Merasionalkan penyebut langkah demi langkah

calculadorafracciones.com · https://calculadorafracciones.com/id/panduan/merasionalkan-penyebut/

Merasionalkan penyebut berarti menulis ulang pecahan agar tidak ada akar di bagian bawah. Ada empat kasus — satu akar kuadrat, sebuah bilangan yang mengalikan akar, binomial dengan akar, dan akar pangkat tiga — dan pembilang serta penyebut dikalikan dengan pecahan yang bernilai 1. Satu kesalahan yang perlu dihindari adalah membesarkan penyebut saja. Kalkulator akar pecahan memberi nilai desimal hampiran dari akar dengan radikan rasional.

Inti ringkas

• Merasionalkan tidak mengubah nilai: dikalikan dengan pecahan senilai yang sama dengan 1, misalnya √2/√2.
• Kasus 1, satu akar: 1/√2 = √2/2 dan 6/√3 = 2√3.
• Kasus 2, sebuah bilangan sebelum akar: a/(b√c) = a√c/(bc).
• Kasus 3, binomial: gunakan konjugatnya dan 3/(2 − √3) = 6 + 3√3.
• Kasus 4, akar pangkat tiga: 1/∛2 = ∛4/2.
• Pemeriksaan selalu dilakukan dengan mengalikan hasilnya dengan penyebut awal.

Apa itu merasionalkan penyebut dan untuk apa?

Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan sampai penyebutnya menjadi bilangan rasional tanpa akar. Operasi ini tidak mengubah nilai: 1/√2 dan √2/2 adalah besaran yang sama, tetapi bentuk kedua lebih mudah dibaca, dibandingkan, dan ditaksir karena penyebutnya bilangan bulat.

Bentuk dengan penyebut rasional dianggap sebagai bentuk baku dari hasil eksak. Ini bukan aturan aritmetika, melainkan konvensi penulisan: memudahkan membandingkan pecahan secara sekilas, menjumlahkan atau membagi bentuk tanpa membawa akar di bawah, dan menyajikan hasil secara seragam. Jika penyebutnya sudah rasional, tidak ada yang perlu dirasionalkan.

Mengapa dikalikan dengan pecahan yang bernilai 1?

Setiap bilangan bukan nol dibagi dirinya sendiri bernilai 1. Karena √2 bukan nol, √2/√2 = 1. Mengalikan pecahan dengan 1 tidak mengubah nilainya, hanya penulisannya; operasi ini disebut pembesaran (amplifikasi). Faktor pembesarnya adalah hasil kali di pembilang dan penyebut, dan diterapkan seluruhnya.

Inilah langkah yang sering salah: mengalikan dengan √2/√2 berarti mengalikan dengan 1, bukan dengan √2. Jika hanya penyebut yang dikalikan, nilainya berubah. Alat penyederhana pecahan melakukan kebalikannya: membagi pembilang dan penyebut dengan faktor persekutuan tanpa mengubah nilai.

Contoh keuntungan bentuk baku

Bandingkan 1/√2 dengan 3/4. Bentuk pertama punya akar di bawah dan nilainya √2/2 ≈ 0,7071; bentuk kedua bernilai 0,75. Dengan penyebut rasional, keputusannya bisa diambil tanpa desimal: √2/2 < 3/4 setara dengan 2√2 < 3 dan, setelah dikuadratkan, dengan 8 < 9. Merasionalkan membuat penyebut menjadi rasional, sehingga nilainya lebih mudah dihitung dan dibandingkan.

Sebelum mulai: aturan, alat, dan pemeriksaan

Cukup kertas dan pensil, tetapi aturan berikut harus jelas. Saat pertama kali, tuliskan aturan itu di samping latihan.

1. Hasil kali akar yang sama: √a × √a = a, untuk a ≥ 0. Jadi √2 × √2 = 2.
2. Pembesaran: pembilang dan penyebut dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.
3. Selisih dua kuadrat: (x − y)(x + y) = x² − y². Ini dasar dari kasus konjugat.
4. Akar pangkat tiga: ∛a × ∛(a²) = a. Jadi ∛2 × ∛4 = ∛8 = 2.

Sebelum mulai, tentukan jenis penyebutnya: satu akar, sebuah bilangan kali akar, jumlah atau selisih dengan akar, atau akar pangkat tiga. Diagnosis ini memilih faktor yang benar. Untuk mengulang perkalian dan penyederhanaan, gunakan perkalian pecahan dan menyederhanakan pecahan.

Kasus 1: satu akar kuadrat di penyebut

Jika penyebutnya √c, kalikan pecahan dengan √c/√c. Hasil kali √c × √c tepat sama dengan c, sehingga penyebut kehilangan akarnya. Rumus umumnya a/√c = a√c/c.

