Racionalizar un denominador es reescribir la fracción para que abajo no quede ninguna raíz. El valor no cambia: 1/(√3 − 1) y (√3 + 1)/2 son el mismo número, ≈ 1,366. Se multiplica arriba y abajo por un factor que vale 1, y el factor depende de lo que haya en el denominador.
| Denominador | Se multiplica por | Ejemplo |
|---|---|---|
| Una raíz, √c | √c/√c | 10/√6 = 5√6/3 |
| Un número por una raíz, b√c | √c/√c | 3/(2√5) = 3√5/10 |
| Binomio con raíz cuadrada | El conjugado sobre sí mismo | 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/2 |
| Raíz cúbica, ∛a | ∛(a²)/∛(a²) | 1/∛2 = ∛4/2 |
Lee la tabla por la columna de la izquierda: primero mira qué hay abajo y después elige el factor. El conjugado de un binomio es el mismo binomio con el signo del medio cambiado.
Ejemplo resuelto: 1/(√3 − 1)
Racionaliza el denominador de 1/(√3 − 1).
- Escribe el conjugado. El denominador es √3 − 1, así que el conjugado es √3 + 1.
- Multiplica arriba y abajo por (√3 + 1)/(√3 + 1), que vale 1.
- Denominador. (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2, porque los términos del medio se cancelan.
- Numerador. 1 × (√3 + 1) = √3 + 1.
- Junta. El resultado es (√3 + 1)/2.
Resultado: (√3 + 1)/2.
Comprobación: (√3 + 1)/2 × (√3 − 1) = (3 − 1)/2 = 1, el numerador de partida. Con decimales, 1 ÷ 0,7321 y 2,7321 ÷ 2 dan ≈ 1,366.
El truco del paso 3 es la diferencia de cuadrados: (x − y)(x + y) = x² − y². Si x o y es una raíz cuadrada, su cuadrado es un número entero y el radical desaparece.
Una raíz sola, con o sin número delante
Cuando abajo hay b√c, se multiplica por √c/√c. Como √c × √c = c, el denominador pasa a ser b × c. La regla queda a/(b√c) = a√c/(bc), con b distinto de 0 y c positivo.
Para 3/(2√5) resulta (3√5)/(2 × 5) = 3√5/10, que vale ≈ 0,6708. Para 10/√6 resulta 10√6/6, y como 10 y 6 comparten el factor 2, se reduce a 5√6/3. Si quieres repasar cómo se reduce, la herramienta de simplificar fracciones lo hace con cualquier par de enteros.
Si la raíz se puede simplificar, hazlo antes. En 1/√8, como √8 = 2√2, trabajas con 1/(2√2) = √2/4 y evitas números grandes.
Un binomio con raíz: el conjugado
Multiplicar por la misma raíz no sirve cuando abajo hay una suma o una resta. En (√3 − 1) × √3 = 3 − √3 la raíz sigue ahí. El conjugado sí la elimina, porque convierte el denominador en una diferencia de cuadrados.
Con 5/(√6 + 1), el conjugado es √6 − 1. El denominador queda 6 − 1 = 5 y el numerador 5(√6 − 1), así que el 5 se cancela y resulta √6 − 1, que vale ≈ 1,449. Cuando los dos términos llevan raíz, como en 6/(√5 − √2), el denominador es 5 − 2 = 3 y el resultado, 2(√5 + √2).
Una raíz cúbica: completar el cubo
Con ∛a, multiplicar por ∛a da ∛(a²), que sigue siendo una raíz. Hace falta el factor que completa un cubo perfecto: ∛a × ∛(a²) = ∛(a³) = a.
Para 1/∛2 se multiplica por ∛4/∛4. Abajo queda ∛2 × ∛4 = ∛8 = 2, y el resultado es ∛4/2 ≈ 0,794. Para 6/∛9 el factor es ∛3, porque ∛9 × ∛3 = ∛27 = 3, y resulta 6∛3/3 = 2∛3. El error típico es multiplicar por ∛2 en el primer caso: abajo sale ∛4 y la raíz no desaparece.
Practica
Cuatro ejercicios
- Racionaliza 9/√3.
- Racionaliza 4/(3√2).
- Racionaliza 6/(√5 − √2).
- Racionaliza 1/∛3.
Ver las respuestas
- 3√3 (se obtiene 9√3/3 y se reduce)
- 2√2/3 (4√2/6 se reduce dividiendo entre 2)
- 2√5 + 2√2 (el denominador del conjugado da 5 − 2 = 3, y 6/3 = 2)
- ∛9/3 (∛3 × ∛9 = ∛27 = 3)
Dónde seguir
Para calcular una raíz de una fracción y ver su decimal, usa la calculadora de raíces de fracciones. Si te cuesta encontrar en qué línea te equivocas, la guía de errores con fracciones reúne los fallos más comunes, y los ejercicios resueltos dan más práctica. Con letras en lugar de números, las restricciones de dominio se explican en fracciones algebraicas y dominio. Las raíces como exponentes fraccionarios están en exponentes negativos y fraccionarios, y los productos se repasan en multiplicar fracciones.
Fuentes
Wikipedia en español, artículo Racionalización de radicales, apartado «Racionalización de binomio»: para eliminar la raíz de un binomio se multiplica numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador, y 2/(√2 + √3) se convierte en −2(√2 − √3) (consultado el 16 de octubre de 2026).