Racionalizar um denominador é reescrever a fração para que no denominador não reste nenhuma raiz. O valor não muda: 1/(√3 − 1) e (√3 + 1)/2 são o mesmo número, ≈ 1,366. Multiplica-se o numerador e o denominador por um fator que vale 1, e esse fator depende do que há no denominador.
| Denominador | Multiplica-se por | Exemplo |
|---|---|---|
| Uma raiz, √c | √c/√c | 10/√6 = 5√6/3 |
| Um número vezes uma raiz, b√c | √c/√c | 3/(2√5) = 3√5/10 |
| Binômio com raiz quadrada | O conjugado sobre ele mesmo | 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/2 |
| Raiz cúbica, ∛a | ∛(a²)/∛(a²) | 1/∛2 = ∛4/2 |
Leia a tabela pela coluna da esquerda: primeiro veja o que há no denominador e depois escolha o fator. O conjugado de um binômio (binómio em Portugal) é o mesmo binômio com o sinal do meio trocado.
Exemplo resolvido: 1/(√3 − 1)
Racionalize o denominador de 1/(√3 − 1).
- Escreva o conjugado. O denominador é √3 − 1, então o conjugado é √3 + 1.
- Multiplique o numerador e o denominador por (√3 + 1)/(√3 + 1), que vale 1.
- Denominador. (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2, porque os termos do meio se cancelam.
- Numerador. 1 × (√3 + 1) = √3 + 1.
- Junte. O resultado é (√3 + 1)/2.
Resultado: (√3 + 1)/2.
Verificação: (√3 + 1)/2 × (√3 − 1) = (3 − 1)/2 = 1, o numerador de partida. Com decimais, 1 ÷ 0,7321 e 2,7321 ÷ 2 dão ≈ 1,366.
O truque do passo 3 é a diferença de quadrados: (x − y)(x + y) = x² − y². Se x ou y é uma raiz quadrada, o seu quadrado é um número inteiro e o radical desaparece.
Uma raiz sozinha, com ou sem número na frente
Quando no denominador há b√c, multiplica-se por √c/√c. Como √c × √c = c, o denominador passa a ser b × c. A regra fica a/(b√c) = a√c/(bc), com b diferente de 0 e c positivo.
Para 3/(2√5) resulta (3√5)/(2 × 5) = 3√5/10, que vale ≈ 0,6708. Para 10/√6 resulta 10√6/6 e, como 10 e 6 têm o fator 2 em comum, reduz-se a 5√6/3. Para rever como se reduz uma fração, use a ferramenta de simplificar frações, que faz isso com qualquer par de inteiros.
Se a raiz puder ser simplificada, faça isso antes. Em 1/√8, como √8 = 2√2, trabalha-se com 1/(2√2) = √2/4 e evitam-se números grandes.
Um binômio com raiz: o conjugado
Multiplicar pela mesma raiz não adianta quando no denominador há uma soma ou uma subtração. Em (√3 − 1) × √3 = 3 − √3 a raiz continua ali. O conjugado a elimina, porque transforma o denominador numa diferença de quadrados.
Com 5/(√6 + 1), o conjugado é √6 − 1. O denominador fica 6 − 1 = 5 e o numerador 5(√6 − 1), então o 5 cancela-se e resulta √6 − 1, que vale ≈ 1,449. Quando os dois termos têm raiz, como em 6/(√5 − √2), o denominador é 5 − 2 = 3 e o resultado, 2(√5 + √2).
Uma raiz cúbica: completar o cubo
Com ∛a, multiplicar por ∛a dá ∛(a²), que continua a ser uma raiz. É preciso o fator que completa um cubo perfeito: ∛a × ∛(a²) = ∛(a³) = a.
Para 1/∛2 multiplica-se por ∛4/∛4. No denominador fica ∛2 × ∛4 = ∛8 = 2, e o resultado é ∛4/2 ≈ 0,794. Para 6/∛9 o fator é ∛3, porque ∛9 × ∛3 = ∛27 = 3, e resulta 6∛3/3 = 2∛3. O erro típico é multiplicar por ∛2 no primeiro caso: no denominador sai ∛4 e a raiz não desaparece.
Pratique
Quatro exercícios
- Racionalize 9/√3.
- Racionalize 4/(3√2).
- Racionalize 6/(√5 − √2).
- Racionalize 1/∛3.
Ver as respostas
- 3√3 (obtém-se 9√3/3 e reduz-se)
- 2√2/3 (4√2/6 reduz-se dividindo por 2)
- 2√5 + 2√2 (o denominador com o conjugado dá 5 − 2 = 3, e 6/3 = 2)
- ∛9/3 (∛3 × ∛9 = ∛27 = 3)
Para continuar
Para calcular a raiz de uma fração e ver o seu decimal, use a calculadora de raízes de frações. Se for difícil encontrar em que linha está o erro, o guia de erros com frações reúne as falhas mais comuns, e os exercícios resolvidos dão mais prática. Com letras no lugar de números, as restrições de domínio são explicadas em frações algébricas e domínio. As raízes como expoentes fracionários estão em expoentes negativos e fracionários, e os produtos são revistos em multiplicar frações.
Fontes
Wikipedia em espanhol, artigo Racionalización de radicales, seção “Racionalización de binomio”: para eliminar a raiz de um binômio, multiplicam-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador, e 2/(√2 + √3) passa a −2(√2 − √3) (consultado em 16 de outubro de 2026).