Langkah 1: pilih faktor pembesar

Ambil akar yang sama yang muncul di bawah dan letakkan di atas dan di bawah: faktornya √c/√c. Pada 1/√2 faktornya √2/√2.

Periksa: faktor itu memuat akar yang sama di pembilang dan penyebut, dan √c bukan nol.

Kesalahan umum: memilih faktor lain, seperti 2/√2. Faktor itu tidak bernilai 1 dan masih meninggalkan akar di bawah.

Langkah 2: kalikan pembilang dan penyebut

Tulis hasil kali lengkapnya dan jangan menyederhanakan terlalu awal: pembilang kali pembilang dan penyebut kali penyebut. Pada 1/√2 hasilnya (1 × √2)/(√2 × √2).

Periksa: akarnya muncul sekali di atas dan, di bawah, dikalikan dengan dirinya sendiri. Setelah dihitung, penyebut harus bebas akar.

Kesalahan umum: hanya membesarkan penyebut. Nilainya lalu berubah: 1/√2 akan menjadi 1/2, yang bernilai 0,5 dan berbeda dari nilai awal, sekitar 0,7071.

Langkah 3: sederhanakan hasilnya

Ganti hasil kali akar yang sama dengan radikannya: √2 × √2 = 2. Rapikan hasilnya dan, jika ada faktor persekutuan antara pembilang dan penyebut, sederhanakan. Pada a√c/c, periksa apakah a dan c punya pembagi bersama.

Periksa: kalikan hasilnya dengan penyebut awal dan peroleh kembali pembilang semula. √2/2 × √2 = 2/2 = 1, yaitu pembilang dari 1/√2.

Kesalahan umum: membiarkan hasil tidak disederhanakan padahal masih bisa disederhanakan. 6√3/3 masih dapat disederhanakan menjadi 2√3.

Contoh yang diselesaikan pada kasus 1

Untuk 1/√2: dibesarkan dengan √2/√2 sehingga menjadi (1 × √2)/(√2 × √2) = √2/2. Nilainya √2/2 ≈ 0,7071.

Untuk 6/√3: dibesarkan dengan √3/√3 sehingga menjadi (6 × √3)/(√3 × √3) = 6√3/3. Karena 6 dan 3 punya faktor persekutuan 3, hasilnya disederhanakan menjadi 2√3, yang bernilai ≈ 3,4641. Pemeriksaannya 2√3 × √3 = 2 × 3 = 6.

Kasus 2: sebuah bilangan mengalikan akar di penyebut

Jika penyebutnya b√c, dengan b bukan nol, kalikan dengan cara yang sama memakai √c/√c. Aturan umumnya a/(b√c) = a√c/(bc). Bilangan b dipertahankan dan dikalikan dengan c ketika √c × √c diganti.

Contoh tipikal adalah 5/(2√3). Dibesarkan dengan √3/√3: (5 × √3)/(2√3 × √3) = 5√3/(2 × 3) = 5√3/6. Pemeriksaannya 5√3/6 × 2√3 = 10 × 3/6 = 5, yaitu pembilang awal.

Contoh yang diselesaikan pada kasus 2

Untuk 7/(3√2): (7 × √2)/(3√2 × √2) = 7√2/(3 × 2) = 7√2/6. Pemeriksaan: 7√2/6 × 3√2 = 21 × 2/6 = 7.

Untuk 1/√8 ada keputusan lebih dulu. Bisa langsung dirasionalkan: (1 × √8)/(√8 × √8) = √8/8. Lalu sederhanakan akarnya: √8 = 2√2, sehingga menjadi 2√2/8 = √2/4. Hasilnya ≈ 0,3536. Bisa juga menyederhanakan lebih dulu √8 = 2√2 lalu merasionalkan 1/(2√2) dengan √2/√2, dengan hasil yang sama √2/4.

Kasus 3: binomial dengan akar dan konjugatnya

Jika penyebutnya jumlah atau selisih yang memuat akar, mengalikan dengan akar yang sama tidak menghilangkan radikalnya. Gunakan konjugat: konjugat dari 2 − √3 adalah 2 + √3, dan konjugat dari √5 + √2 adalah √5 − √2. Saat dikalikan, selisih dua kuadrat mengubah penyebut menjadi selisih bilangan tanpa akar.

Langkah 1: tentukan konjugatnya

Salin binomial pada penyebut dan ubah tanda di tengahnya. Konjugat dari a − √b adalah a + √b; konjugat dari √a + √b adalah √a − √b.

Periksa: konjugatnya hanya berbeda pada tanda di antara kedua sukunya.

Kesalahan umum: mempertahankan tandanya. Mengalikan 3/(2 − √3) dengan (2 − √3)/(2 − √3) tidak menghilangkan akar di bawah dan justru mempersulit bentuknya.

