Mit 27/64 und Wurzelexponent 3 liefert der Rechner 3/4. Mit Exponent 2 ergibt derselbe Bruch √(27/64) ≈ 0,649519052838 (Fehler kleiner als 10⁻¹²), weil 27 keine Quadratzahl ist. Wenn du die Wurzel aus dem Nenner entfernen willst, schau bei Nenner rationalisieren vorbei.
Rechenbeispiel: die Quadratwurzel aus 8/18
Eine quadratische Fliese hat eine Fläche von 8/18 m². Wie lang ist ihre Seite?
- Kürze den Bruch. Der ggT von 8 und 18 ist 2, also ist 8/18 = 4/9.
- Ziehe die Wurzel aus beiden Teilen. √4 = 2 und √9 = 3.
- Setze die beiden Wurzeln zusammen. √(8/18) = √(4/9) = 2/3.
Die Seite ist 2/3 m lang.
Probe. (2/3)² = 4/9 = 8/18, also genau die Ausgangsfläche.
Weder 8 noch 18 ist eine Quadratzahl, aber 8/18 lässt sich zu einem Bruch aus Quadratzahlen kürzen. Deshalb kürzt der Rechner den Radikanden, bevor er die Wurzel sucht. Wenn du das Potenzieren von Brüchen auffrischen willst, kannst du dort die Probe in Gegenrichtung machen: Brüche potenzieren.
Wann ist die Wurzel aus einem Bruch rational?
Das hängt von Zähler und Nenner getrennt ab, jeweils gekürzt. Sind Zähler und Nenner beide n-te Potenzen ganzer Zahlen (n ist der Wurzelexponent), ist die Wurzel ein Bruch. Trifft das auf einen von beiden nicht zu, ist die Wurzel irrational, auch wenn der Radikand rational ist.
| Radikand und Exponent | Ergebnis | Warum |
|---|---|---|
| 49/64, Exponent 2 | 7/8 | 7² = 49 und 8² = 64 |
| 27/125, Exponent 3 | 3/5 | 3³ = 27 und 5³ = 125 |
| 27/64, Exponent 2 | ≈ 0,649519052838 (Fehler < 10⁻¹²) | 27 ist keine Quadratzahl |
| −64/125, Exponent 3 | −4/5 | (−4)³ = −64 und 5³ = 125 |
Der Radikand 27/64 hat eine rationale Kubikwurzel und eine irrationale Quadratwurzel. Der Wurzelexponent entscheidet, nicht nur der Bruch.
Irrationale Wurzeln und Dezimalnäherungen
Ist die Wurzel nicht rational, macht der Rechner keinen Bruch daraus. Er zeigt den Wurzelausdruck und eine mit ≈ gekennzeichnete Näherung. Sie wird gegen null abgeschnitten: Mit 4 Dezimalstellen steht √(2/3) als ≈ 0,8164 da (Fehler kleiner als 0,0001), mit 12 Stellen als ≈ 0,816496580927 (Fehler kleiner als 10⁻¹²). Auf 4 Stellen gerundet wäre es ≈ 0,8165 (Fehler kleiner als 0,00005), weil die nächste Ziffer eine 9 ist. Mehr Dezimalstellen zeigen mehr Ziffern, machen die Wurzel aber nicht rational.
In vielen Büchern steht das Ergebnis ohne Wurzel im Nenner. Bei √(2/3) erweiterst du mit √3 und erhältst √(2/3) = √2/√3 = √6/3. Das ist dieselbe Zahl in anderer Schreibweise, denn (√6/3)² = 6/9, und das führt zum Radikanden zurück. Der Rechner lässt die Wurzel so stehen, wie du sie eingegeben hast; das ganze Verfahren steht im Ratgeber zum Nenner rationalisieren.
Brauchst du einen einfachen Bruch in der Nähe einer irrationalen Wurzel, nimm Dezimalzahl durch Bruch annähern mit einem größten Nenner. Das ergibt einen nahen Bruch, nie einen, der der Wurzel gleich ist. Der Artikel, warum die Wurzel aus 2 kein Bruch ist, beweist den bekanntesten Fall.
Wurzeln aus negativen Zahlen
Ein negativer Radikand hat nur bei ungeradem Wurzelexponenten eine reelle Wurzel, und die behält dann das Vorzeichen. Bei geradem Exponenten, etwa √(−1/4), zeigt der Rechner einen Fehler zum Definitionsbereich und gibt keine komplexen Zahlen aus. Der Rechner für Bruchterme hat ebenfalls keinen Wurzeloperator: Berechne die Wurzel hier und schreibe, wenn sie rational ist, den Bruch in den Term.
Die Hauptwurzel ist die nichtnegative reelle Zahl, deren Quadrat der Radikand ist.
Häufige Fragen
Wie gebe ich eine Dezimalzahl oder eine gemischte Zahl als Radikand ein?
Schreib die Dezimalzahl mit Komma oder Punkt, die gemischte Zahl mit einem Leerzeichen. Der Rechner wandelt beides in einen Bruch um, bevor er die Wurzel zieht: 0,36 ist 9/25, und die Quadratwurzel ist 3/5; 2 1/4 ist 9/4, und die Wurzel ist 3/2. Auch periodische Dezimalzahlen wie 0,(1) werden angenommen.
Warum ist die Wurzel eines Bruchs unter 1 größer als der Bruch selbst?
Weil Quadrieren eine Zahl zwischen 0 und 1 kleiner macht. Deshalb ist √(1/9) = 1/3, und 1/3 ist größer als 1/9. Bei Brüchen über 1 ist es umgekehrt: √(16/9) = 4/3, und das ist kleiner als 16/9.