Eksponen pecahan seperti 8^(2/3) berarti akar berindeks 3 lebih dahulu, lalu pangkat 2: 8^(2/3) = 4. Eksponen negatif membalik basis: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4. Pada basis pecahan kedua aturan bergabung dan hasilnya eksak selama akarnya rasional. Kalkulator pangkat pecahan memangkatkan pecahan dengan eksponen bilangan bulat, termasuk nol dan eksponen negatif.
Yang penting
- Eksponen negatif membalik basis: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, dengan a tidak sama dengan nol.
- Eksponen nol memberi 1 untuk setiap basis bukan nol: (2/3)⁰ = 1 dan 5⁰ = 1.
- Eksponen pecahan m/n dibaca sebagai akar ke-n dan pangkat m: a^(m/n) = (ⁿ√a)^m.
- Pada basis pecahan, akar dikenakan terpisah pada pembilang dan penyebut: (4/9)^(1/2) = 2/3.
- Hasilnya eksak hanya bila akar yang diminta eksak; jika tidak, tulis dengan ≈.
- Akar berindeks genap dari bilangan negatif bukan bilangan real.
Apa arti eksponen negatif pada pecahan?
Eksponen negatif membalik basis dan membuat eksponen menjadi positif: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Pada pecahan, kebalikan muncul secara alami. Jadi (2/3)⁻² menjadi (3/2)², dan karena (3/2)² berarti (3²)/(2²), hasilnya adalah 9/4. Tanda minus pada eksponen bukan tanda bilangan: ia tidak menghasilkan nilai negatif.
Aturan ini berlaku untuk setiap basis selain nol. Dengan bilangan bulat, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8; dengan pecahan satuan, (1/4)⁻¹ = 4; dan dengan kuadrat, (5/4)⁻² = (4/5)² = 16/25. Dalam semua kasus, pembilang dan penyebut ditukar lalu basis baru dipangkatkan dengan eksponen yang sama, kini positif.
Contoh mudah. (3/5)⁻¹ = 5/3. Contoh lazim. (2/3)⁻² = 9/4. Contoh basis bulat. 10⁻² = 1/100. Contoh dengan tanda. (−4/9)⁻¹ = −9/4: tanda basis dipertahankan, hanya pecahannya yang dibalik.
Mengapa berlaku: kebalikan
Definisinya berasal dari hukum hasil bagi pada pangkat. Untuk basis a selain nol, aⁿ/aⁿ = 1, tetapi dengan mengurangi eksponen juga diperoleh a^(n−n) = a⁰. Jadi a⁰ = 1. Jika a⁰ dibagi aⁿ, diperoleh a^(0−n) = a⁻ⁿ, yang harus sama dengan 1/aⁿ. Karena itu eksponen negatif tepat merupakan kebalikan dari pangkat positif.
Pemahaman ini terhubung dengan invers perkalian: a⁻ⁿ adalah kebalikan dari aⁿ, dan hasil kali keduanya sama dengan satu. Panduan kebalikan pecahan mengembangkan hubungan itu untuk bilangan bulat, pecahan campuran, dan negatif. Alat pembagian pecahan memakai kebalikan yang sama saat mengubah pembagian menjadi perkalian.
Coba. Hitung (5/2)⁻³. Hasilnya (2/5)³ = 8/125, karena basis dibalik dan eksponen menjadi positif. Periksa bahwa tandanya positif: basisnya positif.
Apa yang terjadi bila eksponennya nol?
Setiap basis selain nol yang dipangkatkan nol bernilai 1: a⁰ = 1. Pada pecahan, (2/3)⁰ = 1 dan (−7/3)⁰ = 1. Hasilnya bukan 0 dan bukan basis itu sendiri; hasilnya satu. Alasannya hukum hasil bagi yang sama: membagi suatu pangkat dengan dirinya sendiri memberi aⁿ/aⁿ = a⁰, dan hasil bagi itu selalu 1 selama a bukan 0.