Langkah 2: terapkan selisih dua kuadrat

Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugatnya. Di penyebut muncul (x − y)(x + y) = x² − y². Untuk 3/(2 − √3): penyebutnya 2² − (√3)² = 4 − 3 = 1.

Periksa: suku berakar di bagian tengah saling menghapus. Jika masih ada radikal di penyebut, konjugat yang dipilih salah.

Kesalahan umum: menerapkan selisih dua kuadrat hanya pada suku pertama. Hasil kali (2 − √3)(2 + √3) memberi 4 − 3, bukan 4 − √3.

Langkah 3: sederhanakan dan periksa

Bagikan pembilangnya dan sederhanakan jika ada faktor persekutuan. Untuk 3/(2 − √3): (3 × (2 + √3))/(4 − 3) = (6 + 3√3)/1 = 6 + 3√3. Pemeriksaannya mengalikan hasil dengan penyebut awal: (6 + 3√3)(2 − √3) = 12 − 6√3 + 6√3 − 9 = 3.

Periksa: hasil kali akhirnya mengembalikan pembilang semula.

Kesalahan umum: salah menangani tanda di pembilang. Suku 3 × √3 adalah 3√3, bukan 3 + √3.

Contoh yang diselesaikan pada kasus 3

Untuk 1/(√5 + √2): konjugatnya √5 − √2. Penyebutnya memberi 5 − 2 = 3 dan pembilangnya √5 − √2. Hasilnya (√5 − √2)/3, yang bernilai ≈ 0,2740. Pemeriksaan: (√5 − √2)/3 × (√5 + √2) = (5 − 2)/3 = 1.

Untuk 2/(√7 − √3): konjugatnya √7 + √3. Penyebutnya memberi 7 − 3 = 4 dan pembilangnya 2(√7 + √3). Hasilnya disederhanakan menjadi (√7 + √3)/2, ≈ 2,1889.

Kasus dengan bilangan bulat pada binomial adalah 1/(3 − √2). Konjugatnya 3 + √2, penyebutnya memberi 9 − 2 = 7, dan hasilnya (3 + √2)/7, ≈ 0,6306.

Kasus 4: akar pangkat tiga di penyebut

Dengan satu akar pangkat tiga, mengalikan dengan akar yang sama tidak cukup: ∛2 × ∛2 = ∛4, yang masih memuat akar. Kubusnya harus dilengkapi dengan mengalikan ∛4, karena ∛2 × ∛4 = ∛8 = 2. Aturan umumnya 1/∛a = ∛(a²)/a.

Untuk 1/∛2 dikalikan dengan ∛4/∛4: (1 × ∛4)/(∛2 × ∛4) = ∛4/∛8 = ∛4/2, yang bernilai ≈ 0,7937. Pemeriksaannya ∛4/2 × ∛2 = ∛8/2 = 2/2 = 1.

Untuk 5/∛4: akarnya ∛4 = 4^(1/3) dan ∛4 × ∛2 = ∛8 harus dilengkapi. Dibesarkan dengan ∛2/∛2: (5 × ∛2)/(∛4 × ∛2) = 5∛2/2, yang bernilai ≈ 3,1498.

Bagaimana cara memeriksa hasilnya benar?

Untuk memeriksa rasionalisasi, kalikan hasilnya dengan penyebut awal dan lihat apakah pembilang semula diperoleh kembali. Jika hasilnya r dan pecahan awalnya a/den, harus berlaku r × den = a. Ini pemeriksaan terbalik yang tidak bergantung pada desimal.

Pada 1/√2 = √2/2, hasil kalinya √2/2 × √2 = 2/2 = 1, yaitu pembilang awal. Pada 6/√3 = 2√3, hasil kalinya 2√3 × √3 = 6. Pada 3/(2 − √3) = 6 + 3√3, hasil kalinya (6 + 3√3)(2 − √3) = 3. Pada semua kasus kesamaannya tetap berlaku.

Tabel berikut merangkum kasus-kasus dalam panduan ini beserta hasil eksak dan pemeriksaannya.

Coba sendiri: empat tantangan dengan jawaban

• Tantangan 1. Rasionalkan 4/√5. Jawaban: 4√5/5. Dibesarkan dengan √5/√5 dan menjadi 4√5/5; pemeriksaannya 4√5/5 × √5 = 4.
• Tantangan 2. Rasionalkan 2/(√7 − √3). Jawaban: (√7 + √3)/2. Konjugatnya √7 + √3, penyebutnya memberi 4, dan faktor 2 di pembilang terhapus dengan 4 itu.
• Tantangan 3. Rasionalkan 1/∛5. Jawaban: ∛25/5. Harus dikalikan ∛25, karena ∛5 × ∛25 = ∛125 = 5.
• Tantangan 4. Jelaskan mengapa √3/√3 bernilai 1. Jawaban: itu bilangan bukan nol yang sama dibagi dirinya sendiri. Itulah sebabnya pembesaran tidak mengubah nilai.

