Un exposant fractionnaire m/n signifie « racine d’indice n, puis puissance m », et un exposant négatif signifie « inversez la base ». Avec une fraction, les deux règles s’appliquent au numérateur et au dénominateur. Ainsi, (8/27)^(2/3) = 4/9, et le résultat est une fraction exacte quand la racine l’est.
Ce guide explique la théorie. Pour calculer avec des exposants entiers, y compris négatifs, utilisez la calculatrice de puissances de fractions. Pour les racines, celle des racines de fractions indique quand le résultat n’est pas une fraction.
| Exposant | Signification | Exemple |
|---|---|---|
| Négatif, −n | Inverse la base et utilise n | (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9 |
| Zéro | Donne 1 si la base n'est pas 0 | (5/7)⁰ = 1 |
| Fractionnaire, 1/n | Racine d'indice n | (25/16)^(1/2) = 5/4 |
| Fractionnaire, m/n | Racine d'indice n, puis puissance m | (81/16)^(3/4) = (3/2)³ = 27/8 |
| Négatif et fractionnaire | Inverse, puis racine et puissance | (4/9)^(−1/2) = (9/4)^(1/2) = 3/2 |
Pour choisir, regardez d’abord le signe de l’exposant, puis son dénominateur, qui est l’indice de la racine. La dernière ligne combine les deux règles : vous pouvez inverser d’abord ou prendre la racine d’abord, car avec une base positive le résultat est le même ; inverser avant évite de travailler avec des exposants négatifs.
Exemple résolu : (8/27)^(2/3)
Calculez cette puissance et écrivez le résultat sous forme de fraction.
- Vérifiez que l’exposant est irréductible. Il l’est : le 3 est l’indice de la racine et le 2, la puissance.
- Prenez la racine cubique. ∛8 = 2 et ∛27 = 3, donc la racine de la base est 2/3.
- Élevez au carré. 2² = 4 et 3² = 9, donc il reste 4/9.
Résultat : (8/27)^(2/3) = 4/9.
Vérification : 4/9 au cube donne 64/729, et la base au carré aussi, car 8² = 64 et 27² = 729. Les deux chemins coïncident.
Comment calculer une puissance à exposant fractionnaire
Écrivez l’exposant sous forme de fraction irréductible. Si c’est 4/6, réduisez-le avant de commencer, car l’indice de la racine est le dénominateur réduit. Appliquez ensuite la racine séparément au numérateur et au dénominateur de la base, puis élevez le résultat à la puissance donnée par le numérateur de l’exposant.
Commencer par la racine garde les nombres petits. Dans l’exemple précédent, le chemin inverse oblige à calculer 8² = 64 et 27² = 729, puis à prendre la racine cubique de 64/729. Le résultat est le même, avec plus de travail.
Le résultat est une fraction exacte quand, dans la base déjà simplifiée, le numérateur et le dénominateur sont des puissances parfaites de l’indice. Ainsi (50/18)^(1/2) est bien exact : 50/18 se réduit à 25/9 et √(25/9) = 5/3. Vous pouvez réduire avec l’outil pour simplifier des fractions avant de chercher la racine.
Pourquoi un exposant négatif est un inverse
Les puissances de même base se divisent en soustrayant les exposants, et c’est de là que viennent les deux définitions. Pour une base a non nulle, aⁿ ÷ aⁿ = 1 et aussi aⁿ ÷ aⁿ = a⁰, donc a⁰ = 1. Si vous divisez ensuite a⁰ par aⁿ, il reste a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Un exposant négatif est donc l’inverse multiplicatif de la puissance positive.
Avec des fractions, cet inverse est celui que vous connaissez : on échange numérateur et dénominateur. Ainsi, (2/5)⁻³ = (5/2)³ = 125/8. Le guide sur l’inverse d’une fraction traite cette étape avec des entiers, des nombres mixtes et des négatifs. C’est le même inverse que l’outil de division de fractions utilise pour transformer une division en produit.
Que se passe-t-il avec une base négative
Avec une base négative, la racine peut ne pas exister. Si l’indice est impair, la racine négative existe et le signe se conserve : (−8)^(1/3) = −2, car (−2)³ = −8. Si l’indice est pair, aucun nombre réel élevé à une puissance paire ne donne un résultat négatif, et la racine carrée de −4 n’est pas réelle.
Pour connaître l’indice, réduisez d’abord l’exposant. Dans (−8)^(2/6), l’exposant réduit est 1/3, d’indice impair, et la valeur est −2. Si vous ne réduisez pas 2/6, certains logiciels le lisent comme 64^(1/6) = 2, ce qui ne coïncide pas avec −2. Il faut donc toujours réduire l’exposant avant de décider de l’indice.
La priorité des opérations compte aussi. Dans −2², la puissance se calcule avant le signe et la valeur est −4 ; dans (−2)², la base est −2 et la valeur est 4. Avec des fractions, c’est pareil : −(1/5)² = −1/25, alors que (−1/5)² = 1/25.
Quand le résultat n’est pas une fraction
Si la racine n’est pas exacte, le résultat est un nombre irrationnel et aucune fraction d’entiers ne lui est égale. √2 ≈ 1,4142 (erreur inférieure à 0,0001). La forme exacte est le radical.
Avec une base fractionnaire, c’est la même chose : (1/5)^(1/2) = 1/√5 = √5/5 ≈ 0,4472 (erreur inférieure à 0,0001). Pour l’écrire sans radical au dénominateur, le guide pour rationaliser les dénominateurs explique le passage de 1/√5 à √5/5.
Quand la base contient des lettres au lieu de nombres, il faut ajouter des conditions sur les valeurs qui annulent le dénominateur ou rendent le radicande négatif. C’est l’objet des fractions algébriques et du domaine. Si vous voulez combiner puissances, sommes et produits sur une seule ligne, l’outil de calcul d’expressions avec fractions respecte les priorités opératoires.
Exercices
- Calculez (2/5)⁻³.
- Calculez (16/81)^(1/4).
- Calculez (9/25)^(−3/2).
Voir les réponses
- 125/8, car (2/5)⁻³ = (5/2)³.
- 2/3, car 2⁴ = 16 et 3⁴ = 81.
- 125/27 : on inverse pour obtenir (25/9)^(3/2), la racine carrée est 5/3 et son cube est 125/27.
Sources
L’article « Exponentiation » de Wikipédia en espagnol (« Potenciación ») présente l’extension de la puissance aux exposants entiers négatifs, le résultat 1 de l’exposant zéro pour une base non nulle, l’usage de fractions en exposant pour noter les racines et les problèmes d’existence avec les bases négatives (consulté le 16 octobre 2026).