Den Kehrwert eines Bruchs erhältst du, indem du Zähler und Nenner vertauschst; der Kehrwert von 5/8 ist 8/5. Er heißt auch multiplikatives Inverses und ist die Zahl, die mit dem Bruch multipliziert 1 ergibt. Mit ihm wird Dividieren zum Multiplizieren, wie beim Dividieren von Brüchen; die Anschauung dazu findest du unter warum die Division durch einen Bruch das Ergebnis vergrößern kann.
Die einzige Zahl ohne Kehrwert ist die 0.
| Du hast | So geht's | Kehrwert |
|---|---|---|
| Einen Bruch, 3/4 | Zähler und Nenner vertauschen | 4/3 |
| Eine ganze Zahl, 5 | Als 5/1 schreiben und vertauschen | 1/5 |
| Eine gemischte Zahl, 3 1/7 | In einen unechten Bruch umwandeln und vertauschen | 7/22 |
| Einen negativen Bruch, −4/9 | Zähler und Nenner vertauschen, das Vorzeichen behalten | −9/4 |
| Die Null | Es gibt nichts zu tun | Existiert nicht |
Die Tabelle deckt alle Fälle des Ratgebers ab. Nur die Vorbereitung ändert sich, das Vertauschen der Terme bleibt immer gleich.
Ein Bruch größer als 1 wird genauso umgekehrt. Der Kehrwert von 9/4 ist 4/9 und damit kleiner als 1. Allgemein gilt: Der Kehrwert eines positiven Bruchs kleiner als 1 ist größer als 1, und umgekehrt.
Den ersten Schritt erledigt der Rechner gemischte Zahl in Bruch. Die Reihenfolge hat einen Grund: Eine gemischte Zahl ist die Summe aus einer ganzen Zahl und einem Bruch, nicht ein einzelner Quotient.
Ganze Zahlen und negative Zahlen: Das Vorzeichen bleibt
Jede ganze Zahl ist ein Bruch mit dem Nenner 1, also ist der Kehrwert von n gleich 1/n. Deshalb ist Teilen durch 5 dasselbe wie Multiplizieren mit 1/5. Bei negativen Zahlen bleibt das Vorzeichen, wo es ist. Der Kehrwert von −4/9 ist −9/4, denn das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv und (−4/9) × (−9/4) = 36/36 = 1. Würdest du das Vorzeichen ändern, käme −1 heraus.
Beispiel: der Kehrwert von 3 1/7
Du willst eine gemischte Zahl mit ganzem Teil und Bruch umkehren.
- Wandle in einen unechten Bruch um. 3 × 7 + 1 = 22, also ist 3 1/7 = 22/7.
- Vertausche Zähler und Nenner. Die 22 rutscht nach unten, die 7 nach oben.
- Schreibe das Ergebnis. 7/22.
Der Kehrwert ist 7/22.
Probe: 22/7 × 7/22 = 154/154 = 1.
Multiplikatives Inverses und Gegenzahl
Die beiden Inversen beantworten verschiedene Fragen. Die Gegenzahl, das additive Inverse, ist die Zahl, die du addierst, um 0 zu erhalten; du bekommst sie durch Vorzeichenwechsel. Das multiplikative Inverse ist die Zahl, mit der du multiplizierst, um 1 zu erhalten; du bekommst sie durch Vertauschen der Terme.
| Zahl | Gegenzahl (Summe 0) | Kehrwert (Produkt 1) |
|---|---|---|
| −4/9 | 4/9 | −9/4 |
| 5 | −5 | 1/5 |
| 0 | 0 | existiert nicht |
Die Null ist ihre eigene Gegenzahl, hat aber keinen Kehrwert, denn 0 × x ergibt für jedes x null und nie 1. Aus demselben Grund ist 5/0 keine Zahl, wie der Ratgeber warum der Nenner nicht null sein darf erklärt.
Die zwei Zahlen, die ihr eigener Kehrwert sind
Eine Zahl x stimmt mit ihrem Kehrwert überein, wenn x = 1/x gilt. Diese Gleichung verlangt x ≠ 0. Multiplizierst du dann mit x, bleibt x² = 1, mit den zwei Lösungen 1 und −1. Jede andere Zahl entfernt sich von ihrem Kehrwert. Der von 2 ist 1/2, und der von 1/2 ist 2. Je kleiner ein positiver Bruch ist, desto größer ist sein Kehrwert.
Wozu er dient: dividieren
Durch einen Bruch zu teilen ist dasselbe wie mit seinem Kehrwert zu multiplizieren. Bei 2/7 ÷ 3/4 kehrst du nur den Divisor um. Also 2/7 × 4/3 = 8/21. Die Probe läuft rückwärts: 8/21 × 3/4 = 24/84 = 2/7, der Dividend vom Anfang. Würdest du auch den ersten Bruch umkehren, käme eine andere Zahl heraus; der Dividend bleibt also, wie er ist.
Derselbe Kniff taucht auf, wenn du eine Unbekannte freistellst, deren Koeffizient ein Bruch ist, und bei Potenzen mit negativem Exponenten. Beide Fälle haben einen eigenen Ratgeber und einen Rechner: Bruchgleichungen und Brüche potenzieren.
Übe selbst
Finde den Kehrwert
- 7/10
- −6
- 3 1/4
Lösungen anzeigen
- 10/7, denn 7/10 × 10/7 = 1.
- −1/6, denn (−6) × (−1/6) = 1.
- 4/13, denn 3 1/4 = 13/4 und 13/4 × 4/13 = 1.
Quellen
- Wikipedia, „Kehrwert“: definiert den Kehrwert einer Zahl x ungleich 0 als die Zahl, die mit x multipliziert 1 ergibt, und hält fest, dass die 0 keinen Kehrwert hat (abgerufen am 17. Oktober 2026).