
Probe: 48 km/h über 2,5 h ergeben 120 km, die tatsächliche Strecke. Mit 50 km/h wären es 125 km.
Ergeben sich die Zeiten als Bruchteile einer Stunde, übernimmt der Rechner zum Dividieren von Brüchen den letzten Schritt, und Stundenbruch in Minuten macht aus 5/2 h die Angabe 150 min.
Die Kurzformel: das harmonische Mittel
Sind beide Abschnitte gleich lang, kürzt sich die Strecke, und es bleibt das harmonische Mittel der beiden Geschwindigkeiten a und b: 2ab ÷ (a + b), oder gleichwertig 2 ÷ (1/a + 1/b). Mit 60 und 40 ist 2 × 60 × 40 = 4800 und 4800 ÷ 100 = 48. Bei einer Strecke d je Richtung beträgt die Gesamtzeit d/60 + d/40 = d/24, und 2d ÷ (d/24) = 48 für jedes d: Es spielt keine Rolle, ob die Fahrt 10 km oder 600 km lang ist. Beim Addieren von d/60 und d/40 dient 120 als gemeinsamer Nenner; die Bruchaddition rechnet das für dich.
Die deutsche Wikipedia weist darauf hin, dass sich das harmonische Mittel häufig zum Mitteln von Geschwindigkeiten, Zeiten und Raten eignet. Jeder Term 1/a ist die Zeit, die jeder Kilometer bei dieser Geschwindigkeit kostet; die Formel mittelt also Zeiten pro Kilometer und kehrt das Ergebnis danach um.
Wann das arithmetische Mittel doch stimmt
Ist in beiden Abschnitten die Zeit gleich und nicht die Strecke, stimmt das Mittel der Geschwindigkeiten. Eine Stunde mit 30 km/h und eine mit 90 km/h ergeben 120 km in 2 h: 60 km/h, genau wie (30 + 90) ÷ 2. Bei demselben Paar und gleichen Strecken ist das Mittel 2 × 30 × 90 ÷ 120 = 45 km/h. Entscheidend ist die Frage, welche Größe in beiden Abschnitten gleich ist. Für den Durchschnitt anderer Größen mit gleichem Gewicht nutzt du den Mittelwert von Brüchen.
Tabelle der harmonischen Mittel
| Hin (km/h) | Zurück (km/h) | Tatsächlich (km/h) | Einfaches Mittel |
|---|---|---|---|
| 90 | 60 | 72 | 75 |
| 120 | 60 | 80 | 90 |
| 80 | 20 | 32 | 50 |
| 100 | 50 | 200/3 = 66,6… | 75 |
| 50 | 50 | 50 | 50 |
Je weiter die beiden Geschwindigkeiten auseinanderliegen, desto stärker weicht das arithmetische Mittel vom tatsächlichen ab; sie stimmen nur überein, wenn beide Geschwindigkeiten gleich sind. Der Fall 100 und 50 ergibt 200/3, eine periodische Dezimalzahl (66,6… mit sich wiederholender 6); behalte beim Rechnen den Bruch und runde erst am Ende. Der Ratgeber zu endlichen und periodischen Dezimalzahlen erklärt, wann das passiert.
Das Rätsel: Nach 30 km/h ist ein Schnitt von 60 unmöglich
Für einen Schnitt von 60 km/h über 2d km braucht man eine Gesamtzeit von 2d ÷ 60 = d/30 Stunden. Die Hinfahrt mit 30 km/h über die Strecke d verbraucht aber schon d ÷ 30 = d/30 Stunden. Für die Rückfahrt bleibt keine Zeit, also reicht keine noch so hohe Geschwindigkeit. Wäre die Hinfahrt mit 40 km/h gefahren worden, blieben d/30 − d/40 = d/120 Stunden, und die Rückfahrt müsste 120 km/h schnell sein.
Was diese Formel nicht abdeckt
Sie gilt, wenn beide Abschnitte gleich lang sind und die Geschwindigkeit in jedem Abschnitt konstant ist. Bei unterschiedlichen Strecken oder Pausen addierst du die tatsächlichen Zeiten und teilst die Gesamtstrecke durch die Gesamtzeit. Der Ratgeber zu Geschwindigkeit, Strecke und Zeit mit Brüchen behandelt diese Fälle. Aufgaben zu Wasserhähnen nutzen Kehrwerte auf ähnliche Weise, doch dort addierst du die Raten; du findest sie unter Zufluss und Arbeitsrate.
Quelle: Wikipedia, Artikel Harmonisches Mittel (abgerufen am 16. Oktober 2026).