Saisissez la base dans « Base rationnelle » et l’exposant dans « Exposant entier » ; quand vous appuyez sur « Calculer », le résultat s’affiche déjà sous forme irréductible. L’exemple ci-dessous combine une base négative et un exposant négatif. Pour la théorie, y compris les exposants fractionnaires, consultez le guide sur les exposants négatifs et fractionnaires ; cette page calcule avec des exposants entiers.
Exemple résolu : (−2/3) à la puissance −3
Calculez (−2/3)^−3 et déterminez si le résultat est positif ou négatif.
- Inversez la base. L’exposant est négatif : on prend donc l’inverse, et l’exposant devient positif. (−2/3)^−3 = (−3/2)^3. Le signe reste dans la fraction.
- Déterminez le signe. L’exposant 3 est impair, donc le résultat est négatif.
- Élevez le numérateur et le dénominateur. 3³ = 27 et 2³ = 8, donc (−3/2)^3 = −27/8.
- Passez au nombre mixte si besoin. 27 ÷ 8 donne 3 et il reste 3, donc −27/8 = −3 3/8.
Résultat : (−2/3)^−3 = −27/8.
Vérification : (−2/3)^3 = −8/27, et le produit de −8/27 par −27/8 vaut 1. Ce sont des inverses, comme doivent l’être deux puissances d’exposants opposés.
Comment élever une fraction à une puissance
Élever à la puissance n, c’est multiplier la fraction par elle-même n fois, ce qui revient à élever séparément le numérateur et le dénominateur : (a/b)^n = a^n/b^n. Avec 7/10 au carré, 7² = 49 et 10² = 100, donc on obtient 49/100. Une erreur courante consiste à n’élever que le numérateur ou à multiplier la fraction par l’exposant, ce qui donnerait 14/10.
L’exposant négatif découle de cette règle prolongée vers le bas. Chaque fois que l’exposant diminue d’une unité, la valeur est divisée par la base. De (7/10)^1 à (7/10)^0, on divise 7/10 par 7/10 et il reste 1 ; un pas de plus donne 10/7. C’est pourquoi (a/b)^−n = (b/a)^n quand a n’est pas nul : l’exposant négatif demande l’inverse, pas l’opposé, et le résultat, 100/49, reste positif. Le même escalier explique pourquoi l’exposant 0 donne 1 avec toute base non nulle.
Un décimal ou un nombre mixte est d’abord converti en fraction : 0,25 vaut 1/4, donc 0,25 au carré donne 1/16, et 1 1/2 vaut 3/2, dont le carré est 9/4.
Quel signe et quelle forme pour le résultat
Le signe dépend de la base et de la parité de l’exposant ; la forme dépend de la présence d’un exposant négatif. Le tableau rassemble les cinq cas à bien distinguer.
| Cas | Exemple | Ce qui se passe |
|---|---|---|
| Base négative, exposant pair | (−1/3)^2 = 1/9 | Le résultat est positif |
| Base négative, exposant impair | (−1/3)^3 = −1/27 | Le résultat est négatif |
| Base positive, exposant négatif | (5/2)^−2 = 4/25 | On inverse, et le résultat reste positif |
| Base négative, exposant négatif | (−1/5)^−3 = −125 | On inverse, et le signe suit la parité |
| Exposant nul | (9/8)^0 = 1 | Donne 1, quelle que soit la base non nulle |
Avec un exposant pair, le signe disparaît ; avec un exposant impair, il se conserve ; et l’exposant négatif ne fait que remplacer la fraction par son inverse. Si la base est comprise entre 0 et 1, sa puissance avec un exposant positif (2 ou plus) est plus petite que la base. Si la base est supérieure à 1, la puissance est plus petite que la base avec un exposant négatif.
Exercez-vous avec les trois cas
Les trois exercices couvrent l’exposant pair, l’exposant impair et l’exposant nul, là où l’on se trompe le plus. Résolvez-les à la main, puis vérifiez avec la calculatrice.
Exercices
- Calculez (−4/5)^2, avec un exposant pair.
- Calculez (−2/5)^3, avec un exposant impair.
- Calculez (3/10)^0, avec un exposant nul.
Voir les réponses
- 16/25, car 4² = 16, 5² = 25 et le signe disparaît.
- −8/125, car 2³ = 8, 5³ = 125 et le signe se conserve.
- 1, car la base n’est pas nulle.
Que faire quand l’exposant n’est pas entier
Cette calculatrice n’accepte que les exposants entiers de −100 à 100, et elle refuse 0^0 ainsi que zéro avec un exposant négatif. Pour un exposant comme 1/2, qui équivaut à une racine, utilisez les racines de fractions. Si la puissance se trouve dans une expression avec des sommes et des parenthèses, les opérations combinées respectent l’ordre des calculs. Le guide sur les exposants négatifs et fractionnaires explique la théorie, et celui sur l’inverse d’une fraction traite l’inverse à part. C’est le même inverse que l’on utilise pour diviser des fractions.
L’article Exposant (mathématiques) de Wikipédia donne a^−n = 1/a^n et précise que, par convention, une base inversible, donc non nulle pour les nombres réels, élevée à la puissance 0 vaut 1 (consulté le 17 octobre 2026).
Questions fréquentes
Pourquoi la calculatrice ne résout-elle pas 0^0 ?
Parce que 0^0 n’a pas de valeur unique : un nombre non nul élevé à la puissance 0 donne 1, mais 0 élevé à un exposant positif donne 0, et les deux règles se contredisent. La calculatrice le signale comme indéfini au lieu de le remplacer par 1. Elle refuse aussi 0 avec un exposant négatif, comme 0^−2, qui demanderait de diviser par zéro. Avec un exposant positif, 0^4 = 0.
Comment multiplier des puissances d’une même fraction ?
On garde la base et on additionne les exposants : (1/3)^2 × (1/3)^3 = (1/3)^5 = 1/243. Avec des exposants de signes différents, la règle est la même : (4/5)^6 × (4/5)^−2 = (4/5)^4 = 256/625. Pour vérifier, calculez chaque puissance séparément, puis multipliez les résultats.
Que se passe-t-il avec un très grand exposant ?
La calculatrice n’arrondit pas : (3/2)^100 vaut 3^100/2^100, avec un numérateur de 48 chiffres et un dénominateur de 31 chiffres, affichés en entier. Si vous voulez une valeur approchée, convertissez le résultat en décimal avec la calculatrice de fraction en décimal.