Hasil ini sesuai dengan eksponen negatif. Jika (2/3)⁻² = 9/4 dan (2/3)² = 4/9, hasil kali keduanya adalah 1, yaitu (2/3)⁰. Pangkat nol adalah titik seimbang antara suatu pangkat dan kebalikannya. Kalkulator pecahan memungkinkan pemeriksaan bahwa hasil kali pangkat dengan kebalikannya tepat 1.
Satu peringatan membatasi aturan ini: basis tidak boleh nol. Pernyataan 0⁰ tidak terdefinisi, karena aturan eksponen nol bertabrakan dengan fakta bahwa 0 dipangkatkan positif menghasilkan 0. Demikian pula, 0 dengan eksponen negatif tidak masuk akal, sebab akan memerlukan pembagian dengan nol. Pengecualian ini tidak menyentuh pecahan dengan pembilang bukan nol, yang menjadi pokok panduan ini.
Jangan mencampur eksponen nol dengan perkalian dengan nol. Kesamaan 5⁰ = 1 tidak berarti 5 menjadi nol; eksponen 0 adalah pencacah faktor, bukan faktor. Penulisan 5 × 0 = 0 adalah perkalian dan menggambarkan operasi yang berbeda.
Eksponen pecahan: dari akar ke pangkat
Eksponen pecahan berbentuk 1/n menyatakan akar ke-n: a^(1/n) = ⁿ√a. Bilangan a disebut radikan. Jadi 8^(1/3) = ∛8 = 2, karena 2³ = 8; 9^(1/2) = √9 = 3; dan 16^(1/4) = 2. Bila eksponennya pecahan umum m/n, ambil dulu akar berindeks n lalu pangkatkan dengan m: a^(m/n) = (ⁿ√a)^m.
Urutan kedua operasi dapat ditukar, tetapi sebaiknya ambil akar lebih dahulu karena biasanya menghasilkan bilangan lebih kecil. Untuk 8^(2/3): akar kubik dari 8 adalah 2, dan 2 dikuadratkan memberi 4. Hasil yang sama diperoleh dari 8² = 64 lalu akar kubiknya, ∛64 = 4. Jalur akar menghindari perkalian besar.
Untuk menghitung (a/b)^(m/n) dengan basis pecahan, prosedurnya:
- Tulis basis sebagai pecahan, jika belum.
- Sederhanakan eksponen m/n. Jika penyebut n genap, pastikan basis tidak negatif.
- Hitung akar ke-n dari pembilang dan penyebut secara terpisah.
- Satukan hasilnya menjadi pecahan lalu pangkatkan dengan m.
- Sederhanakan bila mungkin dan periksa dengan pangkat kebalikannya.
Coba. Hitung 27^(1/3) dan 27^(2/3). Jawabannya 3 dan 9, karena ∛27 = 3 dan 3² = 9. Jika eksponennya −2/3, hasilnya 1/9 menurut aturan eksponen negatif.
8^(1/3) = 2; 8^(2/3) = 4; 8^(−1/3) = 1/2; 8^(−2/3) = 1/4
Contoh eksak dengan basis pecahan
Akar dibagi rata antara pembilang dan penyebut pecahan. Untuk (4/9)^(1/2), hitung √4 = 2 dan √9 = 3, sehingga hasilnya 2/3. Pemeriksaannya langsung: (2/3)² = 4/9, yaitu radikan semula. Jika basisnya (25/4), akar kuadratnya 5/2, karena √25 = 5 dan √4 = 2.
Kasus (27/8)^(2/3) menggabungkan akar kubik dan kuadrat. Pertama hitung ∛(27/8): akar kubik dari 27 adalah 3 dan dari 8 adalah 2, jadi ∛(27/8) = 3/2. Lalu kuadratkan: (3/2)² = 3²/2² = 9/4. Hasilnya 9/4, eksak. Pola yang sama berlaku untuk (8/27)^(2/3): akar kubiknya 2/3 dan kuadratnya 4/9.