Kesalahan umum dan cara memperbaikinya

• Mengalikan penyebut saja. Ini kesalahan utamanya. 1/√2 tidak menjadi 1/2; pembilang dan penyebut harus dikalikan dengan faktor yang sama. Perbaikan: tulis faktor lengkapnya di atas dan di bawah sebelum menghitung.
• Memakai konjugat dengan tanda yang salah. Untuk 2 − √3 konjugatnya 2 + √3, bukan 2 − √3. Perbaikan: selalu ubah tanda di tengahnya.
• Mengalikan dengan akar yang sama pada akar pangkat tiga. Pada 1/∛2 diperlukan ∛4, bukan ∛2, karena hasil kalinya harus ∛8 = 2. Perbaikan: periksa apakah eksponen radikannya mencapai indeks akarnya.
• Tidak menyederhanakan hasil. 6√3/3 masih dapat disederhanakan menjadi 2√3. Perbaikan: cari faktor persekutuan antara bilangan di luar dan penyebutnya.
• Salah membagikan pembilangnya. 3 kali (2 + √3) memberi 6 + 3√3, bukan 6 + √3. Perbaikan: terapkan sifat distributif suku demi suku.
• Mengira √c × √c sama dengan √(c + c). Hasil kali akar yang sama menghasilkan radikannya sendiri: √c × √c = c, bukan √(c + c). Perbaikan: ganti hasil kalinya langsung dengan c.

Variasi: apa yang berubah pada setiap situasi

Metodenya menyesuaikan diri dengan perubahan kecil. Jika pembilangnya punya lebih dari satu suku, bagikan faktor pembesarnya ke semuanya. Jika akar di penyebut bisa disederhanakan lebih dulu, seperti √8 = 2√2, tentukan apakah menyederhanakan sebelum atau sesudah: hasilnya sama.

Jika penyebutnya menggabungkan akar kuadrat dan akar pangkat tiga, konjugatnya tidak cukup dan kasus itu di luar panduan ini; kasus itu diselesaikan dengan hasil kali yang melengkapi kedua indeks. Untuk bentuk dengan huruf, prosedurnya sama, tetapi batasan domain yang membuat penyebutnya nol harus dicatat; pembahasan itu ada di pecahan aljabar dan domain.

Ketika radikannya bilangan besar, akan membantu bila akarnya disederhanakan lebih dulu sebelum dirasionalkan. Dan jika penyebutnya jumlah tiga akar, kelompokkan dua-dua lalu ulangi prosesnya; ini kasus lanjutan yang sebaiknya ditempuh setelah menguasai konjugat sederhana. Kalkulator akar pecahan mengenali kasus dengan hasil eksak.

Kapan tidak perlu merasionalkan?

Merasionalkan adalah konvensi, bukan kewajiban. Pecahan 1/√2 sudah menyatakan besaran eksak yang sah; dalam perhitungan antara, bentuk itu bisa lebih nyaman daripada √2/2, terutama jika nanti dikalikan dengan akar lain. Pilihan di antara kedua bentuk bergantung pada operasi berikutnya.

Merasionalkan juga tidak perlu dilakukan jika membuat bentuknya lebih rumit: pada sebagian hasil bagi akar, mengalikan dengan konjugat justru memanjangkan pembilang tanpa memberi keuntungan hitung. Dan dalam kerja numerik dengan kalkulator, nilai desimalnya sudah cukup; bentuk rasional penting ketika yang dicari adalah hasil eksak atau penyajian baku. Jika penyebutnya sudah bilangan bulat, tidak ada yang perlu dikerjakan.

Terus berlatih merasionalkan penyebut

Merasionalkan penyebut menjadi otomatis dengan sedikit latihan: satu akar, sebuah bilangan kali akar, sebuah konjugat, dan akar pangkat tiga. Mulailah dari kasus 1, tambahkan bilangan di depan akar, simpan konjugat untuk saat binomialnya sudah jelas, dan taruh akar pangkat tiga di akhir. Selalu periksa dengan mengalikan ulang dan cari faktor persekutuan sebelum menganggap hasilnya selesai.

Untuk melanjutkan, ulangi pangkat pecahan, pelajari eksponen negatif dan pecahan, lalu terapkan metodenya pada pecahan kompleks atau saat menyederhanakan pecahan aljabar. Di hub pecahan lanjutan ada topik yang melanjutkan garis ini, dan kalkulator akar pecahan memberi nilai desimal hampiran dari sebuah akar bila kamu ingin membandingkannya dengan hasil eksak.