Um expoente fracionário m/n significa “raiz de índice n e depois potência m”, e um expoente negativo significa “inverta a base”. Com uma fração, as duas regras valem para o numerador e para o denominador. Assim, (8/27)^(2/3) = 4/9, e o resultado é uma fração exata quando a raiz é exata.
Este guia explica a teoria. Para calcular com expoentes inteiros, inclusive negativos, use a calculadora de potências de frações. Para raízes, a de raízes de frações indica quando o resultado não é uma fração.
| Expoente | O que significa | Exemplo |
|---|---|---|
| Negativo, −n | Inverte a base e usa n | (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9 |
| Zero | Dá 1 se a base não é 0 | (5/7)⁰ = 1 |
| Fracionário, 1/n | Raiz de índice n | (25/16)^(1/2) = 5/4 |
| Fracionário, m/n | Raiz de índice n e depois potência m | (81/16)^(3/4) = (3/2)³ = 27/8 |
| Negativo e fracionário | Inverte, depois raiz e potência | (4/9)^(−1/2) = (9/4)^(1/2) = 3/2 |
Para decidir, olhe primeiro o sinal do expoente e depois o denominador, que é o índice da raiz. A última linha combina as duas regras: é possível inverter primeiro ou tirar a raiz primeiro, porque com base positiva o resultado é o mesmo; inverter antes evita trabalhar com expoentes negativos.
Exemplo resolvido: (8/27)^(2/3)
Calcule essa potência e escreva o resultado como fração.
- Confira se o expoente é irredutível. É: o 3 é o índice da raiz e o 2, a potência.
- Tire a raiz cúbica. ∛8 = 2 e ∛27 = 3, então a raiz da base é 2/3.
- Eleve ao quadrado. 2² = 4 e 3² = 9, então resulta 4/9.
Resultado: (8/27)^(2/3) = 4/9.
Conferência: elevar 4/9 ao cubo dá 64/729, e a base ao quadrado também, porque 8² = 64 e 27² = 729. Os dois caminhos coincidem.
Como calcular uma potência com expoente fracionário
Escreva o expoente como fração irredutível. Se for 4/6, reduza antes de começar, porque o índice da raiz é o denominador reduzido. Depois aplique a raiz ao numerador e ao denominador da base separadamente e eleve o resultado à potência indicada pelo numerador do expoente.
Começar pela raiz mantém os números pequenos. No exemplo anterior, o caminho inverso obriga a calcular 8² = 64 e 27² = 729 e a tirar a raiz cúbica de 64/729. O resultado é o mesmo, com mais trabalho.
O resultado é uma fração exata quando, na base já simplificada, o numerador e o denominador são potências perfeitas do índice. Por isso (50/18)^(1/2) é exato: 50/18 se reduz a 25/9 e √(25/9) = 5/3. É possível reduzir com a ferramenta de simplificar frações antes de procurar a raiz.
Por que um expoente negativo é um inverso
As potências de mesma base se dividem subtraindo os expoentes, e daí saem as duas definições. Com uma base a diferente de zero, aⁿ ÷ aⁿ = 1 e também aⁿ ÷ aⁿ = a⁰, de modo que a⁰ = 1. Se agora dividir a⁰ por aⁿ, resulta a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Um expoente negativo é, portanto, o inverso multiplicativo da potência positiva.
Com frações, esse inverso é o que já se conhece: trocam-se numerador e denominador. Assim, (2/5)⁻³ = (5/2)³ = 125/8. O guia sobre o inverso de uma fração trata desse passo com inteiros, mistos e negativos. É o mesmo inverso que a ferramenta de dividir frações usa para converter uma divisão em produto.
O que acontece com uma base negativa
Com uma base negativa, a raiz pode não existir. Se o índice é ímpar, a raiz negativa existe e o sinal se conserva: (−8)^(1/3) = −2, porque (−2)³ = −8. Se o índice é par, nenhum número real elevado a uma potência par dá resultado negativo, e a raiz quadrada de −4 não é real.
Para saber o índice, reduza primeiro o expoente. Em (−8)^(2/6), o expoente reduzido é 1/3, com índice ímpar, e o valor é −2. Se 2/6 não for reduzido, alguns programas o leem como 64^(1/6) = 2, que não coincide com −2. Por isso convém sempre reduzir o expoente antes de decidir o índice.
A ordem das operações também importa. Em −2², a potência é calculada antes do sinal e o valor é −4; em (−2)², a base é −2 e o valor é 4. Com frações acontece o mesmo: −(1/5)² = −1/25, enquanto (−1/5)² = 1/25.
Quando o resultado não é uma fração
Se a raiz não é exata, o resultado é um número irracional e não existe fração de inteiros que o iguale. √2 ≈ 1,4142 (erro menor que 0,0001). A forma exata é o radical.
Com uma base fracionária, ocorre o mesmo: (1/5)^(1/2) = 1/√5 = √5/5 ≈ 0,4472 (erro menor que 0,0001). Para escrevê-lo sem radical no denominador, o guia para racionalizar denominadores explica a passagem de 1/√5 para √5/5.
Quando a base tem letras em vez de números, é preciso acrescentar condições sobre os valores que anulam o denominador ou tornam negativo o radicando. Isso é tratado em frações algébricas e domínio. Para combinar potências com somas e produtos numa só linha, a ferramenta de expressões com frações respeita a ordem das operações.
Pratique
- Calcule (2/5)⁻³.
- Calcule (16/81)^(1/4).
- Calcule (9/25)^(−3/2).
Ver as respostas
- 125/8, porque (2/5)⁻³ = (5/2)³.
- 2/3, porque 2⁴ = 16 e 3⁴ = 81.
- 125/27: inverte-se para (25/9)^(3/2), a raiz quadrada é 5/3 e seu cubo é 125/27.
Fontes
O artigo Potenciação, da Wikipédia em português, mostra o expoente negativo como inverso da potência positiva, o resultado 1 do expoente zero com base diferente de zero e o denominador do expoente fracionário como índice da raiz (consultado em 17 de outubro de 2026).