Hasil eksak menuntut pembilang dan penyebut dalam bentuk paling sederhana berupa pangkat sempurna dari indeksnya. Pada 27/8 keduanya pangkat 3; pada 4/9 pangkat 2. Bentuk paling sederhana inilah yang menentukan: (18/8)^(1/2) lebih dulu disederhanakan menjadi 9/4 = (3/2)², jadi memang eksak. Bila syarat itu terpenuhi, pecahan dapat disederhanakan sebelum atau sesudah akar tanpa mengubah nilainya. Alat menyederhanakan pecahan membantu menyisakan hasil dalam bentuk paling sederhana.
Coba. Hitung (9/16)^(1/2). Karena √9 = 3 dan √16 = 4, hasilnya 3/4. Periksa: (3/4)² = 9/16.
Kapan hasilnya berhenti bersifat rasional?
Hasilnya tidak rasional bila akar yang diminta tidak eksak. Kasus klasiknya 2^(1/2) = √2, yang tidak dapat ditulis sebagai pecahan bilangan bulat. Nilai desimalnya 2^(1/2) ≈ 1,4142 dengan empat angka desimal, tetapi tanda ≈ menandai hampiran, bukan pernah kesamaan dengan pecahan itu. Menulis 2^(1/2) = 14142/10000 akan salah: hasil bagi itu bilangan yang berbeda dari akar eksaknya.
Bentuk eksak akar dipertahankan dengan radikal: 2^(1/2) = √2, dan 8^(1/3) = 2 karena pada kasus kedua akarnya eksak. Basis pecahan berperilaku sama: (1/2)^(1/2) = 1/√2, yang setara dengan √2/2 dan bernilai ≈ 0,7071. Panduan merasionalkan penyebut menjelaskan mengapa 1/√2 biasanya ditulis √2/2.
Perbedaan antara hasil eksak dan hasil hampiran sangat penting. Hasil eksak ditulis sebagai pecahan atau akar; hasil hampiran ditulis dengan ≈ dan sejumlah angka desimal tetap. Alat akar pecahan menampilkan keduanya: ia mempertahankan akar bila eksak dan menandai desimal bila tidak. Menandai akar irasional seolah-olah pecahan adalah kesalahan yang dihindari bagian ini.
Contoh akar tidak eksak. (1/3)^(1/2) = 1/√3 ≈ 0,5774. Contoh dua angka. (1/5)^(1/2) = 1/√5 ≈ 0,4472. Pada keduanya, nilai eksaknya adalah akarnya dan desimalnya ditandai dengan ≈.
Apa yang terjadi pada basis negatif dengan akar genap?
Akar berindeks genap dari bilangan negatif bukan bilangan real. Pernyataan (−4)^(1/2) akan meminta bilangan yang jika dikuadratkan memberi −4; tidak ada bilangan real yang memenuhinya, sebab kuadrat bilangan real tidak pernah negatif. Karena itu (−4)^(1/2), (−9)^(1/2), dan (−16)^(1/2) berada di luar bilangan real.
Keadaannya berubah pada indeks ganjil. Akar kubik dari bilangan negatif memang ada: (−8)^(1/3) = −2, karena (−2)³ = −8. Demikian pula, (−27)^(1/3) = −3. Pada indeks ganjil, tanda negatif dipertahankan dalam hasilnya. Perbedaan antara indeks genap dan ganjil inilah yang menentukan apakah pangkat memiliki nilai real.
Jangan mencampur basis negatif dengan eksponen negatif. Pada (−2)² basisnya −2 dan eksponennya positif, sehingga hasilnya 4. Pada (−8)^(1/3) basisnya negatif dan eksponennya pecahan berindeks ganjil, dan hasilnya −2. Sebaliknya, (2/3)⁻² berbasisi positif dan bereksponen negatif serta memberi 9/4. Tanda hasil bergantung pada basis dan eksponen, bukan pada apakah eksponen ditulis sebagai pecahan.
Coba. Tentukan apakah (−32)^(1/5) real. Ya, karena 5 ganjil: (−32)^(1/5) = −2, sebab (−2)⁵ = −32. Jika indeksnya 2, basis yang sama tidak akan punya akar real.
