Rationaliser un dénominateur, c’est réécrire la fraction pour qu’il ne reste aucune racine en bas. La valeur ne change pas : 1/(√3 − 1) et (√3 + 1)/2 sont le même nombre, ≈ 1,366. On multiplie en haut et en bas par un facteur qui vaut 1, et ce facteur dépend de ce qui se trouve au dénominateur.
| Dénominateur | On multiplie par | Exemple |
|---|---|---|
| Une racine, √c | √c/√c | 10/√6 = 5√6/3 |
| Un nombre fois une racine, b√c | √c/√c | 3/(2√5) = 3√5/10 |
| Binôme avec une racine carrée | Le conjugué du dénominateur, en haut et en bas | 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/2 |
| Racine cubique, ∛a | ∛(a²)/∛(a²) | 1/∛2 = ∛4/2 |
Lisez le tableau par la colonne de gauche : regardez d’abord ce qu’il y a en bas, puis choisissez le facteur. Le conjugué d’un binôme est le même binôme avec le signe du milieu changé.
Exemple résolu : 1/(√3 − 1)
Rationalisez le dénominateur de 1/(√3 − 1).
- Écrivez le conjugué. Le dénominateur est √3 − 1, donc le conjugué est √3 + 1.
- Multipliez en haut et en bas par (√3 + 1)/(√3 + 1), qui vaut 1.
- Dénominateur. (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2, car les termes du milieu s’annulent.
- Numérateur. 1 × (√3 + 1) = √3 + 1.
- Assemblez. Le résultat est (√3 + 1)/2.
Résultat : (√3 + 1)/2.
Vérification : (√3 + 1)/2 × (√3 − 1) = (3 − 1)/2 = 1, le numérateur de départ. À la calculatrice, 1 ÷ 0,7321 et 2,7321 ÷ 2 donnent ≈ 1,366.
L’astuce de l’étape 3 est l’identité remarquable (x − y)(x + y) = x² − y². Si x ou y est une racine carrée, son carré est un entier et le radical disparaît.
Une racine seule, avec ou sans nombre devant
Quand le dénominateur est b√c, on multiplie par √c/√c. Comme √c × √c = c, le dénominateur devient b × c. La règle s’écrit a/(b√c) = a√c/(bc), avec b non nul et c positif.
Pour 3/(2√5), on obtient (3√5)/(2 × 5) = 3√5/10, qui vaut ≈ 0,6708. Pour 10/√6, on obtient 10√6/6 ; comme 10 et 6 ont le facteur 2 en commun, cela se réduit à 5√6/3. Pour revoir la réduction, l’outil de simplification de fractions fonctionne avec n’importe quel couple d’entiers.
Si la racine peut se simplifier, faites-le d’abord. Dans 1/√8, comme √8 = 2√2, vous travaillez avec 1/(2√2) = √2/4 et vous évitez les grands nombres.
Un binôme avec une racine : le conjugué
Multiplier par la même racine ne sert à rien quand le dénominateur est une somme ou une différence. Dans (√3 − 1) × √3 = 3 − √3, la racine est toujours là. Le conjugué, lui, l’élimine, car il transforme le dénominateur en une différence de carrés.
Avec 5/(√6 + 1), le conjugué est √6 − 1. Le dénominateur devient 6 − 1 = 5 et le numérateur 5(√6 − 1) ; le 5 se simplifie et il reste √6 − 1, qui vaut ≈ 1,449. Quand les deux termes portent une racine, comme dans 6/(√5 − √2), le dénominateur est 5 − 2 = 3 et le résultat est 2(√5 + √2).
Une racine cubique : compléter le cube
Avec ∛a, multiplier par ∛a donne ∛(a²), qui est encore une racine. Il faut le facteur qui complète un cube parfait : ∛a × ∛(a²) = ∛(a³) = a.
Pour 1/∛2, on multiplie par ∛4/∛4. En bas, on obtient ∛2 × ∛4 = ∛8 = 2, et le résultat est ∛4/2 ≈ 0,794. Pour 6/∛9, le facteur est ∛3, car ∛9 × ∛3 = ∛27 = 3, et l’on obtient 6∛3/3 = 2∛3. L’erreur classique est de multiplier par ∛2 dans le premier cas : il reste ∛4 en bas et la racine ne disparaît pas.
Entraînez-vous
Quatre exercices
- Rationalisez 9/√3.
- Rationalisez 4/(3√2).
- Rationalisez 6/(√5 − √2).
- Rationalisez 1/∛3.
Voir les réponses
- 3√3 (on obtient 9√3/3 et l’on réduit)
- 2√2/3 (4√2/6 se réduit en divisant par 2)
- 2√5 + 2√2 (le dénominateur, multiplié par son conjugué, donne 5 − 2 = 3, et 6/3 = 2)
- ∛9/3 (∛3 × ∛9 = ∛27 = 3)
Pour aller plus loin
Pour calculer la racine d’une fraction et voir sa valeur décimale, utilisez la calculatrice de racines de fractions. Si vous avez du mal à trouver la ligne où vous vous trompez, le guide des erreurs avec les fractions réunit les fautes les plus courantes, et les exercices corrigés offrent plus d’entraînement. Avec des lettres à la place des nombres, les restrictions de domaine sont expliquées dans fractions algébriques et domaine. Les racines comme exposants fractionnaires sont dans exposants négatifs et fractionnaires, et les produits se révisent dans multiplication de fractions.
Sources
Wikipédia en français, article Quantité conjuguée : pour simplifier une fraction avec des racines carrées, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur, et 1/(2 − √3) devient 2 + √3 (consulté le 17 octobre 2026).