Einen Nenner zu rationalisieren heißt, den Bruch so umzuschreiben, dass unten keine Wurzel mehr steht. Der Wert bleibt gleich: 1/(√3 − 1) und (√3 + 1)/2 sind dieselbe Zahl, ≈ 1,366. Man erweitert oben und unten mit einem Faktor, der 1 ergibt, und der Faktor hängt davon ab, was im Nenner steht.
| Nenner | Erweitern mit | Beispiel |
|---|---|---|
| Eine Wurzel, √c | √c/√c | 10/√6 = 5√6/3 |
| Zahl mal Wurzel, b√c | √c/√c | 3/(2√5) = 3√5/10 |
| Binom mit Quadratwurzel | Konjugierter Term durch sich selbst | 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/2 |
| Kubikwurzel, ∛a | ∛(a²)/∛(a²) | 1/∛2 = ∛4/2 |
Lies die Tabelle von links nach rechts: Schau zuerst, was im Nenner steht, und wähle dann den Faktor. Der konjugierte Term eines Binoms ist dasselbe Binom mit geändertem Vorzeichen in der Mitte.
Gelöstes Beispiel: 1/(√3 − 1)
Rationalisiere den Nenner von 1/(√3 − 1).
- Schreibe den konjugierten Term auf. Der Nenner ist √3 − 1, also ist der konjugierte Term √3 + 1.
- Erweitere oben und unten mit (√3 + 1)/(√3 + 1), das den Wert 1 hat.
- Nenner. (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2, weil sich die mittleren Terme aufheben.
- Zähler. 1 × (√3 + 1) = √3 + 1.
- Setze zusammen. Das Ergebnis ist (√3 + 1)/2.
Ergebnis: (√3 + 1)/2.
Kontrolle: (√3 + 1)/2 × (√3 − 1) = (3 − 1)/2 = 1, der Ausgangszähler. Mit Dezimalzahlen ergeben 1 ÷ 0,7321 und 2,7321 ÷ 2 beide ≈ 1,366.
Der Trick in Schritt 3 ist die dritte binomische Formel: (x − y)(x + y) = x² − y². Ist x oder y eine Quadratwurzel, wird ihr Quadrat zu einer ganzen Zahl, und das Wurzelzeichen verschwindet.
Eine einzelne Wurzel, mit oder ohne Zahl davor
Steht unten b√c, erweitert man mit √c/√c. Da √c × √c = c gilt, wird der Nenner zu b × c. Die Regel lautet a/(b√c) = a√c/(bc), mit b ungleich 0 und c positiv.
Für 3/(2√5) ergibt sich (3√5)/(2 × 5) = 3√5/10, das ist ≈ 0,6708. Für 10/√6 ergibt sich 10√6/6, und weil 10 und 6 den Faktor 2 gemeinsam haben, kürzt man zu 5√6/3. Wenn du das Kürzen wiederholen möchtest: Das Werkzeug zum Brüche kürzen kürzt jedes Paar ganzer Zahlen.
Lässt sich die Wurzel vereinfachen, tu das zuerst. Bei 1/√8 gilt √8 = 2√2, du rechnest also mit 1/(2√2) = √2/4 und vermeidest große Zahlen.
Ein Binom mit Wurzel: der konjugierte Term
Mit derselben Wurzel zu multiplizieren hilft nicht, wenn unten eine Summe oder Differenz steht. Bei (√3 − 1) × √3 = 3 − √3 bleibt die Wurzel stehen. Der konjugierte Term beseitigt sie, weil es den Nenner in eine Differenz von Quadraten verwandelt.
Bei 5/(√6 + 1) ist der konjugierte Term √6 − 1. Der Nenner wird 6 − 1 = 5 und der Zähler 5(√6 − 1); die 5 kürzt sich, und es bleibt √6 − 1, das ist ≈ 1,449. Tragen beide Terme eine Wurzel, wie in 6/(√5 − √2), wird der Nenner 5 − 2 = 3 und das Ergebnis 2(√5 + √2).
Eine Kubikwurzel: zur Kubikzahl ergänzen
Bei ∛a ergibt die Multiplikation mit ∛a den Term ∛(a²), und der ist noch immer eine Wurzel. Man braucht den Faktor, der zu einer Kubikzahl ergänzt: ∛a × ∛(a²) = ∛(a³) = a.
Für 1/∛2 erweitert man mit ∛4/∛4. Unten steht dann ∛2 × ∛4 = ∛8 = 2, und das Ergebnis ist ∛4/2 ≈ 0,794. Für 6/∛9 ist der Faktor ∛3, denn ∛9 × ∛3 = ∛27 = 3, und es ergibt sich 6∛3/3 = 2∛3. Der typische Fehler ist, im ersten Fall mit ∛2 zu erweitern: Unten steht dann ∛4, und die Wurzel verschwindet nicht.
Üben
Vier Aufgaben
- Rationalisiere 9/√3.
- Rationalisiere 4/(3√2).
- Rationalisiere 6/(√5 − √2).
- Rationalisiere 1/∛3.
Lösungen anzeigen
- 3√3 (man erhält 9√3/3 und kürzt)
- 2√2/3 (4√2/6 kürzt man durch 2)
- 2√5 + 2√2 (der Nenner ergibt 5 − 2 = 3, und 6/3 = 2)
- ∛9/3 (∛3 × ∛9 = ∛27 = 3)
Wie es weitergeht
Um eine Wurzel aus einem Bruch zu berechnen und die Dezimalzahl zu sehen, nutze den Rechner für Wurzeln aus Brüchen. Wenn du die Zeile suchst, in der dir ein Fehler unterläuft, sammelt der Ratgeber zu Fehlern beim Bruchrechnen die häufigsten, und Bruchaufgaben mit Lösungen bietet mehr Übung. Mit Buchstaben statt Zahlen erklärt algebraische Brüche und Definitionsmenge die Einschränkungen. Wurzeln als gebrochene Exponenten stehen in negative und gebrochene Exponenten, und Produkte wiederholst du bei Brüche multiplizieren.
Quellen
- Wikipedia (auf Spanisch), Artikel Racionalización de radicales, Abschnitt „Racionalización de binomio“: Um die Wurzel aus einem Binom zu beseitigen, multipliziert man Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck des Nenners; 2/(√2 + √3) wird so zu −2(√2 − √3) (abgerufen am 16. Oktober 2026).