Hukum eksponen dengan contoh pecahan
Untuk basis positif, hukum eksponen berlaku pada eksponen bulat maupun pecahan. Basis negatif juga dapat digunakan dengan eksponen bulat, tetapi eksponen pecahan memerlukan pemeriksaan domain dan tidak selalu mengizinkan semua penggabungan pangkat. Saat mengalikan pangkat berbasisi sama, eksponennya dijumlahkan; saat membaginya, dikurangkan; dan pangkat dari pangkat mengalikan eksponennya. Aturan ini memungkinkan penyederhanaan ungkapan berpecahan tanpa menghitung setiap pangkat secara terpisah.
| Hukum | Aturan | Contoh dengan pecahan | Hasil eksak |
|---|---|---|---|
| Perkalian | a^m · a^n = a^(m+n) | (2/3)^(1/2) · (2/3)^(1/2) | (2/3)¹ = 2/3 |
| Pembagian | a^m / a^n = a^(m−n) | (2/3)² / (2/3)¹ | (2/3)¹ = 2/3 |
| Pangkat dari pangkat | (a^m)^n = a^(m·n) | ((4/9)^(1/2))² | 4/9 |
| Eksponen negatif | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | (5/4)⁻² | 16/25 |
| Eksponen nol | a⁰ = 1, a ≠ 0 | (7/2)⁰ | 1 |
| Eksponen pecahan | a^(m/n) = (ⁿ√a)^m | (27/8)^(2/3) | 9/4 |
| Pangkat dari perkalian | (a·b)^n = a^n · b^n | (2·5)^(1/2) | √2 · √5 = √10 |
| Pangkat dari pembagian | (a/b)^n = a^n/b^n | (3/4)² | 9/16 |
Tabel menunjukkan bahwa basis pecahan tidak mengubah hukumnya, hanya menambah akar atau kebalikan. Pada baris pertama, jumlah 1/2 + 1/2 memberi 1, dan (2/3)¹ adalah basis itu sendiri. Pada baris pangkat dari pembagian, eksponen dibagi ke pembilang dan penyebut. Alat operasi campuran menerapkan beberapa hukum ini dalam satu ungkapan.
Misalkan kamu mengalikan (5/6)^(1/3) dengan (5/6)^(2/3). Eksponennya berjumlah 1, jadi hasilnya (5/6)¹ = 5/6. Tidak perlu mencari akar kubik dari 5/6: hukumnya meniadakan eksponen sebelum penghitungan apa pun.
Urutan operasi: −2² bukan (−2)²
Urutan operasi menghitung pangkat lebih dahulu lalu tandanya, kecuali tanda kurung menentukan sebaliknya. Karena itu −2² dibaca −(2²) = −4, sedangkan (−2)² bernilai 4. Pada kasus pertama tanda minus berada di luar pangkat dan diterapkan terakhir; pada kasus kedua, kurung memaksa basis −2 dipangkatkan dan hasil kali dua bilangan negatif bersifat positif.
Perbedaan yang sama muncul pada pecahan. Untuk −(2/3)², pangkatnya dihitung sebagai 4/9 lalu tandanya diterapkan, sehingga nilainya −4/9. Untuk (−2/3)², basisnya adalah pecahan negatif dan hasilnya 4/9. Menulis (2/3)⁻² juga tidak sama dengan −(2/3)²: hasil pertama 9/4 dan yang kedua −4/9.
Pada eksponen pecahan, tambahkan tanda kurung agar cara membacanya tidak ambigu. Penulisan 8^2/3 dapat dibaca sebagai (8²)/3 yang bernilai 64/3, atau sebagai 8^(2/3) yang bernilai 4. Bentuk amannya 8^(2/3), dengan eksponen dikelompokkan. Demikian pula, a^(m/n) menegaskan bahwa m/n adalah seluruh eksponennya.
