Un exponente fraccionario m/n significa «raíz de índice n y luego potencia m», y un exponente negativo significa «invierte la base». Con una fracción, las dos reglas se aplican al numerador y al denominador. Así, (8/27)^(2/3) = 4/9, y el resultado es una fracción exacta cuando la raíz lo es.
Esta guía explica la teoría. Para calcular con exponentes enteros, incluidos los negativos, usa la calculadora de potencias de fracciones. Para raíces, la de raíces de fracciones indica cuándo el resultado no es una fracción.
| Exponente | Qué significa | Ejemplo |
|---|---|---|
| Negativo, −n | Invierte la base y usa n | (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9 |
| Cero | Da 1 si la base no es 0 | (5/7)⁰ = 1 |
| Fraccionario, 1/n | Raíz de índice n | (25/16)^(1/2) = 5/4 |
| Fraccionario, m/n | Raíz de índice n y luego potencia m | (81/16)^(3/4) = (3/2)³ = 27/8 |
| Negativo y fraccionario | Invierte, después raíz y potencia | (4/9)^(−1/2) = (9/4)^(1/2) = 3/2 |
Para decidir, mira primero el signo del exponente y después su denominador, que es el índice de la raíz. La última fila combina las dos reglas: puedes invertir primero o sacar la raíz primero, porque con una base positiva el resultado es el mismo; invertir antes evita trabajar con exponentes negativos.
Ejemplo resuelto: (8/27)^(2/3)
Calcula esa potencia y escribe el resultado como fracción.
- Comprueba que el exponente sea irreducible. Lo es: el 3 es el índice de la raíz y el 2, la potencia.
- Saca la raíz cúbica. ∛8 = 2 y ∛27 = 3, así que la raíz de la base es 2/3.
- Eleva al cuadrado. 2² = 4 y 3² = 9, así que queda 4/9.
Resultado: (8/27)^(2/3) = 4/9.
Comprobación: elevar 4/9 al cubo da 64/729, y la base al cuadrado también, porque 8² = 64 y 27² = 729. Las dos rutas coinciden.
Cómo se calcula una potencia con exponente fraccionario
Escribe el exponente como fracción irreducible. Si es 4/6, redúcelo antes de empezar, porque el índice de la raíz es el denominador reducido. Después aplica la raíz al numerador y al denominador de la base por separado, y eleva el resultado a la potencia que marca el numerador del exponente.
Empezar por la raíz mantiene los números pequeños. En el ejemplo anterior, la ruta inversa obliga a calcular 8² = 64 y 27² = 729 y a sacar la raíz cúbica de 64/729. Sale lo mismo, con más trabajo.
El resultado es una fracción exacta cuando, en la base ya simplificada, el numerador y el denominador son potencias perfectas del índice. Por eso (50/18)^(1/2) sí es exacto: 50/18 se reduce a 25/9 y √(25/9) = 5/3. Puedes reducir con la herramienta de simplificar fracciones antes de buscar la raíz.
Por qué un exponente negativo es un recíproco
Las potencias de la misma base se dividen restando exponentes, y de ahí salen las dos definiciones. Con una base a distinta de cero, aⁿ ÷ aⁿ = 1 y también aⁿ ÷ aⁿ = a⁰, de modo que a⁰ = 1. Si ahora divides a⁰ entre aⁿ, queda a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Un exponente negativo es, por tanto, el inverso multiplicativo de la potencia positiva.
Con fracciones, ese inverso es el que ya conoces: se intercambian numerador y denominador. Así, (2/5)⁻³ = (5/2)³ = 125/8. La guía sobre el inverso de una fracción trata ese paso con enteros, mixtos y negativos. Es el mismo recíproco que usa la herramienta de dividir fracciones al convertir una división en producto.
Qué ocurre con una base negativa
Con una base negativa, la raíz puede no existir. Si el índice es impar, la raíz negativa existe y el signo se conserva: (−8)^(1/3) = −2, porque (−2)³ = −8. Si el índice es par, ningún número real elevado a una potencia par da un resultado negativo, y la raíz cuadrada de −4 no es real.
Para saber el índice, reduce primero el exponente. En (−8)^(2/6) el exponente reducido es 1/3, con índice impar, y vale −2. Si no reduces 2/6, algunos programas lo leen como 64^(1/6) = 2, que no coincide con −2. Por eso conviene reducir siempre el exponente antes de decidir el índice.
El orden de las operaciones también importa. En −2² la potencia se calcula antes que el signo y el valor es −4; en (−2)² la base es −2 y el valor es 4. Con fracciones ocurre igual: −(1/5)² = −1/25, mientras que (−1/5)² = 1/25.
Cuándo el resultado no es una fracción
Si la raíz no es exacta, el resultado es un número irracional y no existe una fracción de enteros que lo iguale. √2 ≈ 1,4142 (error menor que 0,0001). La forma exacta es el radical.
Con una base fraccionaria pasa lo mismo: (1/5)^(1/2) = 1/√5 = √5/5 ≈ 0,4472 (error menor que 0,0001). Para escribirlo sin radical en el denominador, la guía para racionalizar denominadores explica el paso de 1/√5 a √5/5.
Cuando la base lleva letras en lugar de números, hay que añadir condiciones sobre los valores que anulan el denominador o hacen negativo el radicando. Eso se trata en fracciones algebraicas y dominio. Si quieres combinar potencias con sumas y productos en una sola línea, la herramienta de operaciones combinadas respeta la jerarquía.
Practica
- Calcula (2/5)⁻³.
- Calcula (16/81)^(1/4).
- Calcula (9/25)^(−3/2).
Ver las respuestas
- 125/8, porque (2/5)⁻³ = (5/2)³.
- 2/3, porque 2⁴ = 16 y 3⁴ = 81.
- 125/27: se invierte a (25/9)^(3/2), la raíz cuadrada es 5/3 y su cubo es 125/27.
Fuentes
La entrada «Potenciación» de Wikipedia en español recoge la extensión de la potencia a exponentes enteros negativos, el resultado 1 del exponente cero con base distinta de cero, el uso de fracciones en el exponente para notar raíces y los problemas de existencia con bases negativas (consultado el 16 de octubre de 2026).