Zwei Hähne, die in 3 h und in 6 h füllen, brauchen zusammen 2 h, nicht 4,5 h. Du addierst, was jeder Hahn in einer Stunde füllt, und kehrst die Summe um. Du siehst drei gelöste Fälle, mit zwei Hähnen, mit einem Abfluss und mit der fehlenden Zeit, und wie du jede Antwort prüfst.
| Situation | Was du mit den Raten tust | Beispiel |
|---|---|---|
| Zwei oder mehr Hähne gleichzeitig offen | Addieren und die Summe umkehren | 3 h und 6 h → 2 h |
| Ein Hahn und ein Abfluss | Die Rate des Abflusses abziehen | 4 h und 12 h → 6 h |
| Das Ganze und ein Teil sind bekannt | Den bekannten Teil vom Ganzen abziehen | Zusammen 4 h, einer allein 6 h → der andere 12 h |
Das Wichtigste
- Die Rate eines Hahns ist der Kehrwert seiner Zeit; füllt er das Becken in 5 h, trägt er 1/5 pro Stunde bei.
- Raten werden addiert, weil sie dasselbe messen, nämlich Becken pro Stunde. Zeiten addierst du nicht.
- Das Ergebnis prüfst du, indem du die Gesamtrate mit der Zeit multiplizierst; es muss 1 Becken ergeben.
Gelöstes Beispiel: Hähne mit 3 h und 6 h
Ein Hahn füllt ein Becken in 3 Stunden, ein anderer in 6 Stunden. Wie lange brauchen sie, wenn du beide gleichzeitig öffnest?
- Verwandle jede Zeit in eine Rate. Der erste trägt 1/3 Becken pro Stunde bei, der zweite 1/6.
- Suche den gemeinsamen Nenner. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 3 und 6 ist 6, also ist 1/3 = 2/6.
- Addiere die Raten. 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 Becken pro Stunde.
- Kehre die Summe um. 1 ÷ 1/2 = 2 Stunden.
Sie brauchen 2 Stunden.
Probe. In 2 Stunden füllt der erste 2 von 3 Teilen und der zweite 1 von 3, zusammen ein volles Becken.
Warum man Raten addiert und keine Zeiten
Eine Rate sagt, wie viel Arbeit in einer Stunde erledigt wird, und die Arbeit zweier gleichzeitig offener Hähne summiert sich Stunde für Stunde. Eine Zeit dagegen sagt, wie lange eine ganze Aufgabe dauert, und die Zeiten gleichzeitiger Aufgaben summieren sich nicht. 3 + 6 = 9 h würde beschreiben, wie lange es dauert, erst die eine und dann die andere Aufgabe zu erledigen, nicht, wie lange beide zusammen brauchen.
Auch der Mittelwert hilft nicht. Der Mittelwert von 3 h und 6 h ist 4,5 h, aber der Hahn mit 3 h schafft doppelt so viel wie der mit 6 h, und zusammen brauchen sie weniger als jeder allein. Deshalb verrät eine Antwort, die größer ist als die kleinste Zeit, einen Fehler.
Der letzte Schritt benutzt den Kehrwert. Die deutsche Wikipedia beschreibt, dass man den Kehrbruch eines Bruchs erhält, indem man Zähler und Nenner vertauscht; der Kehrwert von a/b ist also b/a (abgerufen am 17. Oktober 2026). Wenn du wiederholen willst, wie man ihn bildet, hilft der Ratgeber zum Kehrwert eines Bruchs. Für die Addition mit verschiedenen Nennern nutzt du den Rechner zum Brüche addieren; der Ratgeber warum man Nenner nicht addiert erklärt Schritt 2 des Beispiels.
Ein Hahn mit Abfluss
Ein Abfluss arbeitet gegen den Hahn. Füllt ein Hahn das Becken in 4 Stunden und leert ein Abfluss es in 12 Stunden, ist die Nettorate 1/4 − 1/12 = 3/12 − 1/12 = 1/6 Becken pro Stunde. Die Zeit beträgt 6 Stunden.