Coba. Bandingkan (−1/2)² dan −(1/2)². Yang pertama 1/4, karena basis negatif dikuadratkan; yang kedua −1/4, karena tandanya tetap di luar pangkat.
Kesalahan umum pada eksponen pecahan
Kesalahan umum adalah mengubah eksponen negatif menjadi tanda hasil. Orang menulis (2/3)⁻² = −9/4 atau −4/9, padahal nilai benarnya 9/4. Eksponen negatif hanya membalik basis; ia tidak mengubah tanda bilangan. Gambar berikut membandingkan kedua jawaban itu.
Kesalahan umum lain:
- Memangkatkan pecahan secara salah. (2/3)² = 4/9, bukan 4/6: pembilang dan penyebut sama-sama dipangkatkan.
- Menukar akar dengan pangkat. (1/2)^(1/2) bukan 1/4, yang merupakan (1/2)²; akar kuadrat dari 1/2 dihitung sebagai √1/√2 = 1/√2.
- Mencampur eksponen dengan tanda. 2⁻³ = 1/8, bukan −8: eksponen negatif tidak menghasilkan bilangan negatif, hanya membalik basisnya.
- Lupa tanda kurung. −2² = −4, bukan 4; tandanya bukan bagian dari pangkat.
- Mengambil akar genap dari basis negatif. (−4)^(1/2) bukan real.
- Menandai irasional sebagai pecahan. 2^(1/2) ≈ 1,4142 bukan kesamaan eksak.
Pemeriksaan akhir menyelesaikan hampir semua keraguan: hitung pangkat kebalikannya. Jika (2/3)⁻² = 9/4, mengalikan 9/4 dengan (2/3)² = 4/9 harus memberi 1. Panduan kesalahan pecahan mengumpulkan pemeriksaan lain sejenis.
Batas perhitungan eksak
Perhitungan eksak hanya mungkin bila akar yang diminta ada dan rasional. Jika pembilang atau penyebut pecahan yang sudah disederhanakan bukan pangkat sempurna dari indeksnya, hasilnya tidak ditulis sebagai pecahan bilangan bulat dan dipertahankan sebagai radikal atau dihampiri dengan ≈. Misalnya, 2^(1/2) dan (1/3)^(1/3) eksak dalam bentuk akar, tetapi tidak sebagai pecahan.
Notasi a^(m/n) juga menuntut dua syarat. Basis tidak boleh nol ketika eksponennya nol atau negatif, karena akan muncul pembagian dengan nol. Setelah eksponen m/n disederhanakan, bila indeks n genap, basis harus tidak negatif agar hasilnya real. Jika n ganjil, basis negatif diperbolehkan dan mempertahankan tandanya.
Pada ungkapan aljabar, batasannya bertambah: radikan dapat bergantung pada variabel dan bernilai nol pada beberapa nilai. Panduan pecahan aljabar dan domain merinci syarat itu. Untuk pekerjaan numerik, cukup ingat bahwa hasil hampiran tidak pernah menggantikan bentuk eksak saat perlu membandingkan atau melanjutkan perhitungan.
Kesimpulan
Eksponen pecahan diselesaikan dengan menarik dulu akar berindeks n lalu memangkatkan dengan m, dan eksponen negatif menambahkan kebalikan basis. Pada pecahan, kedua aturan berlaku untuk pembilang dan penyebut, dan hasilnya tetap eksak bila akarnya eksak. Tiga kasus yang perlu diingat adalah (2/3)⁻² = 9/4, (4/9)^(1/2) = 2/3, dan (27/8)^(2/3) = 9/4.
Bila akarnya tidak eksak, jawaban benarnya berupa bentuk radikal atau desimal bertanda ≈, bukan pecahan yang dikarang. Hub topik lanjutan menghimpun panduan eksponen, akar, dan ungkapan rasional, dan kalkulator pangkat pecahan memangkatkan basis dengan eksponen bilangan bulat, sambil membedakan tanda basisnya. Mengulang kebalikan pecahan sebelum mulai membuat langkah pertama eksponen negatif menjadi langsung.