Ein gebrochener Exponent m/n bedeutet „n-te Wurzel ziehen und dann hoch m“, ein negativer Exponent bedeutet „Basis umkehren“. Bei einem Bruch gelten beide Regeln für Zähler und Nenner. So ist (8/27)^(2/3) = 4/9, und das Ergebnis ist ein exakter Bruch, wenn die Wurzel aufgeht.
Dieser Ratgeber erklärt die Theorie. Für ganzzahlige Exponenten, auch negative, nutzt du den Rechner für Bruchpotenzen. Der Rechner für Wurzeln aus Brüchen zeigt, wann das Ergebnis kein Bruch ist.
| Exponent | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| Negativ, −n | Basis umkehren und mit n potenzieren | (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9 |
| Null | Ergibt 1, wenn die Basis nicht 0 ist | (5/7)⁰ = 1 |
| Gebrochen, 1/n | n-te Wurzel | (25/16)^(1/2) = 5/4 |
| Gebrochen, m/n | n-te Wurzel, dann hoch m | (81/16)^(3/4) = (3/2)³ = 27/8 |
| Negativ und gebrochen | Umkehren, dann Wurzel und Potenz | (4/9)^(−1/2) = (9/4)^(1/2) = 3/2 |
Schau zuerst auf das Vorzeichen des Exponenten und dann auf seinen Nenner, denn der ist der Wurzelexponent. Die letzte Zeile verbindet beide Regeln: Du kannst zuerst umkehren oder zuerst die Wurzel ziehen, bei positiver Basis kommt dasselbe heraus. Wer zuerst umkehrt, muss nicht mit negativen Exponenten weiterrechnen.
Rechenbeispiel: (8/27)^(2/3)
Berechne diese Potenz und schreibe das Ergebnis als Bruch.
- Prüfe, ob der Exponent vollständig gekürzt ist. Das ist er: Die 3 ist der Wurzelexponent, die 2 die Potenz.
- Ziehe die dritte Wurzel. ∛8 = 2 und ∛27 = 3, die Wurzel der Basis ist also 2/3.
- Quadriere. 2² = 4 und 3² = 9, es bleibt 4/9.
Ergebnis: (8/27)^(2/3) = 4/9.
Probe: (4/9)³ ergibt 64/729, und die Basis zum Quadrat ebenfalls, denn 8² = 64 und 27² = 729. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.
So berechnest du eine Potenz mit gebrochenem Exponenten
Schreibe den Exponenten als vollständig gekürzten Bruch. Bei 4/6 kürzt du zuerst, denn der Wurzelexponent ist der gekürzte Nenner. Danach ziehst du die Wurzel aus Zähler und Nenner der Basis getrennt und potenzierst das Ergebnis mit dem Zähler des Exponenten.
Mit der Wurzel anzufangen hält die Zahlen klein. Im Beispiel oben müsstest du auf dem umgekehrten Weg 8² = 64 und 27² = 729 berechnen und dann die dritte Wurzel aus 64/729 ziehen. Es kommt dasselbe heraus, nur mit mehr Aufwand.
Das Ergebnis ist ein exakter Bruch, wenn in der bereits gekürzten Basis Zähler und Nenner vollkommene Potenzen des Wurzelexponenten sind. Deshalb ist (50/18)^(1/2) exakt: 50/18 lässt sich zu 25/9 kürzen, und √(25/9) = 5/3. Mit dem Rechner zum Brüche kürzen kürzt du, bevor du die Wurzel suchst.
Warum ein negativer Exponent einen Kehrwert bedeutet
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert, und daraus ergeben sich beide Definitionen. Für eine Basis a ungleich null gilt aⁿ : aⁿ = 1 und ebenso aⁿ : aⁿ = a⁰, also a⁰ = 1. Teilst du nun a⁰ durch aⁿ, bleibt a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Ein negativer Exponent ist also der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten.
Bei Brüchen ist das der Kehrwert, den du schon kennst: Zähler und Nenner werden getauscht. So ist (2/5)⁻³ = (5/2)³ = 125/8. Der Ratgeber zum Kehrwert eines Bruchs behandelt diesen Schritt mit ganzen, gemischten und negativen Zahlen. Es ist derselbe Kehrwert, den der Rechner zum Brüche dividieren verwendet, um eine Division in ein Produkt zu verwandeln.
Was bei einer negativen Basis passiert
Bei einer negativen Basis kann die Wurzel fehlen. Ist der Wurzelexponent ungerade, gibt es die negative Wurzel, und das Vorzeichen bleibt erhalten: (−8)^(1/3) = −2, denn (−2)³ = −8. Ist der Wurzelexponent gerade, ergibt keine reelle Zahl hoch einer geraden Zahl ein negatives Ergebnis, und die Quadratwurzel aus −4 ist nicht reell.
Um den Wurzelexponenten zu bestimmen, kürze zuerst den Exponenten. In (−8)^(2/6) ist der gekürzte Exponent 1/3 mit ungeradem Wurzelexponenten, und der Wert ist −2. Kürzt du 2/6 nicht, lesen manche Programme es als 64^(1/6) = 2, was nicht zu −2 passt. Deshalb kürzt du den Exponenten immer, bevor du über den Wurzelexponenten entscheidest.
Auch die Reihenfolge der Rechenschritte zählt. In −2² wird erst potenziert und dann das Vorzeichen angewendet, der Wert ist −4; in (−2)² ist die Basis −2 und der Wert 4. Bei Brüchen ist es genauso: −(1/5)² = −1/25, aber (−1/5)² = 1/25.
Wann das Ergebnis kein Bruch ist
Geht die Wurzel nicht auf, ist das Ergebnis eine irrationale Zahl, und es gibt keinen Bruch aus ganzen Zahlen, der sie darstellt. √2 ≈ 1,4142 (Fehler kleiner als 0,0001). Die exakte Form ist die Wurzel selbst.
Bei einer gebrochenen Basis ist es nicht anders: (1/5)^(1/2) = 1/√5 = √5/5 ≈ 0,4472 (Fehler kleiner als 0,0001). Wie du die Wurzel aus dem Nenner entfernst, zeigt der Ratgeber zum Nenner rationalisieren am Schritt von 1/√5 zu √5/5.
Stehen im Bruch Buchstaben statt Zahlen, brauchst du zusätzlich Bedingungen für die Werte, die den Nenner null oder den Radikanden negativ machen. Das behandelt der Ratgeber zu algebraischen Brüchen und Definitionsmenge. Willst du Potenzen mit Summen und Produkten in einer Zeile verbinden, hilft der Rechner für gemischte Rechenausdrücke, der die Rechenreihenfolge beachtet.
Übungen
- Berechne (2/5)⁻³.
- Berechne (16/81)^(1/4).
- Berechne (9/25)^(−3/2).
Lösungen anzeigen
- 125/8, denn (2/5)⁻³ = (5/2)³.
- 2/3, denn 2⁴ = 16 und 3⁴ = 81.
- 125/27: Du kehrst zu (25/9)^(3/2) um, die Quadratwurzel ist 5/3, und deren dritte Potenz ist 125/27.
Quellen
Der Artikel „Potenz (Mathematik)“ der deutschsprachigen Wikipedia behandelt ganze negative Exponenten, den Wert 1 des Exponenten null bei Basis ungleich null, rationale Exponenten als Wurzeln und die Probleme bei negativen Basen (abgerufen am 17. Oktober 2026).