Mit offenem Abfluss dauert das Füllen länger als mit dem Hahn allein, und 6 h ist mehr als 4 h. Kommt bei dir eine kürzere Zeit heraus, hast du die Rate des Abflusses addiert. Der Rechner zum Brüche subtrahieren löst diese Subtraktion.
Wenn die Zeit eines Beteiligten fehlt
Manchmal kennst du die gemeinsame Zeit und die Zeit eines Einzelnen. Zwei Arbeiter schaffen eine Arbeit zusammen in 4 Stunden, und der zweite würde allein 6 Stunden brauchen. Die gemeinsame Rate ist 1/4, die des zweiten 1/6, also ist die des ersten die Differenz, 3/12 − 2/12 = 1/12 Arbeit pro Stunde. Der erste braucht 12 Stunden.
Hier subtrahierst du, weil das Ganze und ein Teil bekannt sind. Die fehlende Zeit muss größer sein als die gemeinsame, und 12 h ist es. Wenn du die Aufgabe lieber als Gleichung ansetzt, löst der Rechner für Bruchgleichungen eine Gleichheit mit Unbekannter.
So prüfst du jedes Ergebnis
Multipliziere die Gesamtrate mit der Zeit und kontrolliere, dass genau 1 herauskommt. Beim Abfluss ergibt die Nettorate mal 6 Stunden 1, beim Arbeiter seine Rate mal 12 Stunden ebenfalls. Kommt nicht 1 heraus, wurde eine Rate falsch gebildet, oder eine Summe hätte eine Differenz sein müssen. Der Ratgeber zum Prüfen eines Bruchergebnisses sammelt weitere Kontrollen.
Die zweite Kontrolle ist die Größenordnung. Bei mehreren Hähnen ist die gemeinsame Zeit kürzer als die kürzeste Einzelzeit, bei einem Abfluss länger als die Zeit des Hahns allein. Und stehen die Zeiten in verschiedenen Einheiten, rechne sie vor dem Bilden der Raten in eine einzige um.
Grenzen der Methode
Die Methode setzt voraus, dass jeder Hahn, Arbeiter oder Drucker sein Tempo von Anfang bis Ende hält. Ändert sich der Durchfluss, etwa weil der Druck sinkt, sind die Raten nicht mehr konstant, und du brauchst einen anderen Ansatz. Aufgaben zu Strecke, Geschwindigkeit und Zeit folgen einer anderen Beziehung, die im Ratgeber zur Geschwindigkeit mit Brüchen behandelt wird.
Dieselbe Arithmetik taucht in der Physik auf: Parallel geschaltete Widerstände werden kombiniert, indem man Kehrwerte addiert, wie im Beitrag zur Parallelschaltung von Widerständen zu sehen ist. Weitere Aufgaben mit Alltagskontext findest du bei den Sachaufgaben mit Brüchen.
Übe
- Ein Hahn füllt ein Becken in 5 h, ein anderer in 20 h. Wie lange brauchen sie zusammen?
- Zwei Hähne füllen in 4 h und 6 h, ein Abfluss leert in 12 h. Wie lange dauert es, bis das Becken voll ist?
- Ein Hahn mit 2 h arbeitet 1 h allein, dann wird ein weiterer mit 6 h geöffnet. Wie lange dauert es insgesamt, in Stunden und Minuten?
Antworten anzeigen
- 1/5 + 1/20 = 4/20 + 1/20 = 5/20 = 1/4, also brauchen sie 4 h.
- Die Raten sind 3/12 + 2/12 − 1/12 = 4/12, also 1/3 pro Stunde: Es dauert 3 h.
- In der ersten Stunde füllt er das halbe Becken, die andere Hälfte bleibt. Zusammen füllen sie 1/2 + 1/6 = 2/3 pro Stunde, die zweite Phase dauert also 1/2 ÷ 2/3 = 3/4 h = 45 min, und insgesamt sind es 1 h 45 min.
Quelle: Wikipedia, Artikel Kehrwert (abgerufen am 17. Oktober 2026).